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[信息與通信]新第5章差錯(cuò)控制編碼(參考版)

2024-10-21 22:18本頁(yè)面
  

【正文】 循環(huán)碼的檢錯(cuò)能力 第 5章 差錯(cuò)控制編碼 124 1. 信道編碼與信源編碼有什么不同 ? 糾錯(cuò)碼能夠檢錯(cuò)或糾錯(cuò)的根本原因是什么 ? 2. 差錯(cuò)控制的基本工作方式有哪幾種 ?各有什么特點(diǎn) ? 3. 漢明碼有哪些特點(diǎn) ? 4. 分組碼的檢 (糾 )錯(cuò)能力與最小碼距有什么關(guān)系 ?檢 、 糾錯(cuò)能力之間有什么關(guān)系 ? 5. 什么叫做奇偶監(jiān)督碼 ?其檢錯(cuò)能力如何 ? 6. 什么是線性碼 ?它具有哪些重要性質(zhì) ? 7. 什么是循環(huán)碼 ?循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式如何確定 ? 。 ? 能檢出全部離散的二位錯(cuò): 對(duì)應(yīng)的錯(cuò)碼多項(xiàng)式 E(x)=xi+xj=xi(1+xji),只要選取的 g(x)不能除盡 (xji+1), 且 (nk)(ji) ? 能檢出全部的奇數(shù)個(gè)錯(cuò)碼: 含有奇數(shù)項(xiàng)錯(cuò)碼的多項(xiàng)式必不含 (x+1)因子, 只要選取的 g(x)含有 (x+1)因子 循環(huán)碼的檢錯(cuò)能力 第 5章 差錯(cuò)控制編碼 123 ? 能檢測(cè)所有長(zhǎng)度不超過 (nk)的突發(fā)錯(cuò)誤: 突發(fā)長(zhǎng)度不大于 b的突發(fā)錯(cuò)誤對(duì)應(yīng)的錯(cuò)碼多項(xiàng)式 為 : E(x)=xi(eb1xb1+ eb2xb2+……+e 1x+1)= xi E1(x) 由于 g(x)除不盡 xi; g(x)為 nk次多項(xiàng)式,只要 E1(x)的次數(shù) b1不超過 (nk1)次, g(x)便除不盡 E1(x)。 第 5章 差錯(cuò)控制編碼 119 譯碼方法 ( 1)目的 — 檢錯(cuò)、糾錯(cuò) 循環(huán)碼的編碼、解碼方法 第 5章 差錯(cuò)控制編碼 120 判斷接收到的碼組多項(xiàng)式 B(x)是否能被生成多項(xiàng)式g(x)整除作為依據(jù) ? 當(dāng)傳輸中未發(fā)生錯(cuò)誤時(shí), B(x)=T(x),則接收的碼組 B(x)必能被 g(x)整除; ? 若傳輸中發(fā)生了錯(cuò)誤, B(x)≠T(x) , B(x)不能被 g(x)整除 B(x)≠T(x) , B(x)能被 g(x)整除 不可檢錯(cuò)誤 ( 2)采用手段: 循環(huán)碼的編碼、解碼方法 第 5章 差錯(cuò)控制編碼 121 ? 由接收到的碼多項(xiàng)式 B(x)計(jì)算校正子(伴隨式)多項(xiàng)式 S(x);即求解 B(x)整除 g(x)的余式 r(x) ? 由校正子 S(x)確定錯(cuò)誤圖樣 E(x); ? 將錯(cuò)誤圖樣 E(x)與 B(x)相加,糾正錯(cuò)誤。 循環(huán)碼的編碼、解碼方法 第 5章 差錯(cuò)控制編碼 117 11)1(1)()(24222456??????????????xxxxxxxxxxxxgxmx kn即余式 r(x)=x2+1 于是,對(duì)應(yīng)碼組 T(x)= xnk m(x)+r(x) = x6+x5+ x2+1 編碼為 1100101 [例題 ] 設(shè)( 7, 3)循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式為g(x)=x4+x2+x+1, 待編碼信息位為 110,求對(duì)應(yīng)循環(huán)碼碼組。 而希望的到得系統(tǒng)循環(huán)碼多項(xiàng)式應(yīng)當(dāng)是 T(x) = xnk m ( x)= x4 生成矩陣為: 3 6 4 32 5 3 21 4 23x g ( x ) x x xx g ( x ) x x xG ( x )x g ( x ) x x xg ( x ) x x 11 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 10 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 10 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 00 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?第 5章 差錯(cuò)控制編碼 114 循環(huán)碼的編碼、解碼方法 編碼方法 ( 1)原理 用碼多項(xiàng)式來(lái)表示為: A =[ mk1 mk2 … m0 ar1 … a1 a0] 011102211 )()( axaxaxmxmxmxA rrknkkkk ??????? ??????? ??)()( xrxxM kn ?? ?式中 M(x)是信息碼組碼多項(xiàng)式,所以只需要確定 r(x) 已知循環(huán)碼的所有碼字都能夠被 g(x)整除, r(x)可由下式確定: )x(g)()( 模knxxMxr ??第 5章 差錯(cuò)控制編碼 115 設(shè)信息位對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式為 m(x) ? 用 xnk乘 m(x),相當(dāng)于把信息碼后附加上( nk)個(gè)“ 0” (詳細(xì)解釋) ? 用 g(x)除 xnk m(x),得到余式為 r(x) ? 編出碼組為: T(x)= xnk m(x)+ r(x) ? ?? ? ? ?? ?? ?xgxrxQxgxmx kn ????