【正文】 返回 。直至今日，有人仍在研究幻方形成的理論和方法，“洛書”也由此一直被視為大眾數(shù)學或游戲數(shù)學。 “洛書”中顯現(xiàn)出一種數(shù)學形式美的雛形，九個數(shù)字之間奇偶相異，給人以整齊劃一、均衡對稱之感。 “洛書”對數(shù)的結(jié)構(gòu)作了巧妙的再安排，僅用 1到 9這九個自然數(shù)排列成一個正方形，構(gòu)成每一行、每一列以及兩條對角線上 3個數(shù)的和都是 15。 圖 (a) 圖 (b) 返回 我們撇開神話的色彩，其實河圖是由 1到 10的十個自然數(shù)的環(huán)形排列圖，是把 l、 9五個奇數(shù)和 10五個偶數(shù)按照水 (北 )、火 (南 )、木 (東 )、金 (西 )、土 (中 )五行方位排列而成的數(shù)字圈。在大禹治水時，洛水出現(xiàn)一只大烏龜，也背著一本包含治理國家的書，被稱為“洛書”，如圖 (b)。 返回 二、河圖洛書 — 數(shù)學形式美的雛形 《 周易 》 上曾提出一種包含數(shù)學知識來源于神的說法，原文是“河出圖，洛出書，圣人則之。其中乾、震、艮、坎因是奇數(shù)劃而屬陽，坤、離、兌、巽因是偶數(shù)劃而屬陰。 “陽爻 ” 與 “ 陰爻 ” 合稱 “ 兩儀 ” ，如果取兩個為一卦，則這兩個符號的排列組合僅有四種，稱為 “ 四象 ” ：太陽、少陰、少陽、太陰。 從數(shù)學角度看，八卦是世界上最早的二進制碼，“ 易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦 ……” 其中 “ 極、儀、象、卦 ” 和十進制中的 “ 個、十、百、千 ” 一樣可以看作進位制的 “ 權(quán) ” 。其內(nèi)含寓意的深刻，令人贊嘆不已。 這一奇妙的分割產(chǎn)生許多意想不到的美的效果：它使得這個陰與陽之間的對稱不是靜止的，而是若即若離、似合非合，彼此滲透、相互補充。 返回 中國的太極圖表示出了陰與陽的 運動性質(zhì) , 黑色的陰和白色的陽也呈現(xiàn)出一種對稱。 傳說 “ 天神 ” 伏羲氏所創(chuàng)造的太極八卦圖，說明我國古代先人對于圓形所呈現(xiàn)的美有著自己獨特的認識。 人類關(guān)于數(shù)學美的觀念，對于數(shù)學美的感受、追求、探索以及研究也早在遙遠的古代就開始了 , 這里介紹數(shù)學美在中國的源頭。 返回 第四節(jié) 數(shù)學美在中國的源頭 數(shù)學作為一門有組織的、獨立的、理性的學科來說，形成于公元前 6世紀至公元前 3世紀的古希臘時代。 欣賞數(shù)學藝術(shù)，如何在課堂教學中發(fā)掘數(shù)學的藝術(shù)魅力，在我國還沒有得到應(yīng)有重視，特別是當前數(shù)學教學中某種過度形式化的趨向，往往掩蓋了數(shù)學的美麗色彩，遮蔽了數(shù)學文化光芒，以至喪失了數(shù)學教學的美育功能。徐利治先生早就把數(shù)學概念和詩的意境相結(jié)合 , 如借 “ 孤帆遠影碧空盡 ” 來描述極限，更是一種高品位的美學欣賞。 既有啟迪二次型的數(shù)學底蘊，更有描摹天體運動的功能 , 確實是一件完美的科學杰作。 數(shù)學家通過 300余年的努力來證明費馬定理，陳景潤對歌德巴赫猜想的苦苦追求 , 都是追求數(shù)學 “ 完美 ” 的典型事例。達到這一步，學生才算真正感受到數(shù)學美的真諦，被數(shù)學所吸引，喜歡數(shù)學，熱愛數(shù)學。 返回 每個喜歡數(shù)字的人，都曾感受到那樣的時刻： 一條輔助線使無從著手的幾何題豁然開朗， 一個技巧使百思不得其解的不等式證明得以通過， 一個特定的“關(guān)系一映射一反演”方法使原不相干的問題得以解決 , 這時的快樂與興奮真是難以形容，也許只有用一個“妙”字加以概括。可以想見，學生自己發(fā)現(xiàn)一個數(shù)學真理該會是何等的驚喜。