【正文】 反之 ,如果向量組 ?1,?2,? ,?t 可以用 ?1,?2,? ,?s 線性表示 ,則矩陣 (?1,?2,? ,?t)等于矩陣(?1,?2,? ,?s)和一個(gè) s?t 矩陣 C 的乘積 . C 可以這樣構(gòu)造 : 它的第 i 個(gè)列向量就是 ?i 對(duì)?1,?2,? ,?s的分解系數(shù) (C不是唯一的 ). 向量組的線性表示關(guān)系有傳遞性 . 3. 當(dāng)向量組 ?1,?2,? ,?s?和 ?1,?2,? ,?t 互相都可以表示時(shí) ?就說(shuō)它們 等價(jià) ?并記作??1,?2,? ,?s?????1,?2,? ,?t?.?等價(jià)關(guān)系也有傳遞性 . 二、向量組的線性相關(guān)性 1. 意義與定義 ① 線性相關(guān)性是描述向量組內(nèi)在關(guān)系的概念 ,它是討論向量組 ?1,??2,? ,?s?中有沒(méi)有向量可以用其它 向量線性表示的問(wèn)題 .如果沒(méi)有 ,就說(shuō)它們線性無(wú)關(guān) ,如果有 (不必每個(gè) )向量可以用其它向量線性表示 ,就說(shuō)它們線性相關(guān) . ② 定義 設(shè) ?1,?2,? ,?s?是 n維向量組 ,如果存在不 全為 0的一組數(shù) c1,c2,? ,cs使得 c1?1+c2?2+? +cs?s=0, 新東方在線 [] 網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列 考研數(shù)學(xué)沖刺講義 25 則說(shuō) ?1,?2,? ,?s?線性相關(guān) ,否則 (即要使得 c1?1+c2?2+? +cs?s=0,必須 c1,c2,? ,cs全為 0)就說(shuō)它們 線性無(wú)關(guān) . ③ 于是 ,??1,?2,? ,?s?“線性相關(guān)還是無(wú)關(guān)”也就是向量方程 x1?1+ x2?2+? +xs?s=0“有沒(méi)有非零解” ,也就是以 (?1,?2,? ,?s?)為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組有無(wú)非零解 . 當(dāng)向量組中只有一個(gè)向量 (s=1)時(shí) ,它相關(guān) (無(wú)關(guān) )就是它是 (不 是 )零向量 . 兩個(gè)向量的相關(guān)就是它們的對(duì)應(yīng)分量成比例 . 2. 性質(zhì) (1) 當(dāng)向量的個(gè)數(shù) s大于維數(shù) n時(shí) ,??1,??2,? ,?s?一定線性相關(guān) . 如果向量的個(gè)數(shù) s等于維數(shù) n,則 ??1,??2,? ,?n線性相關(guān) ?|??1,??2,? ,?n|=0. (2) 線性無(wú)關(guān)向量組的每個(gè)部分組都無(wú)關(guān) (從而每個(gè)向量都不是零向量 ). (3) 如果 ?1,?2,? ,?s?線性無(wú)關(guān) ?則： ??1,?2,? ,?s?,?線性相關(guān) ???可用 ?1,?2,? ,?s?線性表示 . (4) 如果 ?可用 ?1,?2,? ,?s?線性表示 ,則表示方式唯一 ??1,?2,? ,?s?線性無(wú)關(guān) . (5) 如果 ?1,?2,? ,?t可以用 ?1,?2,? ,?s?線性表示，并且 ts,則 ?1,?2,? ,?t線性相關(guān) . 三、向量組的極大無(wú)關(guān)組和秩 1. 定義 向量組的秩是刻畫(huà)向量組相關(guān)“程度 ” 的一個(gè)數(shù)量概念 .它表明向量組可以有多大 (指包含向量的個(gè)數(shù) )的線性無(wú)關(guān)的部分組 . 定義 設(shè) ?1,?2,? ,?s?是 n維向量組 ,(I)是它的一個(gè)部分組 .如果 ① (I)?線性無(wú)關(guān) . ② (I)?再擴(kuò)大就線性相關(guān) . 