【正文】 材料科學(xué)與工程學(xué)院 材料研究方法與測(cè)試技術(shù) 晶帶定律的應(yīng)用： ① 由晶面 （ h1k1 l1） 和 （ h2 k2 l2） 求晶帶符號(hào) 根據(jù)晶帶定律建立方程組： h1u＋ k1v＋ l1w =0 h2u＋ k2v＋ l2w = 0 解出： ② 由晶向 [u1 v1 w1]和 [u2 v2 w2]求晶面符號(hào) 建立方程組： hu1＋ kv1＋ lw1 = 0 hu2＋ kv2＋ lw2 = 0 得： ③ 由同一晶帶的兩個(gè)晶面 （ h1 k1 l1） 和 （ h2 k2 l2） 求此晶帶上另一晶面指數(shù)，由： h1u＋ k1v＋ l1w = 0 h2u＋ k2v＋ l2w = 0 有： （ h1＋ h2） u＋（ k1＋ k2） v＋（ l1＋ l2） w = 0 即： （ h1＋ h2）、（ k1＋ k2）、（ l1＋ l2） 為此晶帶上一晶面的晶面指數(shù)。 材料科學(xué)與工程學(xué)院 材料研究方法與測(cè)試技術(shù) 正空間 倒空間 圖 2?3 晶帶正空間與倒空間對(duì)應(yīng)關(guān)系圖 材料科學(xué)與工程學(xué)院 材料研究方法與測(cè)試技術(shù) 顯然，同一 [uvw]晶帶中各 (HKL)面對(duì)應(yīng)的倒易 (陣 )點(diǎn) (及相應(yīng)的倒易矢量 ) 位于過(guò)倒易原點(diǎn) O*的一個(gè)倒易(陣點(diǎn) )平面內(nèi)．反之，也可以說(shuō)過(guò) O*的每一個(gè)倒易 (陣點(diǎn) )．平面上各倒易點(diǎn) (或倒易矢量 )對(duì)應(yīng)的 (正點(diǎn)陣中的 )各 (HKL)晶面屬于同一晶帶，晶帶軸 [uvw]的方向即為此倒易平面的法線方向，此平面稱為 (uvw)0*零層倒易平面．在倒易點(diǎn)陣中，以 [uvw]為法線方向的一系列相互平行的倒易平面中， (uvw)0*即為其中過(guò)倒易原點(diǎn)的那一個(gè)倒易平面． 材料科學(xué)與工程學(xué)院 材料研究方法與測(cè)試技術(shù) 1 1 12 2 200H u K v L wH u K v L w? ? ??? ? ? ??1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 21 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1: : : :( ) : ( ) : ( )K L L H H Ku v wK L L H H KK L K L L H L H H K H K?? ? ? ? 若已知 [uvw]晶帶中任意兩晶面 (H1KlLl)與 (H2K2L2)，則可按晶帶定理求晶帶軸指數(shù)．按式 (153)．有 (154) 材料科學(xué)與工程學(xué)院 材料研究方法與測(cè)試技術(shù) 晶帶定律的應(yīng)用 在實(shí)際晶體中，立方晶系最為普遍，因此晶帶定理有非常廣泛的應(yīng)用。 材料科學(xué)與工程學(xué)院 材料研究方法與測(cè)試技術(shù) 由于同一 [uvw]晶帶各 (HKL)晶面中法線與晶帶軸垂直 ， 也即各 (HKL)面對(duì)應(yīng)的倒易矢量 rHKL*與晶帶軸垂直 ，故有 * * * *( ) ( ) 0u v w H K Lr r u a v b w c H a K b L c? ? ? ? ? ? ? ?0H u K v L w? ? ?(153) 即凡是屬于 [uvw]晶帶的晶面 ,它們的晶面指數(shù)(HKL)都必須符合上式的條件。 晶帶軸的晶向指數(shù)即為該 晶帶的指數(shù) 。 按式 （ 148） ；按矢量點(diǎn)積性質(zhì)， 有 HKLr*HKLr*2HKL2HKL1r*d?（ ） （ ）2H K L H K L H K Lr * r * = r *? （ ）H K L H K L2HKL1 r * r *d ??（ ）故2HKL1 ( * * * ) ( * * * )d H a K b L c H a K b L c? ? ? ? ? ?222HKL1 ( * ) ( * ) ( * ) 2 ( * * ) 2 ( * * ) 2 ( * * )d H a K b L c H K a b H L a c K L b c? ? ? ? ? ? ? ? ?(1 49)?HKLr*材料科學(xué)與工程學(xué)院 材料研究方法與測(cè)試技術(shù) （ 150） (149)為晶面間距的倒易點(diǎn)陣參數(shù)表達(dá)式，適用于各個(gè)晶系．按各晶系倒易點(diǎn)陣參數(shù)與正點(diǎn)陣參數(shù)的關(guān)系進(jìn)行換算，即可得到不同晶系各自的晶面間距與點(diǎn)陣參數(shù)關(guān)系式． 以立方晶系為例，由式 (146)，有 代入式（ 149），得 * 2 * 2 * 2 * * *21( ) ( ) ( ) , c o s c o s c o s 0abca ? ? ?? ? ? ? ? ?2 2 2221H K LH K Lda???2 2 2H K LadH K L? ??材料科學(xué)與工程學(xué)院 材料研究方法與測(cè)試技術(shù) （ 151） 式 (150)即為立方系晶面間距公式．