【正文】 1 習(xí) 題 解 答 習(xí) 題 一 （ A） 1． 用消元法解下列線性方程組： （ 1）??????????????.5432,9753,432321321321xxxxxxxxx 解 由原方程組得同解方程組 1 2 3232 3 4,2 3,x x xxx? ? ??? ??? 得方程組的解為 13232,2 ???? ?? ??令 3xc? ，得方程組的通解為 cxcxcx ?????? 321 ,32,2 ，其中 c 為任意常數(shù)． （ 2）??????????????????.552,12,12432143214321xxxxxxxxxxxx 解 由原方程組得同解方程組 1 2 3 442 1,4 4 ,0 2 ,x x x xx? ? ? ????????? 所以方程組無解． （ 3）??????????????????.05,3523,22,1231321321321xxxxxxxxxxx 解 由原方程組得同解方程組 1 2 32332 1,0,4 1,x x xxxx? ? ?????????? 得方程組的解為 41,41,45321 ????? xxx． 2 （ 4）????????????????????????.23,0243,6332,322432143214321421xxxxxxxxxxxxxxx 解 由原方程組得同解方程組 1 2 3 42343443 2 ,3 10 ,3 9 ,3,x x x xx x xxxx? ? ? ??? ? ? ??? ???? ?? 得方程組的解為 3,4,1,2 4321 ????? xxxx ． 2． 用初等行變換將下列矩陣化成行階梯形矩陣和行最簡形矩陣： （ 1）????????????122212221 ． 解 1 2 2 1 2 2 1 0 02 1 2 0 1 2 0 1 02 2 1 0 0 1 0 0 1rr? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ??? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?，得 行階梯形：??????????100210221 （不唯一）；行最簡形：??????????100010001 ． （ 2）????????????324423211123 ． 解 11 0 223 2 1 1 1 2 3 2551 2 3 2 0 4 10 5 0 1244 4 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0rr?? ????? ? ? ?? ? ? ? ??? ??? ? ? ??? ?? ? ? ?? ? ? ?? ??? ? ? ???，得 行階梯形：?????????????0000510402321 （不唯一）；行最簡形：??????????????????000045251021201． 3 （ 3）????????????211132 ． 解 2 3 1 1 1 01 1 0 1 0 11 2 0 0 0 0rr?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ??? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?，得 行階梯形：?????????? ?001011 （不唯一）；行最簡形：??????????001001 ． （ 4）???????????????34624216311230211111． 解 11 0 0 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 22 0 3 2 1 0 2 5 0 1 10 1 0 021 3 6 1 2 0 0 7 0 00 0 1 0 04 2 6 4 3 0 0 0 0 00 0 0 0 0rr????? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ???? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???，得 行階梯形：??????????????00000007001052011111（不唯一）；行最簡形：????????????????0000000100210010211001． 3． 用初等行變換解下列線性方 程組： （ 1）??????????????.3,1142,53332321321xxxxxxxx 解 21 0 031 3 3 572 1 4 1 1 0 1 090 1 1 3 20 0 19rB???????? ??? ? ??? ?? ??????， 得方程組的解為 4 920,97,32 321 ???? xxx ． （ 2）?????????????????.2222,2562,134432143214321xxxxxxxxxxxx 解 1 1 4 3 1 1 1 4 3 12 1 6 5 2 0 3 2 1 01 2 2 2 2 0 0 0 0 1rB??? ? ? ?? ? ? ?? ??? