【正文】 I=int(int(x^3*A,u,0,pi/2),v,0,2*pi) I = 2/5*pi*a^3*c*b 。 z=c*cos(u)。 x=a*sin(u)*cos(v)。 z=c*cos(u)， u[0,pi/2], v[0,2*pi]. syms u v。 ％引入?yún)?shù)方程 x=a*sin(u)*cos(v)。 G=simple(diff(x,v)^2+diff(y,v)^2+diff(z,v)^2)。 E=simple(diff(x,u)^2+diff(y,u)^2+diff(z,u)^2)。 z=v。 x=u*cos(v)。 I=int(int(x*y*z*sqrt(1+diff(z,x)^2+ diff(z,y)^2),y,0,ax),x,0,a) I = 1/120*3^(1/2)*a^5 若曲面由參數(shù)方程 曲面積分 例： syms u v。 syms a positive。曲面 由 給出，則該積分可轉(zhuǎn)換成 xy平面的二重積分為 dSS ( , )z f x y?例： ％四個(gè)平面，其中三個(gè)被積函數(shù)的值為 0，只須計(jì)算一個(gè)即可。 diff(y,x)]。 F=[x^22*x*y,y^22*x*y]。 I=int(F*ds,t,2*pi,0) % 正向圓周 I = 2*pi 2 2 2 2lx y x yd x d yx y x y?? ????例： syms x。 ds=[diff(x,t)。 y=a*sin(t)。 syms a positive。 I2=int((x^2+y1^2)*sqrt(1+diff(y1,x)^2),x,1,0)。 y2=x^2。 plot(x,y1,x,y2) ％繪出兩條曲線 syms x。 y1=x。 z=a*t。 x=a*cos(t)。), 0, 1, 0, pi, 0, pi,1e7,quadl) ans = 曲線積分與曲面積分的計(jì)算 ? 曲線積分及 MATLAB求解 – 第一類曲線積分 起源于對(duì)不均勻分布的空間曲線總質(zhì)量的求取 .設(shè)空間曲線 L的密度函數(shù)為f(x,y,z),則其總質(zhì)量 其中 s為曲線上某點(diǎn)的弧長(zhǎng) ,又稱這類曲線積分為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分 . ? 數(shù)學(xué)表示 若 弧長(zhǎng)表示為 ( ) , ( ) , ( )x x t y y t z z t? ? ?例： syms t。,39。,39。, … 39。 ?? 例： triplequad(inline(39。)。,39。,39。 % 內(nèi)積分下限 f=inline(39。y39。sqrt(1y.^2)39。)。,39。 fh=inline(39。 int(i1, x, 1/2, 1) Warning: Explicit integral could not be found. In D:\MATLAB6p5\toolbox\symbolic\sym\ at line 58 ans = int(2*exp(1/2*x^2)*sin(x^2)*sin(1/2*(42*x^2)^(1/2)), x = 1/2 .. 1) vpa(ans) ans = .41192954617629511965175994017601 2 2211221 1si n( )y xyI e x y dx dy??? ??????222221s i n ( )xxyI e x y d x d y???????例： 計(jì)算單位圓域上的積分： 先把二重積分轉(zhuǎn)化： syms x y i1=int(exp(x^2/2)*sin(x^2+y), x, sqrt(1y.^2), sqrt(1y.^2))。)。,39。,39。 % 內(nèi)積分下限 f=inline(39。x39。sqrt(1x.^2/2)39。)。,39。 y=dblquad(f,2,2,1,1) y = ? 任意區(qū)域上二元函數(shù)的數(shù)值積分 (調(diào)用工具箱NIT），該函數(shù)指定順序先 x后 y. 例 fh=inline(39。y39。x39。exp(x.^2/2).*sin(x.^2+y)39。:39。)。 hold on ％不定積分可上下平移 fnplt(a,39。cos(t)+239。 xx=fnval(b,[0,pi])。 xx(2)xx(1) ans = 0 s in xd x?? sp2=spapi(5,x,y)。 a=fnint(sp1,1)。 y=sin(x)。 例：考慮 中較稀疏的樣本點(diǎn) ,用樣條積分的方式求出定積分及積分函數(shù)。 z=(x^22*x)*exp(x^2y^2x*y)。 ％ B樣條 dspxy=fnder(sp,[1,1])。 z=(x.^22*x).*exp(x.^2y.^2x.