由此式可知， dHKL2不僅與點(diǎn)陣常數(shù)以 有關(guān)，而且反比于晶面干涉指數(shù)平方和．其余晶系之晶面間距公式可據(jù)式 (149)自行推算或查閱資料獲得． (2)晶面夾角公式 由于兩晶面 (H1K1L1)與 (H2K2L2)之夾角 (?)可用兩晶面 法線夾角表示，也即可用兩晶面對(duì)應(yīng)之倒易矢量夾角表示，故有 1 1 1 2 2 21 1 1 2 2 2****c o s H K L H K LH K L H K Lrrrr??? 1 1 1 2 2 2* * * * * *1 1 1 2 2 2**( ) ( )c o sH K L H K LH a K b L c H a K b L crr?? ? ? ? ???1 1 1 2 2 2* 2 * 2 * 2 * *1 2 1 2 1 2 2 1*** * * * * * * * * *2 1 1 2 2 1 1 2 1 21c o s [ ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ]H K L H K LH H a K K b L L c H K a brrH L a c H K a b K L c b H L a c K L c b? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?2a材料科學(xué)與工程學(xué)院 材料研究方法與測(cè)試技術(shù) 式 (151)為晶面夾角的倒易點(diǎn)陣參數(shù)表達(dá)式，適用于各個(gè)晶系．根據(jù)各晶系的特點(diǎn)將倒點(diǎn)陣參數(shù)與正點(diǎn)陣參數(shù)換算，即可得到不同晶系各自的晶面夾角與點(diǎn)陣參數(shù)關(guān)系式．仍以立方晶系為例，將式 (146)及 代入式 (151)，得 (152) 式 (152)即為立方系晶面夾角公式． 2 2 2* 1H KLH KLH K Lrda????1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2c o s H H K K L LH K L H K L? ???? ? ? ? ?材料科學(xué)與工程學(xué)院 材料研究方法與測(cè)試技術(shù) 三、晶帶 在晶體結(jié)構(gòu)或空間點(diǎn)陣中， 與某一取向平行的所有晶面均屬于同一個(gè) 晶帶 。 4. 晶面間距與晶面夾角公式 （ 1）晶面間距公式 晶面間距是材料衍射分析等工作中用以表達(dá)晶體結(jié)構(gòu)的重要參數(shù)。也可依據(jù) 與（ HKL）的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)作圖法建立倒易點(diǎn)陣。圖 115為晶面與倒易矢量（倒易點(diǎn)）對(duì)應(yīng)關(guān)系示例。 HKL d 0n0 0 1 2 3( ) [ ( * * * / * ]H K L n H K Lad O A O A n H a Ka La rH? ? ? ? ? ? ?（ ） ）HKLHKL1d=r*HKLHKL1r*d?r*材料科學(xué)與工程學(xué)院 材料研究方法與測(cè)試技術(shù) （ 1）倒易陣點(diǎn)與正點(diǎn)陣（ HKL）晶面的對(duì)應(yīng)關(guān)系 的基本性質(zhì)確切表達(dá)了其與（ HKL）的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，即一個(gè) 與一組（ HKL）對(duì)應(yīng)； 的方向與大小表達(dá)了（ HKL）在正點(diǎn)陣中的方位與晶面間距；反之，（ HKL）決定了 的方位與大小。若 終點(diǎn)（倒易點(diǎn)）坐標(biāo)為（ H， K， L）（此時(shí)可將 記作 ），則 在倒易點(diǎn)陣中的坐標(biāo)表達(dá)式為 的基本性質(zhì)為： 垂直于正點(diǎn)陣中相應(yīng)的（ HKL）晶面，其長(zhǎng)度 等于（ HKL）之晶面間距 的倒數(shù)。b c aaV a a? ?? ? ?c o s 9 0 c o s 9 0 c o s 9 0c o s * 0s in 9 0 s in 9 0?? ? ??????* 9 0? ??* * * *bc ??同 理 可 得 、 、 、 ， 即1* * ** * * 90abca? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ??(1 46)?材料科學(xué)與工程學(xué)院 材料研究方法與測(cè)試技術(shù) z KbLcHa *H K LrC0n BxO O*（ ） Ay材料科學(xué)與工程學(xué)院 材料研究方法與測(cè)試技術(shù) 在倒易點(diǎn)陣中建立坐標(biāo)系：以任一倒易陣點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)（以下稱倒易原點(diǎn)，一般取其與正點(diǎn)陣坐標(biāo)原點(diǎn)重合），以 分別為三坐標(biāo)軸單位矢量。 由式（ 1 42）可導(dǎo)出由 表達(dá) 的關(guān)系式，即