【正文】 為了克服非支配排序遺傳算法 (NSGA)的上述不足，印度科學(xué)家 Deb 于2021 年在 NSGA 算法的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，提出了帶精 英策略的非支配排序遺傳算法 (Elitist NonDominated Sorting Geic Algorithm， NSGAII)，NSGAII 算法針對 NSGA 的缺陷通過以下三個方面進(jìn)行了改進(jìn) [16]： 1) 提出了快速非支配的排序算法，降低了計算非支配序的復(fù)。 3) 需要指定共享參數(shù) ?share ，在 NSGA 算法中保持種群和解的多樣性第 3章 NSGAII算法 23 方法都是依賴于共享的概念，共享的主要問題之一就是需要人為指定一個共享參數(shù) ?share 。 2) 缺少精英策略。但是實際工程領(lǐng)域中發(fā)現(xiàn) NSGA 算法還是存在著明顯的不足，這主要體現(xiàn)在如下三個方面 [13]： 1) 非支配排序的高計算復(fù)雜性。這種方法能夠解決任意數(shù)目的多目標(biāo)優(yōu)化問題，并且能夠分析和解決最大化和最小化的優(yōu)化問題。 NSGA算法是在上世紀(jì) 90年代初期由 Srinivas和 Deb教授首先提出的，該算法是基于對種群中所有的個體按照不同的層次進(jìn)行分類的。 1989 年 Goldberg提出了基于 Pareto 最優(yōu)解的概念和計算個體適應(yīng)度的方法，借助非劣解的等級和相應(yīng)的選擇算子使種群在優(yōu)化過程中朝著 Pareto最優(yōu)解方向進(jìn)化。在眾多多目標(biāo)優(yōu)化的遺傳算法中， NSGAII 算法是影響最大和應(yīng)用范圍最廣的一種多目標(biāo)遺傳算法。具體來講，即利用區(qū)間序關(guān)系處理含不確定參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，利用可能度水平處理含不確定參數(shù)的約束函數(shù)，最后利用多目標(biāo)權(quán)系數(shù)、罰函數(shù)和罰因子，將帶有不確定性約束的區(qū)間數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化轉(zhuǎn)化成為不含約束的單目標(biāo)優(yōu)化問題，從而可以利用傳統(tǒng)的多目標(biāo)優(yōu)化方法來求得其 Pareto 解集。所以在本文中，一律把類似于式 (248)的問題稱為無約束優(yōu)化問題。采用罰函數(shù)法 [3]處理約束函數(shù)， (246)式可進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為如下以罰函數(shù) ? ?Xfp 表示的無約束的單一目標(biāo)優(yōu)化問題： ? ? ? ? ? ?? ??? ???? ki iIiIidpX NMPXfXf 1min ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ??? ????????? ki iIiIiwc NMPXfXf 1//1 ???????? nX ?? （ 248） 上式中， nX ?? 在實質(zhì)上也是一組約束，它通常以設(shè)計變量的邊界形式描述。 轉(zhuǎn)換后的確定性優(yōu)化問題 通過對以上不確定性地處理，式 (28)所表示的不確定性優(yōu)化問題可以轉(zhuǎn)化為以下確定性優(yōu)化問題： ? ?niIiIiwcxXkiNMPXfXf????? ,2,1,))(,)((m in?? （ 244） 式中， ? ? ? ? ? ?2 ,m a x,m i n UXfUXfXf UUc ?? ? ? ? ? ? ?2 ,m i n,m a x UXfUXfXf UUw ?? ? ?qiUUUUU RiiLi ,. ..2,1, ?????? （ 245） 至此，通過區(qū)間序關(guān)系建立數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換模型的工作已經(jīng)完成，通過此數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換模型 可以將一個不確定性優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換成確定性優(yōu)化問題。此處，仍采用文獻(xiàn) [22]的方法，通過兩次優(yōu)化來求解不確定目標(biāo)函數(shù)的區(qū)間范圍： 燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 20 ? ? ? ?UXXf UR ,max? ? ? ? ?UXXf UL ,m in? ? ?qiUUUUU RiiLi ,. ..2,1, ?????? （ 242） 對公式 (242)進(jìn)行自然區(qū)間的擴(kuò)展，可獲得目標(biāo)函數(shù)的上下界： ? ? ? ? ? ? wkqkkciCiLi UU UXfUXfUXf ?? ???? 