就稱(chēng) (I)為 ?1,?2,? ,?s?的一個(gè) 極大無(wú)關(guān)組 . 條件 ② 可換為 :任何 ?i都可用 (I)?線性表示 ,也就是 (I)?與 ?1,?2,? ,?s?等價(jià) .?當(dāng) ?1,?2,? ,?s?不全為零向量時(shí) ,它就存在極大無(wú)關(guān)組 ,并且任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組都等價(jià) ,從而包含的向量個(gè)數(shù)相等 .?定義 ???如果 ?1,?2,? ,?s?不全為零向量 ,則把它的極大無(wú)關(guān)組中所包含向量的個(gè)數(shù) ?是一個(gè)正整數(shù) ?稱(chēng)為 ?1,?2,? ,?s?的 秩 ,記作 r(?1,?2,? ,?s).如果 ?1,?2,? ,?s?全是零向量 ,則規(guī)定r(?1,?2,? ,?s)=0. 由定義得出 : 如果 r(?1,?2,? ,?s)=k,則 ① ????1,?2,? ,?s?的一個(gè)部分組如果含有多于 k個(gè)向量 ,則它一定的相關(guān) . ② ??1,?2,? ,?s?的每個(gè)含有 k個(gè)向量的線性無(wú)關(guān)部分組一定是極大無(wú)關(guān)組 . 2. 應(yīng)用 (1)?1,?2,? ,?s?線性無(wú)關(guān) ? r(?1,?2,? ,?s)=s.?(2) ?可用 ?1,?2,? ,?s?線性表示 ?r(?1,?2,? ,?s,?)=r(?1,?2,? ,?s). (事實(shí)上若 ?不可用 ?1,?2,? ,?s??線性表示 ,則 r(?1,?2,? ,?s,?)=r(?1,?2,? ,?s)+1.) (3)???可用 ?1,?2,? ,?s?唯一線性表示 ?r(?1,?2,? ,?s,?)=r(?1,?2,? ,?s)=s. (4)?1,?2,? ,?t可以用 ?1,?2,? ,?s?線性表示 ???r(?1,?2,? ,?s,?1,?2,? ,?t)=r(?1,?2,? ,?s). 推論 :?如果 ?1,?2,? ,?t可以用 ?1,?2,? ,?s線性表示 ,則 r(?1,?2,? ,?t)?r(?1,??2,? ,?s?). (5)??1,?2,? ,?s和 ?1,?2,? ,?t等價(jià) ?? r(?1,?2,? ,?s)= r(?1,?2,? ,?s,??1,?2,? ,?t)= r(?1,?2,? ,?t).?新東方在線 [] 網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列 考研數(shù)學(xué)沖刺講義 26 四、秩的計(jì)算 ,有相同線性關(guān)系的向量組 兩個(gè)向量個(gè)數(shù)相同的向量組 ?1,?2,? ,?s,和 ??1,?2,? ,?s 稱(chēng)為 有相同 線性關(guān)系 ,如果向量方程 x1?1+x2?2+? +xs?s=0 和 x1?1+x2?2+? +xs?s=0 同解 ,即齊次線性方程組 (?1,?2,? ,?s)X=0 和 (??1,?2,? ,?s)X=0同解 . 當(dāng) ?1,?2,? ,?s和 ??1,?2,? ,?s有相同線性關(guān)系時(shí) , (1)它們的對(duì)應(yīng)部分組有一致的線性相關(guān)性 . (2)它們的極大無(wú)關(guān)組相對(duì)應(yīng) ,從而它們的秩相等 . (3)它們有相同的內(nèi)在線性表示關(guān)系 . 例如 ,當(dāng) A經(jīng)過(guò)初等行變換化為 B時(shí) , AX=0和 BX=0同解 ,從而 A的列向量組和 B 的列向量組有相同線性關(guān)系 .于是它們的極 大無(wú)關(guān)組相對(duì)應(yīng) ,秩相等 . 