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， 得方程組無解． （ 3）?????????????????????.1837,4,133,44324324324214321xxxxxxxxxxxxx 解 471 0 0 021 2 3 4 4151 3 0 3 1 0 1 0 120 1 1 1 4230 0 1 20 7 3 1 1820 0 0 0 0rB?????????? ? ????? ?????? ??? ? ??? ????， 得方程組的解為1243447 ,215 ,2232.2xxxxx? ???? ????? ????令 4xc? ，得方程組的通解為 cxcxcxx ?????? 4321 ,2232,215,247 ，其中 c 為任意常數(shù)． （ 4）???????????????????????????.1224,9138436,354236,232254321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 解 1 1 12 1 1 2 3 2 1 0 02 2 26 3 2 4 5 30 0 1 0 4 36 3 4 8 1 3 9 0 0 0 1 0 04 2 1 1 2 1 0 0 0 0 0 0rB??? ? ? ????????? ?????? ????? ??， 5 得方程組的解為1 2 53541 1 1 ,2 2 24 3,0.x x xxxx? ? ? ??? ? ? ??? ???令 2 1 5 2,x c x c??，得方程組的通解為 2542312211 ,0,34,2122 cxxcxcxccx ?????????，其中 21,cc 為任意常數(shù)． （ B） 1． 當(dāng) ? 為何值時，線性方程 組??????????????2321321321,1????xxxxxxxxx有無窮多解，并求解． 解 221 1 1 1 1 1 1 11 1 0 1 0 11 1 0 0 1 1rB ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ??? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?． 當(dāng) 1?? 時， 1 1 1 10 0 0 00 0 0 0rB?????????，方程組有無窮多解，且解為 1 2 3 1x x x?? ? ?． 令 2 1 3 2,x c x c??，得方程組的通解為 2312211 ,1 cxcxccx ?????? ，其中 21,cc 為任意常數(shù)． 3． （ 聯(lián)合收入問題 ）已知三家公司 A、 B、 C 具有如下圖所示的股份關(guān)系，即 A 公司掌握 C公司 50%的股份， C 公司掌握 A 公司 30%的股份，而 A 公司 70%的股份不受另外兩家公司控制等等． 3 現(xiàn)設(shè) A、 B 和 C 公司各自的營業(yè)凈收入分別是 12萬元、 10 萬元、 8萬元，每家公司的聯(lián)合收入是其凈收入加上其它公司的股份按比例的提成收入．試確定各公司的聯(lián)合收入及實際收入． 解 A 公司的聯(lián)合收入為 ，實際收入為 ； B 公司的聯(lián)合收入為 ，實際收入為 ； B A C 6 C 公司的聯(lián)合收入為 ，實際收入為 . 習(xí) 題 二 （ A） 1． 利用對角線法則計算下列行列式： （ 1） cos sinsin cos???． 解 原式 1? ． （ 2）22xyxy． 解 原式 ()xy y x??． （ 3） 1 2 33 1 22 3 1． 解 原式 18? ． （ 4） 000a b caba． 解 原式 3a? ． （ 5） 000 aaba b c． 解 原式 3a?? ． 2．按定義計算下列行列式： （ 1）0 0 00 0 00000abfcde． 解 原式 1 3 1 100 0( 1 ) 0 ( 1 )0b ca f c ab ab c ddede??? ? ? ? ? ?． 7 （ 2）0 1 0 00 0 2 00 0 0 10 0 0nn?LLLLLLLLL． 解 原式 11 0 00 2 0( 1 )0 0 1nnn?? ? ??!)1( 1nn?? ． 3． 利用行列式的性質(zhì)， 計算下列行列式： （ 1） ab ac aebd cd debf cf ef???． 解 原式 1 1 1 1 1 11 1 1 0 2 21 1 1 0 0 2ab c de f ab c de f?? ? ? ? ??abcdef4 ． （ 2）1 1 1 12 2 2 23 3 3 34 4 4 4??????． 解 原式1 1 1 10444 1920 0 6 60 0 0 8??． （ 3）a x a a aa a x a aa a a x aa a a a x????． 解 原式1 1 1 1 1 0 0 000( 4 ) ( 4 )0000a a x a a a xa x a xa a a x a a xa a a a x a x?? ? ? ? ???3(4 )a x x? ． 8 （ 4）2 3 10 01 2 0 10 3 5 185 10 15 4． 解 原式1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1