【正文】 ∴點(diǎn)F、D、E′共線，∵∠EAF=∠BAD，∴∠1+∠2=∠BAD，∴∠2+∠3=∠BAD，∴∠EAF=∠E′AF，在△AEF和△AE′F中，∴△AEF≌△AE′F（SAS），∴EF=E′F，∴EF=DE′+DF=BE+DF；歸納：在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，當(dāng)AB=AD，∠B+∠D=180176?！螮AF=∠BAD時，EF=BE+DF成立．理由如下：如圖（3），∵AB=AD，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)∠BAD的度數(shù)至△ADE′，如圖（3），∴∠EAE′=∠BAD，∠1=∠3，AE′=AE，DE′=BE，∠ADE′=∠B，∵∠B+∠D=180176?！唷螮AF=∠E′AF，在△AEF和△AE′F中，∴△AEF≌△AE′F（SAS），∴EF=E′F，∵∠ADE′+∠ADC=120176?！?=∠3，AE′=AE，DE′=BE，∠ADE′=∠B=60176?！喟选鰽BE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)120176?！郃B=AD，∠1+∠2=60176。時，EF=BE+DF不成立，EF＜BE+DF．理由如下：∵在菱形ABCD中，∠BAD=120176。知F、D、E′共線，因此有EF=DE′+DF=BE+DF；根據(jù)前面的條件和結(jié)論可歸納出結(jié)論．試題解析：（1）當(dāng)∠BAD=120176。至△ADE′，如圖（2），連結(jié)E′F，根據(jù)菱形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AE=AE′，∠EAF=∠E′AF，利用“SAS”證明△AEF≌△AE′F，得到EF=E′F；由于∠ADE′+∠ADC=120176。時，還有EF=BE+DF嗎？請說明理由．（2）在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，當(dāng)AB=AD，∠B+∠D=180176。=∠EAF，又∵AE′=AE，AF=AF∴△AE′F≌△AEF（SAS）∴EF=E′F=DE′+DF=BE+DF．類比猜想：（1）請同學(xué)們研究：如圖（2），在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，當(dāng)∠BAD=120176。45176?！喟选鰽BE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90176。PA=PC，∴∠AFP=∠BPA，∴AF=AP=PC，∴四邊形PAFC是菱形．考點(diǎn)：四邊形綜合題．14．倡導(dǎo)研究性學(xué)習(xí)方式，著力教材研究，習(xí)題研究，是學(xué)生跳出題海，提高學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力的有效途徑．下面是一案例，請同學(xué)們認(rèn)真閱讀、研究，完成“類比猜想”的問題．習(xí)題 如圖（1），點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45176?！郆P=BC=1，∴x=BD﹣BP=﹣1．∵AE∥PC，∴∠AFP=∠BPC=176。）=176。﹣45176。．在△PBC中，∠BPC=（180176。﹣45176。∴=．（3）∵AE∥PC，∴∠CPE=∠PEA=45176。∴∠PEC=∠PAB=∠PCB，∴PE=PC．（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，的值不改變．由△PAB≌△PCB可知，PA=PC．∵PE=PC，∴PA=PE，又∵∠APE=90176?！唷螾AB+∠PEB=180176。PA=PC，從而證出AF=AP=PC，得出答案．試題解析：（1）①∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABP=∠CBP=∠ABC=45176。從而得出∠PCE，再求出∠BPC即可得出∠BPC=∠PCE，從而證出BP=BC=1，x=﹣1，再根據(jù)AE∥PC，得出∠AFP=∠BPC=176。得出∠PAE=∠PEA=45176?！螾EC+∠PEB=180176。且點(diǎn)E在BC邊上，AE交BD于點(diǎn)F．（1）求證：①△PAB≌△PCB；②PE=PC；（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，的值是否改變？若不變，求出它的值；若改變，請說明理由；（3）設(shè)DP=x，當(dāng)x為何值時，AE∥PC，并判斷此時四邊形PAFC的形狀．【答案】（1）見解析；（2）；（3）x=﹣1；四邊形PAFC是菱形．【解析】試題分析：（1）根據(jù)四邊形ABCD是正方形，得出AB=BC，∠ABP=∠CBP176。DE==，當(dāng)DE與DA重合時，a=，∴＜a＜；③如圖∵△DEF是等邊三角形∴∠FDC=30176。設(shè)NJ=x，則IQ=QN=2x，QJ=x，∵IJ=6cm，∴2x+x=6，∴x=126，即NJ=126（cm）．（3）分三種情況：①如圖：設(shè)等邊三角形的邊長為b，則0＜b≤6，則tan60176。由QI=QN知∠JIN=∠QNI=15176。、∠MIN=60176。設(shè)NJ=x，則IQ=QN=2x、QJ=x，根據(jù)IJ=IQ+QJ求出x即可得；（3）由等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理進(jìn)行計(jì)算，畫出圖形即可．（1）證明：∵①對折矩形紙片ABCD(ABBC)，使AB與DC重合，得到折痕EF∴PB=PC∵沿折痕BG折疊紙片，使點(diǎn)C落在EF上的點(diǎn)P處∴PB=BC∴PB=PC=BC∴△PBC是正三角形：（2）證明：①如圖∵矩形AHIJ∴∠H=∠J=90176。在△ABF和△ADE中，∴△ABF≌△ADE（ASA），∴AF=AE．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)，證明△ABF≌△ADE是解決本題的關(guān)鍵．12．小明在矩形紙片上畫正三角形，他的做法是：①對折矩形紙片ABCD(ABBC)，使AB與DC重合，得到折痕EF，把紙片展平；②沿折痕BG折疊紙片，使點(diǎn)C落在EF上的點(diǎn)P處，再折出PB、PC，最后用筆畫出△PBC(圖1)．（1）求證：圖1中的 PBC是正三角形： （2）如圖2，小明在矩形紙片HIJK上又畫了一個正三角形IMN，其中IJ=6cm，且HM=JN．①求證：IH=IJ②請求出NJ的長； （3）小明發(fā)現(xiàn)：在矩形紙片中，若一邊長為6cm，當(dāng)另一邊的長度a變化時，在矩形紙片上總能畫出最大的正三角形，但位置會有所不同．請根據(jù)小明的發(fā)現(xiàn)，畫出不同情形的示意圖(作圖工具不限，能說明問題即可)，并直接寫出對應(yīng)的a的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②126（3）3＜a＜4，a＞4【解析】分析：（1）由折疊的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)得出PB=PC，PB=CB，得出PB=PC=CB即可；（2）①利用“HL”證Rt△IHM≌Rt△IJN即可得；②IJ上取一點(diǎn)Q，使QI=QN，由Rt△IHM≌Rt△IJN知∠HIM=∠JIN=15176。又∵∠DAE+∠BAE=90176。=．考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形30度的性質(zhì)11．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在CD上，AF⊥AE交CB的延長線于F．求證：AE=AF．【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)同角的余角相等證得∠BAF=∠DAE，再利用正方形的性質(zhì)可得AB=AD，∠ABF=∠ADE=90176?！郃M=BM=2x，MN=x，在Rt△ABN中，∵AB2=AN2+BN2，∴1=x2+（2x+x）2，解得x=，∴BN=，∴BG=BN247?！螦BM=∠MAB=15176?！唷螦GB=60176?！嗨倪呅蜤GFC是矩形，∴CF=GE，在Rt△GFC中，∵CG2=GF2+CF2，∴AG2=GF2+GE2．（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一點(diǎn)M，使得AM=BM．設(shè)AN=x．