這樣 ,就產(chǎn)生了計(jì)算一個(gè)向量組 ?1,?2,? ,?s 的秩和極大無(wú)關(guān)組的方法 :把此向量組作為列向量組構(gòu)造矩陣 (?1,?2,? ,?s),用初等行變換把它化為階梯形矩陣 B,則 B 的非零行數(shù)就是 ?1,?2,? ,?s的秩 ,?B的各臺(tái)角所在列號(hào)對(duì)應(yīng)的部分組是 ?1,?2,? ,?s的的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組 . 五、矩陣的秩 1. 定義 一個(gè)矩陣 A 的行向量組的秩和列向量組的秩相等 ,稱(chēng)此數(shù)為矩陣 A的秩 ,記作 r(A). 于是 r(A)=0? A=0. 如果 A 是 m?n矩陣 ,則 r(A)?Min{m,n}. 當(dāng) r(A)=m時(shí) ,稱(chēng) A為行滿秩的 。 2. 初等變換法 （ 1） 克萊姆法則 當(dāng)線性方程組的方程數(shù)等于未知數(shù)個(gè)數(shù) n (即系數(shù)矩陣 A 為 n階矩陣 )時(shí) , |A|不等于 0?方程組有唯一解 求解的初等變換法 :對(duì)增廣矩陣 (A|?)作初等行變換 ,使得 A變?yōu)閱挝痪仃?: (A|?)?(E|?), ?就是解 . (2)兩種基本形式的 矩陣方程 : (I) AX=B. (II) XA=B. 這里假定 A 是行列式不為 0 的 n 階矩陣 ,在此條件下 ,這兩個(gè)方程的解都是存在并且 唯一的 .(否則解的情況比較復(fù)雜 .) 設(shè) B=(?1,??2,? ,?s),則 X 也應(yīng)該有 s 列 ,記 X=(X1,X2,? ,Xs),則有 AXi=?i,i=1,2,? ,s,這是 s個(gè)線性方程組 .由克萊姆法則 ,它們都有唯一解 ,從而 AX=B有唯一解 . 這些方程組系數(shù)矩陣都是 A,可同時(shí)求解 ,即得 (I)的解法 : 將 A 和 B 并列作矩陣 (A|B),對(duì)它作初等行變換 ,使得 A變?yōu)閱挝痪仃?,此時(shí) B變?yōu)榻?X. (A|B)?(E|X) 新東方在線 [] 網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列 考研數(shù)學(xué)沖刺講義 22 (II)的解法 :對(duì)兩邊轉(zhuǎn)置化為 (I)的形式 :ATXT= (I)的方法求出 XT,轉(zhuǎn)置得 X.. (AT|BT)?(E|XT) (3) 當(dāng) A 可逆時(shí) , A1是矩陣方程 AX=E的解 ,于是可用初等行變換求 A1: (A|E)?(E|A1) 這個(gè)方法稱(chēng)為求逆矩陣的 初等變換法 . 二、矩陣乘法的兩個(gè)規(guī)律及其應(yīng)用 設(shè) A是 m?n矩陣 B是 n?s矩陣 . A的列向量組為 ?1,?2,? ,?n,B的列向量組為 ?1,??2,? ,?s, AB的列向量組為 ?1,??2,? ,?s,則根據(jù)矩陣乘法的定義容易看出 (也是分塊法則的特殊情形 ): ① AB的每個(gè)列向量為 :?i=A?i,i=1,2,? ,s. 即 A(?1,??2,? ,?s)= (A?1,A?2,? ,A?s). ② ?=(b1,b2,? ,bn)T,則 A?= b1?1+b2?2+? +bn?n. :當(dāng)一個(gè)矩陣 C 的每個(gè)列向量都是另一個(gè) A 的列向量組的線性組合時(shí) ,可以構(gòu)造一個(gè)矩陣 B,使得 C=AB. 例如設(shè) A=(?,?,?), C=(?+2??,3??+?,?+2?),令 1 3 1 B= 2 1 0 ,則 C=AB. 1 1 2 乘積矩陣 AB 的第 i個(gè)列向量 ?i是 A 的列向量組 ?1,??2,? ,?n的線性組合 ,組合系數(shù)就是B 的第 i個(gè)列向量 ?i的各分量 . 類(lèi)似地 , 乘積矩陣 AB 的第 i個(gè)行向量是 B 的行向量組的線性組合 ,組合系數(shù)就是 A 的第 i個(gè)行向量的各分量 . 