(2)編碼步驟 循環(huán)碼的編碼、解碼方法 第 5章 差錯(cuò)控制編碼 116 例如 :信息碼為 110,它相當(dāng)于 m(x)= x2+x。 解:由生成多項(xiàng)式可知 nk=3,而 k=4,所以 n= 7 1)( 3 ??? xxxg???????????????????????????????????????????????????????????1)()()()()()()()()(3242353462321xxxxxxxxxxxxgxxgxgxxgxxgxxgxgxxgxxGkk?第 5章 差錯(cuò)控制編碼 110 ???????0001001001011011G??????011110100000 第 1行 +第 3行 +第 4行 第 1行 ???????0001001001011000G??????011110100101 第 2行 +第 4行 第 2行 ???????0001001001001000G??????011110111101 非典型 典型 當(dāng)信息位為 1000時(shí),整個(gè)碼組為 第 5章 差錯(cuò)控制編碼 111 ???? ]1 0 0 0[][ 3456 GaaaaA??????0001001001001000??????011110111101]1 00 0 10 1[?監(jiān)督位為 101 第 5章 差錯(cuò)控制編碼 112 1111111111010011010011100010101100010100111001110100010101110100110001010110001001110011101001011000010110000000已知( 7, 4)循環(huán)碼的全部碼組為: 試寫出該循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式 g(x)和生成矩陣 G, 并將 G化成典型矩陣。 解:對(duì)( 7,3)循環(huán)碼, n=7, k=3, r=4 由上例已知 生成多項(xiàng)式 為: g(x)= x4+x2+x+1 循環(huán)碼的編碼原理 將第 1行與第 3行 模 2加 作為第 1行,則有 ???????????111010001110101101001G為典型生成矩陣 第 5章 差錯(cuò)控制編碼 108 [接上例 ]設(shè)信息碼為 101,求整個(gè)碼組。生成矩陣 G(x)的每一行都是一個(gè)碼組。 g(x), xg(x) … , xk1g(x) knr ??1?nx 循環(huán)碼的編碼原理 第 5章 差錯(cuò)控制編碼 105 g(x), … … , xk1g(x)都是許用碼組,連同 g(x)共 k個(gè)許用碼組,構(gòu)成碼的 生成矩陣 G(x) 注:該生成矩陣并不是典型形式的,但可通過線性變換變換成典型的生成矩陣。 循環(huán)碼的編碼原理 第 5章 差錯(cuò)控制編碼 103 例如: 上表中的編碼為 (7, 3)循環(huán)碼, n = 7, k = 3, n – k = 4,其中唯一的一個(gè) (n – k) = 4次碼多項(xiàng)式代表的碼組是第二碼組 0010111,與它對(duì)應(yīng)的碼多項(xiàng)式即生成多項(xiàng)式為: g(x) = x4 + x2 + x + 1。在 (n,k)循環(huán)碼中任意碼多項(xiàng)式 A(x)都是最低次碼多項(xiàng)式的倍式。 結(jié)論:一個(gè)碼長(zhǎng)為 n的 (n, k)循環(huán)碼,它必為按模 xn+1運(yùn)算的一個(gè)余式。 T(x)≡Ti(x) (模 xn+1) 則 Ti(x) 也是一許用碼組,且為 A(x)碼組向左循環(huán)移位 i次的結(jié)果。 T(x)在按模 xn+1運(yùn)算下,也是一許用碼組。 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=0 0*0=0 0*1=0 1*1=1 循環(huán)碼的編碼原理 第 5章 差錯(cuò)控制編碼 94 若一個(gè)整數(shù) m可以表示為 : 是整數(shù)QnpnpQnm ???則在模 n運(yùn)算下,有 m≡p(模 n),同樣對(duì)于多項(xiàng)式而言: ? ?? ? ? ?? ?? ?xNxRxQxNxF ??則可以寫為: F(x)≡R(x) (模 N(x))。對(duì)于二進(jìn)制碼組,多項(xiàng)式的每個(gè)系數(shù)不是 0就是 1, x僅是碼元位置的標(biāo)志。 x2 + 0 x4 + 0 x6+1 循環(huán)碼的編碼原理 第 5章 差錯(cuò)控制編碼 90 若 (an1,an2……,a 1,a0)是一 (n,k)循環(huán)碼的碼組,則 (an2 ,an3 ,……,a 1,a0 ,an1) (an3 ,an4 ,…… , a 0 , an1 ,an2) …… …… ( a0 ,an1 , an2 ,an3 ,……,a 2 ,a1) 也都是該循環(huán)碼的碼組。通常前 k位為信息位,后 r位為監(jiān)督位。這種碼的編碼和解碼設(shè)備都不太復(fù)雜,且有較強(qiáng)的檢(糾)錯(cuò)能力。H T=0 即( A1 + A2)必是該碼中一許用碼組 [例 53] 證明線性分組碼的封閉性。H T+ A2H T=0 A2Ir] 其中 P=QT,可得監(jiān)督矩陣 H為: ??????????100110101010110010111第 5章 差錯(cuò)控制編碼 83 ?錯(cuò)誤矩陣 /錯(cuò)誤圖樣 E: 設(shè)發(fā)送碼組為 A,接收碼組為 B, (6) 校正子與檢錯(cuò) 則錯(cuò)誤矩陣 ? ?? ?n 1 n 2 1 0n 1 n 2 1 0A a a . . . a aB
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