【正文】 變形 — 兩截面間的相對(duì)位移； 二、彈性變形體的虛功原理： 外力虛功＝內(nèi)力虛功； 五、彈性體的幾個(gè)互等定理： 功的互等定理： 位移互等定理： 反力互等定理： 三、單位荷載法求結(jié)構(gòu)位移： 單位荷載的設(shè)置； 四、結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式： 12 21 1 12 2 21。 反力與位移互等定理將在 混合法 計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)中得到應(yīng)用。 反力互等定理將在 位移法 計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)中得到應(yīng)用。 21 12rr?這個(gè)定理對(duì)結(jié)構(gòu)上任何兩個(gè)支座都適用，但須注意反力與位移在做功的關(guān)系上相對(duì)應(yīng)，即力對(duì)應(yīng)線位移，力偶對(duì)應(yīng)角位移。 即 FP1=1 M=1 1 1 2 2 ?12 ?21 l/2 l/2 三、反力互等定理 是虛功互等定理的一個(gè)特殊情況。 位移互等定理將在 力法 計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)中得到應(yīng)用。 如果圖的 FP1和 FP2都是單位力（量綱為 1），相應(yīng)的位移由 ? 改為 ? 表示，則有 1 1 2 2 FP1=1 FP2=1 ?21 ?12 須指出的是，這里的單位力及其相應(yīng)的位移，可以是 廣義力 和相應(yīng)的 廣義位移 。 2112 11 ?? ???1 2 2 1???這就是 位移互等定理 。 證明 : 設(shè)有兩組外力 FP1和 FP2分別作用于同一線彈性結(jié)構(gòu)上，如圖所示，分別稱為結(jié)構(gòu)的第一狀態(tài)和結(jié)構(gòu)的第二狀態(tài)。 一、功的互等定理 (虛功互等定理 ) 表述 : 一個(gè)彈性結(jié)構(gòu)，第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的位移上所做的外力虛功（ W12），等于第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的位移上所做的外力虛功（ W21）。其中， 最基本的是虛功互等定理 （亦簡(jiǎn)稱功的互等定理）；其它三個(gè)定理：位移互等定理、反力互等定理、反力與位移互等定理，則是應(yīng)用虛功互等定理的三個(gè)特例。 167。 4）變形體系的虛功原理同樣適用于剛體體系。 3）在推證時(shí)，沒有涉及到材料性質(zhì)。鑒于力系與變形彼此是獨(dú)立無關(guān)的，因此，如果力系是給定的，則可虛設(shè)位移，稱為變形體系的 虛位移方程 ，它代表 力系的平衡方程 ，?？捎糜谇罅ο抵械哪澄粗?；如果位移是實(shí)有的，則可虛設(shè)力系，稱為變形體系的 虛力方程 ，它代表 幾何協(xié)調(diào)方程 ，?？捎糜谇髮?shí)際位移狀態(tài)中某個(gè)未知位移。 WW?外 變微段總的虛功 dW總 =dW剛 +dW變 FP FR1 FR2 FR3 M q ds ds ds ds ds ds ds ?0 ?0 dλ dη dθ q M FN FQ M+dM FN+dFN FQ+dFQ A A B C D A1 B1 C1 D1 C2 D2 力狀態(tài) 位移狀態(tài) 對(duì)微段的虛位移則區(qū)分為剛體虛位移和變形虛位移兩類 變形體虛功原理的 的證明 dW總 =dW剛 +dW變 由剛體虛功原理，可知 dW剛 =0 于是，微段上總的虛功 dW總 =dW變 對(duì)于全結(jié)構(gòu)，有 ? ?? ? ?變總 WW dd因此，有 W總 =W變 (b) 由于微段上彎矩、軸力和剪力的增量 dM、 dFN和 dFQ以及分布荷載 q在這些變形上所做虛功為高階微量而可略去，因此微段上各力在其變形上所做的虛功為 dW M d Nd Q d? ? ?? ? ?P d d dF Δ M N Q? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?平衡力系 位移狀態(tài) 對(duì)于全結(jié)構(gòu)，有 關(guān)于原理的說明 1）虛功方程既可以用來代替平衡方程，也可以用來代替幾何方程（即協(xié)調(diào)方程）。 8 變形體的虛功原理 關(guān)于變形體虛功原理的表述 變形體系處于平衡的必要及充分條件是，對(duì)于符合約束條件的任意微小虛位移，變形體系上所有 外力 在虛位移上所做 虛功 總和 等于 各微段上 內(nèi)力 在其變形虛位移上所做 虛功總和。求 ??Cx?1c2c3c實(shí)際位移狀態(tài) C B A l l FP=1 C010?解：構(gòu)造虛設(shè)力狀態(tài) 03P1 2 3( ) 1 0 ( 1 )16PCx k k NMMM td s R c t A AE I hFl lC C C lE I h????