1 , ? ? ? ? ? ? wkqkkciCiRi UU UXfUXfUXf ?? ???? 1 , （ 243） (241)式中的兩個目標(biāo)函數(shù)類似于統(tǒng)計數(shù)學(xué)中的期望值和標(biāo)準(zhǔn)偏差。 針對任一設(shè)計變量 X ，因為不確定參數(shù) U 的存在，并且目標(biāo)函數(shù) f 為 U的連續(xù)函數(shù)，所以 ? ?UXf , 的可能取值是在一定范圍內(nèi)的區(qū)間： ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?XfXfXfXfXf wcRLI , ?? （ 238） 式中， ? ? ? ? ? ?2 XfXfXf RLc ?? （ 239） ? ? ? ? ? ?2 XfXfXf LRc ?? （ 240） 基于 (231)式表述的區(qū)間序關(guān)系 cw? ，可以通過 目標(biāo)函數(shù)區(qū)間的中點和半寬來判斷不同的設(shè)計變量之間的優(yōu)劣：設(shè)計變量 1X 優(yōu)于 2X ，則 1X 處的目標(biāo)函數(shù)的區(qū)間優(yōu)于 2X 處的目標(biāo)函數(shù)的區(qū)間，即 ? ? ? ?21 XfXf cc ? 并且? ? ? ?21 XfXf ww ? 。 IRI BA ? ，并且僅當(dāng) RR BA ? （ 最大化優(yōu)化問題 ） IRI BA ? ，并且僅當(dāng) IRI BA ? ， II BA ? （ 236） IRI BA ? ，并且僅當(dāng) RR BA ? （ 最小化優(yōu)化問題 ） IRI BA ? ，并且僅當(dāng) IRI BA ? ， II BA ? （ 237） 不確定目標(biāo)函數(shù)的轉(zhuǎn)換 在本文的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換模型中，我們選用區(qū)間序關(guān)系 cw? 來處理式 (28)中的不確定目標(biāo)函數(shù)。 ILcI BA ? ，并且僅當(dāng) LL BA ? ， cc BA ? （ 最大化優(yōu)化問題 ） ILcI BA ? ，并且僅當(dāng) ILcI BA ? ， II BA ? （ 232） ILcI BA ? ，并且僅當(dāng) LL BA ? ， cc BA ? （ 最小化優(yōu)化問題 ） ILcI BA ? ，并且僅當(dāng) ILcI BA ? ， II BA ? （ 233） 4）區(qū)間序關(guān)系 L? ：該序關(guān)系表達(dá)了決策者對區(qū)間下界的偏好。 ILRI BA ? ，并且僅當(dāng) LL BA ? ， RR BA ? （ 最大化優(yōu)化問題 ） ILRI BA ? ，并且僅當(dāng) ILRI BA ? ， II BA ? （ 228） ILRI BA ? ，并且僅當(dāng) LL BA ? ， RR BA ? （ 最小化優(yōu)化問題 ） ILRI BA ? ，并且僅當(dāng) ILRI BA ? ， II BA ? （ 229） 2） 區(qū)間序關(guān)系 cw? ：該序關(guān)系表達(dá)了決策者對區(qū)間中點和半徑的偏好。對于最大化和最小化的優(yōu)化問題，同一區(qū)間序關(guān)系可以具有不同的表述形式，因為在這兩種問題中它們的評價指標(biāo)并不相同，例如在最大化問題中目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)值大的決策變量為優(yōu)，而在最小化問題中剛好相反，目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)值小的決策變量為優(yōu)。對于任一的設(shè)計變量，由于有不確定參數(shù)的存在，使得目標(biāo)函數(shù)可能的取值是一區(qū)間而非確定的實數(shù)值。此外， IiM 和 IiN 的具體形式是區(qū)間還是實數(shù)應(yīng)該根據(jù)以上不確定約束的轉(zhuǎn)換過程而定，另外也跟 Iib 的形式有關(guān)。例如，對于帶有不確定參數(shù)的等式約束函數(shù)? ? Iii bUXg ?, ，可以將其轉(zhuǎn)化為如下形式： ? ? RiiLi bUXgb ?? , （ 224） 進(jìn)而，可以將其表示成兩個不等式約束： ? ?? ?????? ??RiiiLi bUXg UXgb , , （ 225） 利用前面敘述的對于不等式約束的轉(zhuǎn)換方法處理上式，可得： ? ?? ?? ?? ?????? ?? ??21iRiIiiIiLi bXgP XgbP ?? （ 226） 上式中的可能度 ? ?? ?XgbP IiLi ? 和 ? ?? ?RiIi bXgP ? 可以通過公式 (218)和公式(217)進(jìn)行求解。 對于 ? 