【正文】 ∴，∴，即 ，∵，∴，∴P2（1，－4）．綜上所述，以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能成為矩形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，）或（1，－4）．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．15．如圖，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣6，0），B（4，0），C（0，8），把△ABC沿直線BC翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，拋物線y=ax2﹣10ax+c經(jīng)過點(diǎn)C，頂點(diǎn)M在直線BC上．（1）證明四邊形ABCD是菱形，并求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）求拋物線的對(duì)稱軸和函數(shù)表達(dá)式；（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PBD與△PCD的面積相等？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）詳見解析（2）（3）詳見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理，翻折的性質(zhì)可得AB=BD=CD=AC，根據(jù)菱形的判定和性質(zhì)可得點(diǎn)D的坐標(biāo)．（2）根據(jù)對(duì)稱軸公式可得拋物線的對(duì)稱軸，設(shè)M的坐標(biāo)為（5，n），直線BC的解析式為y=kx+b，根據(jù)待定系數(shù)法可求M的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式．（3）分點(diǎn)P在CD的上面下方和點(diǎn)P在CD的上方兩種情況，根據(jù)等底等高的三角形面積相等可求點(diǎn)P的坐標(biāo)：設(shè)P,當(dāng)點(diǎn)P在CD的上面下方，根據(jù)菱形的性質(zhì)，知點(diǎn)P是AD與拋物線的交點(diǎn)，由A,D的坐標(biāo)可由待定系數(shù)法求出AD的函數(shù)表達(dá)式:,二者聯(lián)立可得P1（）；當(dāng)點(diǎn)P在CD的上面上方，易知點(diǎn)P是∠D的外角平分線與拋物線的交點(diǎn)，此時(shí)，∠D的外角平分線與直線AD垂直，由相似可知∠D的外角平分線PD的斜率等于－2，可設(shè)其為，將D（10，8）代入可得PD的函數(shù)表達(dá)式:,與拋物線聯(lián)立可得P2（﹣5，38）．【詳解】（1）證明：∵A（﹣6，0），B（4，0），C（0，8），∴AB=6+4=10，．∴AB=AC．由翻折可得，AB=BD，AC=CD．∴AB=BD=CD=AC．∴四邊形ABCD是菱形．∴CD∥AB．∵C（0，8），∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（10，8）．（2）∵y=ax2﹣10ax+c，∴對(duì)稱軸為直線．設(shè)M的坐標(biāo)為（5，n），直線BC的解析式為y=kx+b，∴，解得．∴直線BC的解析式為y=﹣2x+8．∵點(diǎn)M在直線y=﹣2x+8上，∴n=﹣25+8=﹣2．∴M（5，－2）.又∵拋物線y=ax2﹣10ax+c經(jīng)過點(diǎn)C和M，∴，解得．∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．（3）存在．點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1（），P2（﹣5，38）。∴DH=DM，MH=DM，∴△DMH的周長(zhǎng)=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM，∴當(dāng)DM有最大值時(shí)，其周長(zhǎng)有最大值，∵點(diǎn)M是直線BC上方拋物線上的一點(diǎn)，∴可設(shè)M（t，﹣t2+t+），則D（t，﹣t+），∴DM=﹣t2+t+），則D（t，﹣t+），∴DM=﹣t2+t+﹣（﹣t+）=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，∴當(dāng)t=時(shí)，DM有最大值，最大值為，此時(shí)DM==，即△DMH周長(zhǎng)的最大值為．考點(diǎn)：二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法，三角函數(shù)的定義，4方程思想14．（本小題滿分12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線（）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），經(jīng)過點(diǎn)A的直線l：與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且CD=4AC．（1）直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求直線l的函數(shù)表達(dá)式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）點(diǎn)E是直線l上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若△ACE的面積的最大值為，求a的值；（3）設(shè)P是拋物線的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，以點(diǎn)A，D，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為矩形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）A（－1，0），；（2）；（3）P的坐標(biāo)為（1，）或（1，－4）．