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????C B A 1?AxF1?CyF1?AyF 虛擬力狀態(tài) FP=1 同時(shí)考慮荷載、溫度和支座位移的影響 剛體體系處于平衡的必要和充分條件是，對(duì)于符合約束條件的任意微小虛位移，剛體體系上所有 外力 所做的 虛功 總和 等于零 。須注意，式中 S前面的 負(fù)號(hào) ，系原來推導(dǎo)公式時(shí)所得，不可漏掉。這時(shí)，平面桿系結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式 kkΔ Rc?? ?式中， 為虛擬狀態(tài)中由單位荷載引起的與支座位移相應(yīng)的支座反力， c為實(shí)際狀態(tài)中與相應(yīng)的已知的支座位移。 解： 121 0 .0 2 m 0 .0 12mC C D EN Δ l? ? ? ? ?( ) A B C D E F G A B C D E F G 21CC?C1 C2 D1 E1 F1 G1 2m 2m 2m 2m 2m 1 1 12mDEN ?167。已知 l=4 m, ,各桿均為矩形截面桿，高度 h= m C0C0C0Ay? 510 ???實(shí)際狀態(tài) 解：構(gòu)造虛擬狀態(tài) 虛擬狀態(tài) 0120021( 10 20) ( 0 20) 25 ,2220 ( 30) 10tttCt t t C? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?單位荷載內(nèi)力圖為： M 圖 N 圖 0222 5 2510( ) ( 25 ) ( 1 )215 15 10 425 25 10 40. 40. 00 5 ( )Ay NMtt A Ahlllhllhm?????????? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ???虛擬狀態(tài) 六、靜定結(jié)構(gòu)由于制造誤差引起的位移計(jì)算 對(duì)于桁架，在溫度變化時(shí)，其位移計(jì)算公式為 0tΔ Nl?? ?當(dāng)桁架的桿件長度因制造誤差而與設(shè)計(jì)長度不符時(shí)，由此引起的位移計(jì)算與溫度變化時(shí)相類似。 M t?對(duì)梁和剛架： 對(duì) 桁 架： 0 NMtt A Ah?? ?? ? ???0t N l??? ?幾種情況： 溫度引起的軸向 變形影響不能少。其上側(cè)、下側(cè)形心軸處纖維伸長分別為 du1 = at1ds du2 = at2ds du = at0ds 式中， a為材料的溫度線膨脹系數(shù)。只要能求出 d? 和 du的表達(dá)式，即可利用上式求得結(jié)構(gòu)的位移。由于上述第一點(diǎn)假設(shè)，溫度沿桿長度均勻分布，桿件不可能出現(xiàn)剪切變形（即微段 dη=0），同時(shí)注意到實(shí)際狀態(tài)的支座位移為零。 Cy?解：作荷載和單位荷載的內(nèi)力圖 )(128]4)832(3)821(83)2831[(14222??????????????EIqlllqlllqlllqlEICy?MP M 分解 6 溫度作用時(shí)的位移計(jì)算 一、關(guān)于溫度變化的假定 第一，溫度沿桿件長度均勻分布； 第二，溫度沿截面高度直線變化。 Cy?A B C FP 2l 2la D 解：作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖 03P P P Pd2 1 2 1 1[ ( ) ]2 2 4 3 4 2 2 4 8 4lPPCyM M NN lsE I E AF l F F l F allaE I E A E I E A? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??A B C FP 2la D 4PlFPM2PNFF P ?2lA B C 1 2la D 4lM21N ?F2l例 . 已知 CD、 BD桿的 和 AC桿的 為常數(shù)，求 。 集中荷載、均布荷載分別做彎矩圖，然后進(jìn)行疊加 。 10 10??? ? ? ?33. 53 25 10 m??? 10 ( )m m m?? ? ? ?BC段在均布荷載和集中荷載作用下 ， 其彎矩圖不是標(biāo)準(zhǔn)的拋物線圖形 。 解：⑴做出 MP圖和 圖分別如圖 b、 c所示。如： PM 圖 FPl/2 FPl/2 FPl/2 FPl/4 FP FPl/4 FP 例 . 已知 EI 為常數(shù)，求 。 CD?解：作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖 231238()12cCDAy qllhE I E IqhlEI? ? ? ? ? ? ?? ? ??hyc ?2 A 例 . 已知 EI 為常數(shù)，求剛架 A點(diǎn)的豎向位移 ，并繪出剛架的變