*y)。 y0=2:.2:2。)。 fnplt(dsp2,39。 fnplt(dsp1,‘’)％繪制樣條圖 sp2=spapi(5,x,y)。 sp1=csapi(x,y)。 ezplot(diff(f),[0,1]), hold on x=0:.12:1。 – 格式： Sd=fnder(S,[k1,… ,kn]) 可以求取多變量函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) ? 例： syms x。gaussf39。 function y=gaussf(x) y=cos(x)。 x=[h*()+c, c, h*+c]。n x x A An x x A AxA? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? 以 n=2的高斯公式為例： function g=gauss2(fun,a,b) h=(ba)/2。 I=vpa(int(exp(x^2),0,2)+int(80/(4sin(16*pi*x)),2,4)) I = Gauss求積公式 ? 為使求積公式得到較高的代數(shù)精度 ? 對(duì)求積區(qū)間 [a,b]，通過變換 ? 有 11 0( ) ( )nkkkf x dx A f x? ?? ??22b a b axt????11 0( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2nbkakb a b a a b b a b a a bf x dx f t dt A f t? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ????0 1 0 10 2 0 2111 , 0 . 5 7 7 3 5 0 3 , 1 . 0 0 0 0 0 0 0 0 。)。,39。 ? 調(diào)用 quad( ): f=inline(39。g39。 y=[0,y]。 y(end)=0。 y=quad(f,0,) y = ? 運(yùn)用符號(hào)工具箱： syms x, y0=vpa(int(2/sqrt(pi)*exp(x^2),0,),60) y0 = .966105146475310713936933729949905794996224943257461473285749 y=quad(f,0,1e20) % 設(shè)置高精度，但該方法失效 ? 例： 提高求解精度： y=quadl(f,0,1e20) y = abs(yy0) ans = .6402522848913892e16 format long ％ 16位精度 y=quadl(f,0,1e20) y = ? 例： 求解 繪制函數(shù) : x=[0::2, 2+eps::4,4]。x39。2/sqrt(pi)*exp(x.^2)39。c3ffun39。后面函數(shù)算法更精確，精度更高。 h, I, 1/15I ]。 I=trapz(x,y)。 for h=h0, x=[0:h:3*pi/2, 3*pi/2]。 plot(x,y) % 求取理論值 syms x, A=int(cos… (15*x),0,3*pi/2) A = 1/15 隨著步距 h的減小，計(jì)算精度逐漸增加： h0=[,]。 S=sum((2*y(1:end1,:)+diff(y)).*diff(x))/2 S = S1=trapz(x1,y) % 得出和上述完全一致的結(jié)果 S1 = ? 例： 畫圖 x=[0::3*pi/2, 3*pi/2]。 y=[sin(x1) cos(x1) sin(x1/2)]。 surf(x,y,abs(fyzy))。 surf(x,y,abs(fxzx))。 zx=exp(x.^2y.^2x.*y).*(2*x+2+2*x.^3+x.^2.*y4*x.^22*x.*y)。 fx=fx/。 z=(x.^22*x).*exp(x.^2y.^2x.*y)。 surf(x,y,abs(fyzy))。 surf(x,y,abs(fxzx))。 quiver(x,y,fx,fy) %繪制等高線與 引力線圖 ? 繪制誤差曲面 : zx=exp(x.^2y.^2x.*y).*(2*x+2+2*x.^3+x.^2.*y4*x.^22*x.*y)。 contour(x,y,z,30)。 fx=fx/。 z=(x.^22*x).*exp(x.^2y.^2x.*y)。 a=。 ? 例： xd=[ 0 ]。 fact(i)=i*fact(i1)。 ％去掉常數(shù)項(xiàng) fact(1)=1。 d=polyfit(xda,yd,m)。fact=[factorial(k),fact]。fact=[1]。L=length(xd)。 yd=[ ]。 ? 選取 x=0附近的少量點(diǎn) ? 進(jìn)行多項(xiàng)式擬合或插值 ? g(x)在 x=0處的 k階導(dǎo)數(shù)為