【正文】 根據(jù)以上的討論，我們首先研究離散周期序列的傅氏變換。 周期序列取其主值區(qū)間（ n=0,~,N1)可以得到有限長序列。 3 第 2版 第 3章 離散傅氏變換 DFT 數(shù)字信號處理 79 連續(xù)非周期信號 )()( ?jXtx aa ? 連續(xù)非周期頻譜 ? ??? ?? dtetxjX tjaa ?? )()( ? ???? ?? ?? dejXtx tjaa )()( 2 1 連續(xù)周期信號（周期pt） )()(~1?kXtx aa ?離散非周期頻譜（基頻pt?? 21 ?）?? ?? 2 211 1)(~)( p pp t t tjkata dtetxkX ?? ? tjkkaa ekXtx 1)()(~ 1???????? 離散非周期信號 )()( ?jeXnx ? 連續(xù)周期頻譜（周期 ?2 ） njnj enxeX ?? ??????? )()( ? ??? ? ? ??? ?deeXnx njj )()( 2 1 離散周期信號（周期 N ） )(~)(~ kXnx ? 離散周期頻譜（周期 N ） Nj k nNnenxkX?210)(~)(~ ????? ? Nj k nNkN ekXnx?2101 )(~)(~ ???? 傅 氏 變 換 的 幾 種 形 式 80 離散化頻譜 討 論 在四種傅立葉變換中，只有第四種適合于在計算機上演算。 )]()()1()[(4 4 )( nununh nn ?????? 由于系統(tǒng)函數(shù)的收斂域不包括 ??z ，系統(tǒng)為非因果的。 （ 2 ）若要使系統(tǒng)穩(wěn)定，則收斂域應(yīng)包括單位圓。 （ 2 ） 如果要求系統(tǒng)穩(wěn)定，求滿足上述差分方程的系統(tǒng)單位沖擊響應(yīng)；并討論此系統(tǒng)因果特性。這時， )( ?? 變化為 0 ，系統(tǒng)是最小相位變化系統(tǒng)。 所以另、極點位置可以影響幅度頻率特性的形狀。且id越接近單位圓 ，谷值越低。但極點過于靠近單位圓，容易引起系統(tǒng)不穩(wěn)定。 74 id|| ij de ?單位圓 ?jez ?)(??i零、極點矢量圖 kc)(??k|| kj ce ?75 討論： 幅頻特性： 在極點id附近， ||ij de ? 最小， |)(| ?jeH 將出現(xiàn)峰值。 考察系統(tǒng)頻率函數(shù))(|)(|)( ??? ?? jjj eeHeH，相當(dāng)于 z 在單位圓上變化。 A 為常數(shù)。 系統(tǒng)因果特性： 如果 )( zH 的 收 斂 域 包 括 無 窮 遠 點 ， 即 ??????0)()(nnznhzH ， 0 0)( ?? nnh ，則系統(tǒng)因果。 因為 kzzXknxZ ??? )()]([ ，再進行整理得：????????NkkkMiiizazbzXzYzH00)()()( 72 系統(tǒng)函數(shù)的收斂域與系統(tǒng)特性 結(jié)論： 系統(tǒng)函數(shù) )( zH 的收斂域滿足 ???? ||1: zRR OC ，即所有的極點都在單位圓內(nèi)，為 L T I 系統(tǒng)是因果穩(wěn)定的充要條件。 所以， )()()( zXzYzH ? 從系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)出發(fā)，也可得： ?? jezj zHeH ?? |)()( 。 對于 L TI 系統(tǒng)， )()()( nhnxny ?? 。在以后的使用中，如果不做特別說明，則 Z變換就是指的雙邊 Z變換。當(dāng)然，也可以直接使用雙邊 Z變換來解。 說明：對于因果序列單變 Z變換與雙邊 Z變換相同。 其 RzR O C ?: 為某圓外區(qū)域。 nznznzzzzzzzzzzzznx)(138])1(12[])(12[] [sRe[]sRe)(1231123?????????????????? 因為當(dāng)2?n時原點為極點。求 ))(1(21)(1131?????????zzzzzX 1: ?zR O C 的 Z 反變換。 則： kk zzsszzndzzdszzX ????? ??? ])([)!1(1])([sRe111 如果：在 z 0 處有 1 階極點。 公式證明見 P37。 解：)1()1()1)(1(1)(1312111311131231134131??????????????????zczczzzzzzzX 021 ?? cc，311312 ??? cc 解得：211 ?c，212 ??c )( zX的極點為11 ?z，312 ?z，根據(jù)不同的 R O C 得反變換。求 )(22???zzzzX R O C :1|| ?z 的 Z 反變換。 系數(shù)kzzkk zXzzzC ???? )]()([。這時可以先把 )( zX 用部分分式 法 分解成低次分式之和，再求各低次分式的反變換的疊加等于 )( nx 。 解：?????????? ??????060626 )2()2(11)(nnnnnzzzzzzzX 根據(jù)冪級數(shù)系數(shù)的對應(yīng)關(guān)系和 Z 變換的時延特性得： )6()2()( 6 ??? ? nunx n 部分分式法 序列的 Z 變換常可表示成有理分式： )()()( zQzPzX ? 。（多項式長除法） 例、求 4321 3531)( ???? ????? zzzzzX ??? ||0: zR OC 的逆 Z 變換。對一般序列要結(jié)合收斂域與序列形式的關(guān)系來決定。 