型的不等式約束函數(shù)，如 ? ? Iii bUXg ?, ，可以簡單地將其轉(zhuǎn)換為第 2章 多目標(biāo)區(qū)間數(shù)優(yōu)化的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換模型 17 ? 型約束來進(jìn)行處理： ? ?? ? ? ?? ? iIiIiIiIi XgbPbXgP ????? （ 223） 上式中， ? ?? ?XgbP IiIi ? 通過公式 (216)或公式 (218)進(jìn)行求解。對于 (28)式中 ? 型的不等式約束函數(shù)，如? ? Iii bUXg ?, ，可以轉(zhuǎn)成為如下確定性不等式約束： ? ?? ? iIiIi bXgP ??? （ 219） 上式中， 10 ?? i? 為預(yù)先給定的可能度水平。類似地，當(dāng)區(qū)間 IA 退化為實數(shù)口時，基于圖 25中的三種位置關(guān)系，區(qū)間可能度 )( IBaP ? 可構(gòu)造如下： 第 2章 多目標(biāo)區(qū)間數(shù)優(yōu)化的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換模型 15 ???????????????RRLLRRLIBaBaBBB aBBaBaP01)( （ 218） 圖 26給出了 )( bAP I ? 和 )( IBaP ? 的幾何描述，兩種可能度的值在 0和 1之間時，分別與 b和 a成線 性關(guān)系。 對于區(qū)間 IB 退化成一實數(shù) b的情況，區(qū)間 IA 和實數(shù) b之間可能的位置關(guān)系如圖 24所示。 4) 若 ? ? ? ?IIII ABPBAP ??? ，則區(qū)間 IA 等于區(qū)間 IB ，即 IA = IB 。基于此 6種位置關(guān)系，應(yīng)用上述的概率方法，改進(jìn)的區(qū)間可能度構(gòu)造如下所示： LB RBLA RAa )IAI LB RBLA RAb )IA IB L RB LA RA I Ic ） LA RAI IBL RBd ） LB RB LA RA I Ie ） LA RALB RB I If ） 圖 23 區(qū)間 IA 和 IB 所有可能的六種位 置關(guān)系 燕山大學(xué)本科生畢業(yè)設(shè)計（論文） 14 ???????????????????????????????????????????????????????????????LRRRLLLRLRLRRRRRLLLRLRLRLRLRRRLRLRLRLLRRLLLRLRLRLLRRLLLRLRLRLRRLIIBABAABBBAABBABBABABBBAAABABBABAABAAAABABBAAABBAAABABABBBABAAABBABAP1 0)( （ 216） 上述的區(qū)間可能度有如下性質(zhì)： 1) ? ? 10 ??? II BAP 2) 若 ? ? 0?? II BAP ，則表示區(qū)間 IA 不可能小于區(qū)間 IB ，即區(qū)間 IA 絕對大于區(qū)間 IB 。 第 2章 多目標(biāo)區(qū)間數(shù)優(yōu)化的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換模型 13 針對上述方法的局限和不足，姜潮 [3]等在其基礎(chǔ)上提出了一種改進(jìn)的區(qū)間可能度的構(gòu)造模型。然而此方法卻也具有兩方面的局限性： 1) 以上可能度是基于圖 22中的三種位置關(guān)系而構(gòu)造的，而此三種位置關(guān)系只是區(qū)間 IA 和 IB 所有可能情況的一部分，因此需要用兩個可能度 公 式，即 (214)式和 (215)式來進(jìn)行 對同樣區(qū)間對的比較，影響了可能度使用的方便性。 如對于圖 22中的第二種情況， ~A 在 RB 和 RA 之間的概率為LRRR AA BA ?? ，而此 時不管 ~B 取值多少 IA IB? 的概率都為 l； ~A 在 LA 和 RB 間的概率LRLR AA BB ?? ， ~B 在 LA 和 RB 之間的概率為LRLR BB AB ?? ，此時 ~A ? ~B 的概率為 50%。 改進(jìn)的區(qū)間可能度方法 為了給區(qū)間可能度的構(gòu)造提供一個較為客觀和嚴(yán)格的數(shù)學(xué)解釋，張全 [14]等引入了概率的方法，提出了一種新的區(qū)間可能度的構(gòu)造方法。所以人們必須構(gòu)造和使用新的數(shù)學(xué)工具來比較區(qū)間數(shù)的大小 （ 或優(yōu)劣 ） ，這也是建立區(qū)間數(shù)優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換模型的基礎(chǔ)。 不確定性區(qū)間結(jié)構(gòu)分析 假設(shè)對于多目標(biāo)優(yōu)化中目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的不確定參數(shù) U ，有? ?RLI UUUU ,?? ， ?