發(fā)現(xiàn)它會使人覺得數(shù)學妙不可言，特別是幾何學妙極了。 返回 三、美妙 快樂的美 教師要給學生一些創(chuàng)新、探究、以至發(fā)現(xiàn)的機會，體驗發(fā)現(xiàn)真理的快樂。這一公式會告訴我們許多信息：“士”表示它有 2個根；“ a≠0, △ =b2一 4ac”會顯示根的數(shù)目及方程的性質(zhì) ……, 所以，當你和它熟悉了，就會覺得它形式上雖難看，本質(zhì)卻是美好的。一個突出的例子是一元二次方程的求根公式： a2ac4bbx 22,1????這一公式無論從哪方面看都不對稱、不和諧、不美觀。從祖沖之的計算到今天用計算機算到 60億位小數(shù)，對它的研究尚未完結(jié)。 π既非有理數(shù)又非代數(shù)數(shù)，是超越數(shù)。從性質(zhì)上看它也十分美好。 “美觀 ” 的數(shù)學對象 , 也必須進到 “ 美好 ” 的層次。 上海進才中學教研組，他們在進行立體幾何教學時，要求學生以 “ 柱體 ” 、 “ 臺體 ” 、 “ 錐體 ” 、 “ 球體 ” 、 “ 圓柱 ” 、 “ 圓錐 ” 等 3維幾何圖形，制作一座運動會的獎杯，并要求學生寫出每個部件的方程式。 幾何學常常帶給人們直觀的美學形象 返回 2022年，在東京召開的國際數(shù)學教育大會上，日本教師一堂公開課的題目 : 在一塊矩形場地上筑一花壇，使其面積為場地的一半，要求設(shè)計美觀。 返回 第三節(jié) 讓學生感受數(shù)學美 如何在數(shù)學教學過程中展現(xiàn)數(shù)學美，讓學生在數(shù)學學習中能夠感受和欣賞數(shù)學美，張奠宙教授認為，數(shù)學教學中的美學教育有以下 4個層次： 美觀、美好、美妙、完美。 后來又有人發(fā)現(xiàn)，存在著黎曼可積而又具有無窮多個間斷點的函數(shù)。美國科羅拉多大學化學系的沃爾巴、理查茲和霍爾提萬格，在實驗室第一次合成了形狀和莫比烏斯帶一樣的莫比烏斯分子 , 他們制造莫比烏斯分子的方法同制作莫比烏斯帶的方法極其相似。 3?l 但它并不是的最小估計 , 這個最小估計至今仍然是一個未解之 “ 謎 ” 。兩位美國人的估計是：若紙條寬是 1, 則能做成莫比烏斯帶的最 小長度在 之間。 返回 莫比烏斯帶有許多有趣的性質(zhì)，比如用不同方式去剪開它，可有不同的結(jié)果： 如果沿著紙帶中線剪開，它仍是一條莫比烏斯帶 , 只是長度增加了一倍； 若沿紙帶寬 處剪開，它卻成了一個 扭了兩圈的長莫 比烏斯帶套上一個小莫比烏斯帶。 第二型曲面積分是在雙側(cè)曲面上進行的。 返回 對于 n!, 人們長期認為除了表示 1, 2, 3 , … , n這 n個連續(xù)自然數(shù)的乘積外，再沒有別的意義。13? ?xdx 。 在不定積分中，有些看上去非常簡單的函數(shù)，卻 “ 積 ”不出來： 。 實數(shù)軸上的有理點與無理點都是處處稠密的，然而無理點卻比有理點多得多。 比如，人們長期以為，周期函數(shù)一定存在最小正周期 , 然而狄利克雷函數(shù) ????.0。 ???? ,設(shè) PM = x , MQ = y, AM = MB = a, 則有 1SSSSSSSSCM PQ M DQ M DPFMPFMQ E MQ E MCM P ????????????1s i nCMPM s i nDMMQs i nDQDM s i nFMFPs i nPMFM s i nMQEMs i nEQEM s i nCPCM ??? ????? ????? ????? ??化簡得 22 )PM(DQEQ)MQ(FPCP ?????返回 由相交弦定理知 ,xa)xa)(xa(PBAPFPCP 22 ????????,ya)ya)(ya(QBAQDQEQ 22 ????????故有 .)()( 222222 xyayxa ???因 x, y都大于 0, 上式僅在 x = y, 即 PM = MQ時成立。但由于它優(yōu)美的外形及包含的深