冪級數(shù)法 對因果序列，因為 ??????0)()(nnznxzX。 初值特性： 0 0)( ?? nnx （因果序列） 則： )(lim(0 ) zXx z ??? 62 其余特性見 P37 表 13。當(dāng)1|| ?時， R O C 不存在。 例：nbnx ?)( b 為實數(shù)，討論其 Z 變換的收斂域。單邊序列的情況下，內(nèi)環(huán)可能為原點；外環(huán)可能為無窮遠點。 Z 平面上的圓環(huán)。 假設(shè) z 0 是它幅度最小的極點。 假設(shè) z 0 是它幅度最大的極點。記為 ROC (Region of Convergence)。 所以，在說明某解析函數(shù)是某個序列的 Z變換時，要同時給出收斂域。根據(jù)級數(shù)收斂的條件， X(z)收斂的條件是級數(shù)絕對可和。 說明： L TI 系統(tǒng)的輸出信號也可以表示成 ???? ????? ??????? ?deeHeXeHeXFeYFny njjjjjj )()()]()([)]([)( 2 111 54 離散信號的 Z變換 為了將離散系統(tǒng)的差分方程的解法，轉(zhuǎn)換成代數(shù)解法引入 Z變換。 定義： )()()()(????jjnjnjeXeYenheH ?? ?????? 為離散 L T I 系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。 52 對于復(fù)數(shù)序列及頻譜為 )()( ?jeXnx ? 則有：（ 1 ） )()( ?jeXnx ??? ? ， )()( ?jeXnx ?? ?? （ 2 ） )()](R e [ ?je eXnx ?， )()](I m [ ?jo eXnx ? （ 3 ） )](R e [)( ?je eXnx ?， )](I m [)( ?jo eXnx ? 對于實數(shù)序列及頻譜為 )()( ?jeXnx ? ，則有： （ 1 ） )()( ?? jj eXeX ??? ，共軛對稱 （ 2 ） )](R e [)](R e [ ?? jj eXeX ?? 實部偶對稱， )](I m [)](I m [ ?? jj eXeX ??? 虛部奇對稱 （ 3 ）)()( ?? jj eXeX ??模偶對稱， )](a r g [)](a r g [ ?? jj eXeX ??? 幅角奇對稱 （ 4 ） )](R e [)( ?je eXnx ?， )](I m [)( ?jo eXnx ? 說明： 由于采樣信號序列 )( nx 是實數(shù)序列，其頻譜 )( ?jeX 的模和幅角都具有對稱性，所以實際上在進行采樣信號序列 )( nx 的付氏變換時只需計算半周期值 ),0( ?? ? ，另外半周期值 可以通過 對稱擴展 而得到 。 證明： )()()()(])([)(])([)(])()([)()()]()([2121)(21)(21212121??????????jjjkkjkmjmkjkknjnkjnnjknnjeXeXeXekxemxekxeknxekxeknxkxenxnxnxnxF??????????????? ?? ?? ?????????????????????????????????????????? 51 定義：復(fù)數(shù)序列有共軛對稱序列 )()( nxnxee ?? ?，共軛反對稱序列 )()( nxnxoo ??? ?。 反變換為 ?? ?? ? ? ??? ?denx nj)X (e)( j2 1。 49 設(shè)離散信號????????nnTtnTxnxtx )()()()( ?滿足付氏變換條件 ?? ?? ????????????????????????????????????????nnTjnttjtjnttjenTxdtenTtnTxdtenTtnTxdtetxX)()()( ])()([)()(t?? 代入數(shù)字角頻率 T??? ，得 ???????nnjj enxeX ?? )()(。 48 離散信號與離散系統(tǒng)的頻域表示 (付氏變換） 若函數(shù) x( t ) 滿足絕對可積條件：??????dttx )( 或滿足有限功率條件：??????222 ).(1l i mTTTdttxT 則此函數(shù)可以有付氏變換： ???????????dfefXtxdtetxfXftjftj??22)()()()( 或 ????????????????deXtxdtetxXtjtj)()()()(21? 問題的提出 實際工程中的離散信號 ???????nnTtnTxnx )()()( ?一般都可滿足絕對可積 （或功率有限）。 例： L TI 因果系統(tǒng)的差分方程為 )1()()( ??? naynxny， 系統(tǒng)初始狀態(tài)為0 0)( ?? nny。 Nib i ~1 0 ??ka ib47 LTI系統(tǒng)的差分方程的解： 一個離散 LTI系統(tǒng)的工作情況可以用差分方程來描述。 （ 4）一般差分方程為遞歸型（有反饋系統(tǒng)）。 （ 2）系數(shù) 和 為常數(shù)，取決于系統(tǒng)特性。 46 LTI系統(tǒng)的差分方程表示： 一個離散 LTI系統(tǒng)的工作情況可以用其輸入信號和輸出信號的變化關(guān)系（差分方程）來描述。 K階差分可以表示成 K個時間的序列值的線性組合。 )1()()( ???? nxnxnx一階（后向）差分 二階差分 )2()1(2)()]1([)]([ )]1()([))(()(2??????????????????nxnxnxn