第四節(jié)定積分的應(yīng)用舉例(參考版)
2024-10-02 12:23本頁(yè)面
【正文】 設(shè)土層對(duì)樁的阻力大小與被打進(jìn)地下的深度成正比（比例系數(shù)為 k， k0），汽錘第一次擊打?qū)洞蜻M(jìn)地下 a（ m），根據(jù)設(shè)計(jì)方案，要求汽錘每次擊打所做的功與前一次擊打所做的功之比為常數(shù) r（ 0r1） .求 （ 1）汽錘擊打樁 3次后，可將樁打進(jìn)地下多深？ （ 2）若擊打次數(shù)不限，汽錘至多能將樁打進(jìn)地下多深？ 解 （ 1）這是一個(gè)定積分中用元素法求做功問(wèn)題 ,屬于定積分在物理應(yīng)用問(wèn)題。由物理學(xué)知，單位正電荷在點(diǎn) 時(shí)電場(chǎng)對(duì)它的作用力的大小為 微元素功為 于是從 a到 b所做的功為 2qd W k d rr?2qFkr?21 1 1[ ] [ ] .b baaqW k d r k q k qr r a b? ? ? ? ?? 例 7 設(shè)有一直徑為 8m的半球形水池，盛滿(mǎn)水，若將池中的水 抽干，問(wèn)至少需做多少功？ 其所受重力 解 建立直角坐標(biāo)系，如圖 624，池壁與 xOy平面的交線(xiàn)為 半圓周 取 x為積分變量， 與小區(qū)間 對(duì)應(yīng)的是厚度為 dx的一層水，這層水的體積 ? ?22 16 0 .x y x? ? ? ? ?0, 4 .x? ? ?,x x dx?? ? ? ?2 2 31 6 ,d V y d x x d x m??? ? ? 其中水的密度 重力加速度 把這層水抽出，至少需提升 x（單位： m） 距離，故需作功至少為 ? ? ? ?21 6 ,d P g d V g x d x k N??? ? ? / ,g m s?331 0 / ,kg m? ?O x y dx 圖 624 ? ? ? ?21 6 ,W d W g x x d x k J?? ? ? ?因此，把水抽干需作的功至少為 ? ? ? ? ? ?44 2220011 6 1 6 6 4 1 9 6 9 . 4 .4W g x x d x g x g k J? ? ???? ? ? ? ? ? ??????2．水壓力 例 8 設(shè)有一等腰三角形閘門(mén)，垂直 至于水中，底邊與水面相齊，已知閘門(mén)底 邊長(zhǎng)為 a（單位： m） ,高為 h(單位： m), 試求閘門(mén)的一側(cè)所受的水壓力。 用垂直于 x軸的平面截旋轉(zhuǎn)體，所得截面都是圓，其面積為 。 選積分變量 x，積分區(qū)間為 ，對(duì)應(yīng)于 中任一小區(qū)間 （圖 612）的窄條面積近似為 于是橢圓面積為 ? ?0,a? ?0,a? ?,x x dx? 22,bd A y d x a x d xa? ? ?2204a bA a x d xa??? 用換元法計(jì)算這個(gè)積分，設(shè) s in , a r c s in , c o s ,xx a t t d x a td ta? ? ?0 0 ,xt??當(dāng) 時(shí) ， .2x a t???時(shí) ， 于 是2 2 2 2200414 c o s 422a bbA a x d x a td t a b a baa? ? ?? ? ? ? ? ? ???y
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