在許多情況下，可利用這兩個(gè)事實(shí)求乘積矩陣 AB：如果 B 的元素很簡(jiǎn)單，可直接 寫(xiě)出AB的列向量，如果 A的元素很簡(jiǎn)單，可直接寫(xiě)出 AB的列向量， 如果一個(gè)對(duì)角矩陣在矩陣乘法中處于右側(cè) ,等同于用它對(duì)角線上各數(shù)依次乘左邊 矩陣 A的各列向量 。 （ 2）（數(shù)學(xué)一） 本節(jié)內(nèi)容包括三重積分，曲線積分與曲面積分等，其重點(diǎn)內(nèi)容是：上述積分的概念和性質(zhì)；三重積分的計(jì)算；格林公式以及平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的充要條件，并會(huì)利用它們計(jì)算曲面積分；高斯公式與斯托克斯公式；場(chǎng)論初步；上述積分在幾何與物理上的應(yīng)用 . 本節(jié)?？嫉牡湫皖}型有： 一、 三重積分的計(jì)算（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)） 二、 對(duì)弧長(zhǎng)和對(duì)坐標(biāo) 的曲線積分的計(jì)算，格林公式及其應(yīng)用 三、 對(duì)面積和對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算，高斯公式及其應(yīng)用 四、 梯度、散度、旋度的綜合計(jì)算 五、 利用上述積分求幾何量與物理量（體積、曲面面積、弧長(zhǎng)、質(zhì)量、質(zhì)心、形心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力、功及流量等） [例題與練習(xí)題 ] 計(jì)算 ()I x z dv??????，其中 ? 是由曲線 22z x y??與 221z x y? ? ? 所圍成的區(qū)域 . 計(jì)算三 重積分22()x y z dv? ?????，其中 ? 是由曲線 2 20yzx? ?? ?? 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面與 4z? 所圍成的立體 . 計(jì)算 ||L x ds?，其中 :| | | | 1L x y??. 設(shè) L 為 22143xy??，其周長(zhǎng)為 a，求 22( 2 3 4 )L x y x y d s??? 計(jì) 算 曲 線 積 分 ( ) ( ) ( )LI z y d x x z d y x y d z? ? ? ? ? ??， 其 中 L 是 曲 線2212xyx y z? ??? ? ? ?? 從 z 軸正向往負(fù)向看 L 方向是順時(shí)針?lè)较?. 計(jì) 算曲線積分224xdy ydxI xy?? ??其中 L 是以點(diǎn)（ 1， 0）為中心， R 為半徑的圓周（ R1）取逆時(shí)針?lè)较?. 設(shè) ,)0( of ? 試確定 )(xf 使 ( ) ( ) ( , ) .xx e f x y d x f x d y d u x y??? ? ??? 并求 ),( yxu . 新東方在線 [] 網(wǎng)絡(luò)課堂電子教材系列 考研數(shù)學(xué)沖刺講義 19 計(jì)算曲面積分 ,)(222??? ?? dSzyx其中 ? 是球面 .2222 azzyx ??? 計(jì)算曲面積分 2 3 ,I x z d y d z z y d z d x x y d x d y?? ? ???其中 ? 是曲面 ? ?221 0 14yz x z? ? ? ? ?的上側(cè) . 求八分之一的球面 0,0,0,2222 ?????? zyxRzyx 的邊界曲線 的質(zhì)心 ,設(shè)曲線的線密度 1?? . 算 2 2 2 2 2 2( ) ( 2 ) ( 3 ) ,LI y z d x z x d y x y d z? ? ? ? ? ??其中 L 是平面2??? zyx 與柱面 1|||| ?? yx 的交線 ,從 z 軸正向看去 ,L 為逆時(shí)針?lè)较?. 量場(chǎng) 22( , , , ) (1 )zA x