【解析】試題分析：（1）在中，令y=0，得到，得到A（－1，0），B（3，0），由直線l經(jīng)過點(diǎn)A，得到，故，令，即，由于CD＝4AC，故點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4，即有，得到，從而得出直線l的函數(shù)表達(dá)式；（2）過點(diǎn)E作EF∥y軸，交直線l于點(diǎn)F，設(shè)E（，），則F（，），EF＝=，S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝＝，故△ACE的面積的最大值為，而△ACE的面積的最大值為，所以 ，解得；（3）令，即，解得，得到D（4，5a），因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為，設(shè)P（1，m），然后分兩種情況討論：①若AD是矩形的一條邊，②若AD是矩形的一條對(duì)角線．試題解析：（1）∵=，令y=0，得到，∴A（－1，0），B（3，0），∵直線l經(jīng)過點(diǎn)A，∴，∴，令，即，∵CD＝4AC，∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4，∴，∴，∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為；（2）過點(diǎn)E作EF∥y軸，交直線l于點(diǎn)F，設(shè)E（，），則F（，），EF＝=，S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝ ＝＝，∴△ACE的面積的最大值為，∵△ACE的面積的最大值為，∴ ，解得；（3）令，即，解得，∴D（4，5a），∵，∴拋物線的對(duì)稱軸為，設(shè)P（1，m），①若AD是矩形的一條邊，則Q（－4，21a），m＝21a＋5a＝26a，則P（1，26a），∵四邊形ADPQ為矩形，∴∠ADP＝90176。=，即=，解得AO=1，∴A（﹣1，0）；（2）∵拋物線y=ax2+bx+經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，∴，解得，∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+；（3）∵M(jìn)D∥y軸，MH⊥BC，∴∠MDH=∠BCO=60176。∴∠ACO=30176。在Rt△DMH中利用三角函數(shù)的定義可得到DH、MH與DM的關(guān)系，可設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，則可表示出DM的長(zhǎng)，從而可表示出△DMH的周長(zhǎng)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值．試題解析： （1）∵直線y=﹣x+分別與x軸、y軸交于B、C兩點(diǎn)，∴B（3，0），C（0，），∴OB=3，OC=，∴tan∠BCO==，∴∠BCO=60176。則在Rt△AOC中可得∠ACO=30176?！郟D=PQ=2=4，設(shè)P（m，﹣m2+6m﹣5），則D（m，m﹣5），當(dāng)P點(diǎn)在直線BC上方時(shí)，PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得m1=1，m2=4，當(dāng)P點(diǎn)在直線BC下方時(shí)，PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得m1=，m2=，綜上所述，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4或或；②作AN⊥BC于N，NH⊥x軸于H，作AC的垂直平分線交BC于M1，交AC于E，如圖2，∵M(jìn)1A=M1C，∴∠ACM1=∠CAM1，∴∠AM1B=2∠ACB，∵△ANB為等腰直角三角形，∴AH=BH=NH=2，∴N（3，﹣2），易得AC的解析式為y=5x﹣5，E點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣，設(shè)直線EM1的解析式為y=﹣x+b，把E（，﹣）代入得﹣+b=﹣，解得b=﹣，∴直線EM1的解析式為y=﹣x﹣解方程組得，則M1（，﹣）；作直線BC上作點(diǎn)M1關(guān)于N點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)M2，如圖2，則∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，設(shè)M2（x，x﹣5），∵3=∴x=，∴M2（，﹣）.綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，﹣）或（，﹣）．點(diǎn)睛：本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰直角的判定與性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．12．如圖， 已知拋物線的對(duì)稱軸是直線x=3，且與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（B點(diǎn)在A點(diǎn)右側(cè)）與y軸交于C點(diǎn) ．（1）求拋物線的解析式和A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)P是拋物線上B、C兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），則是否存在一點(diǎn)P，使△PBC的面積最大．若存在，請(qǐng)求出△PBC的最大面積；若不存在，試說