遼寧省大連市屆高考第一次模擬考試數(shù)學文科試題含答案(參考版)
2025-01-10 23:23本頁面
【正文】 12分 (20) （本小題滿分 12 分） 解： （ Ⅰ ）設切點為 0xM（ ， ))( 0xf ， 直線的切線方程為 )()( 00 xxkxfy ??? ， xaxf 1)( ???? ， 00 1)( xaxfk ????? ， ??????????? 2分 即直線的切線方程為 ))(1(ln0000 xxxaxaxy ?????， 又切線過原點 O ,所以 1ln 000 ????? axxax ， 由 1ln 0?x ，解得 ex?0 ， 所以切點的橫坐標為 e .???????? 4 分 （Ⅱ）方法一： ∵ 不等式 )2(ln 2xxaxax ??? 對 1[??x ， )?? 恒成立 , ∴ 2 ln 0ax ax x? ? ?對 1[??x ， )?? 恒成立 . 設 xaxaxxg ln)( 2 ??? ， 1[?x ， )?? ，xaaxxg 12)( ???? .???????????????????? 5分 ① 當 0?a 時， 01)12()( ????? xxaxg? ， )(xg? 在 1[ ， )?? 上單調(diào)遞減， 即 0)1()( ?? gxg ， 0??a 不符合題意 . ??????? 7 分 ② 當 0?a 時， xaxaxxg 12)( 2 ???? .設 18)41(212)( 22 ??????? axaaxaxxh， 在 1[ ， )?? 上單調(diào)遞增，即 ( ) (1) 1h x h a? ? ?. ????? 9分 （ i）當 1?a 時，由 0)( ?xh ，得 0)( ??xg ， )(xg? 在 1[ ， )?? 上單調(diào)遞增，即0)1()( ?? gxg ， 1??a 符合題意； ??????? 10分 （ ii）當 10 ??a 時， 01??a? ， 1[0???x ， )?? 使得 0)( 0 ?xh ， 則 )(xg 在 1[ ， )0x 上單調(diào)遞減，在 0(x ， )?? 上單調(diào)遞增， 0)1()( 0 ??? gxg ，則 10 ??a 不合題意 . ??????? 11分 綜上所述， 1a? . ????????? 12分 （Ⅱ）方法二： ∵ 不等式 2ln 2ax x a x x? ? ?（ ）對 1[??x ， )?? 恒成立 , ∴ 2 ln 0ax ax x? ? ?對 1[??x ， )?? 恒成立 . 當 0a? 時 ， 2 ln 0ax ax x? ? ?；當 01a??時 ， 2 lng x ax ax x??（ ） = ， 3 ln 3 0ga??（ ） =6 不 恒成立；同理 x 取其他值不 恒成立 .???????? 6分 當 =1x 時 ， 2 ln 0ax ax x? ? ?恒成立 ； 當 1x? 時 ，2lnx xa x? ?，證明 2ln 1xx x x? ? ?（ ）恒成立 . ?????? 10分 設 2lng x x x x? ? ?（ ） ， 1[?x ， )?? ， 21 2 + 0xxgx x?? ??（ ） .∴ gx（ ） 在 1[?x ， )?? 為減函數(shù)．??????? 11分 1g x g?（ ） （ ） =0， ∴ 1a? .?????????????????????? 12 分 （Ⅱ）方法三： ∵ 不等式 2ln 2ax x a x x? ? ?（ ）對 1[??x ， )?? 恒成立 , ∴ 等價于 2 lna x x x??（ ） 對 1[??x ， )?? 恒成立 . ?????????? 5分 設 212= lny a x x y x??（ ） ,，當 0a? 時 ， 12yy? ； ∴ 0a? ，?????? 6分 函數(shù) 1y 過點 （ 0,0）和（ 1,0），函數(shù) 2y 過 點 （ ）， 12yy? 在 1x? 恒成立 ， 一定存在一條過點（ 1,0）的直線和函數(shù) 1y 、 2y 都相切或 ，一定存在一條過點（ 1,0）的直線 2y 相切和函數(shù) 1y 相交 ， 但交點橫坐標小于 1，????????? 10 分 當都相切時12 12 = 1y ax a a y x??? ? ? ?,． ????????????? 11分 3 3 ln 3g a a??（ ） =9 不大于等于 0. ???????????????? 6分 ∴ 1a? .????????????????????????????? 12 分 (21)（本小題滿分 12 分） 解：（ Ⅰ ） 由題意可知 1cb??， ??????????????????? 2分 ∴ 2a? ，故橢圓的方程為 2 2 12x y??.?????????????? 4分 (Ⅱ ) 設 直線 l 方 程 為 ( 1)( 0)y k x k? ? ? ， 代 入 2 2 12x y?? 有2 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x k x k? ? ? ? ?， ???????????????? 5分 設 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y， AB 中點 00( , )Nx y ， ∴ 221 2 1 24 2 2( ) ,1 2 1 2kkx x x x ?? ? ? ? ???.??????????????? 6分 ∴ 20 1 2 0 02212( ) , ( 1 )2 1 2 1 2kkx x x y k x? ? ? ? ? ? ???????????? 7分 ∴ AB 的垂直平分線方程為001 ()y y x xk? ? ? ?， 令 0y? ，得00 2112 4 2Px x ky k? ? ? ? ? ???????????????? 9分 ∵ 1[ ,0)4Px ??， ∴21 1 14 2 4 2k? ? ? ? ?， ∴ 2 10 2k??．??? ????? 10分 4 2 22221 21 6 4 ( 2 1 ) ( 2 2 )| | 1 | | 1 21k k kA B k x x k k? ? ?? ? ? ? ? ? ? 21 1 3 22 2 [ + ]2 2 ( 2 1 ) 2k???， min 32|| 2AB ?．?????????????????????????? 12分 ． (22)（本小題滿分 10 分） 解 ：（ Ⅰ ）由 221 : 4 0,C x y x? ? ???????????????? 2分 : 2 3 0l x y? ? ? . ???????????????????? 5分 （ Ⅱ ） (2 2, ),4P ? 直角坐標為 (2,2) ，????????????? 6 分1( 2 c o s , s in ) , ( 1 c o s , 1 s in )2QM? ? ? ???， : 2 3 0l x y? ? ? ．?? 8分 M 到 l 的距離 | 1 c o s 2 s in 3 | 1 0 | s in ( ) |545d ? ? ??
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