20xx-20xx中考數(shù)學(xué)備考之平行四邊形壓軸突破訓(xùn)練∶培優(yōu)-易錯(cuò)-難題篇及答案解析(1)(參考版)
2025-03-30 22:21本頁(yè)面
【正文】 ．∴∠BAD－∠NAM＝∠EAF－∠NAM，即∠BAM＝∠FAN．又∵AB＝AF，∴△ABM≌△AFN．∴AM＝AN．由（1）知四邊形AMCN是平行四邊形，∴平行四邊形AMCN是菱形．考點(diǎn)：1．矩形的性質(zhì)；2．三角形全等的判定與性質(zhì)；3．菱形的判定．。所以有△ABM≌△AFN，從而得AB=AF，因此當(dāng)AB＝AF時(shí)，四邊形AMCN是菱形．試題解析：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90176。在△EPG與△CEB中，∴△EPG≌△CEB，∴EB=PG=x，∴AE=1﹣x，∴S=（1﹣x）?x=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，（0＜x＜1），∵﹣＜0，∴當(dāng)x=時(shí)，S的值最大，最大值為，．考點(diǎn)：四邊形綜合題15．已知：如圖，四邊形ABCD和四邊形AECF都是矩形，AE與BC交于點(diǎn)M，CF與AD交于點(diǎn)N．（1）求證：△ABM≌△CDN；（2）矩形ABCD和矩形AECF滿足何種關(guān)系時(shí)，四邊形 AMCN是菱形，證明你的結(jié)論．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）當(dāng)AB＝AF時(shí)，四邊形AMCN是菱形．證明見(jiàn)解析；【解析】試題分析：（1）由已知條件可得四邊形AMCN是平行四邊形，從而可得AM=CN，再由AB=CD，∠B=∠D=90176。使點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，連接AP，設(shè)△APE的面積為S，試求S與x的函數(shù)關(guān)系式并求出S的最大值．【答案】（1）x=﹣1；（2）S=﹣（x﹣）2+（0＜x＜1），當(dāng)x=時(shí)，S的值最大，最大值為，．【解析】試題分析：（1）過(guò)O作OM∥AB交CE于點(diǎn)M，如圖1，由平行線等分線段定理得到CM=ME，根據(jù)三角形的中位線定理得到AE=2OM=2OF，得到OM=OF，于是得到BF=BE=x，求得OF=OM=解方程，即可得到結(jié)果；（2）過(guò)P作PG⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于G，如圖2，根據(jù)已知條件得到∠ECB=∠PEG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EB=PG=x，由三角形的面積公式得到S=（1﹣x）?x，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．試題解析：（1）過(guò)O作OM∥AB交CE于點(diǎn)M，如圖1，∵OA=OC，∴CM=ME，∴AE=2OM=2OF，∴OM=OF，∴，∴BF=BE=x，∴OF=OM=，∵AB=1，∴OB=，∴，∴x=﹣1；（2）過(guò)P作PG⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于G，如圖2，∵∠CEP=∠EBC=90176?！唷螹CN=135176?！唷螦EM=135176?！螦MN∠AMB=180176。．在△AEM與△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，∴△AEM≌△MCN（ASA），∴AM=MN．（2）解：結(jié)論成立；理由：在邊AB上截取AE=MC，連接ME．∵正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90176。．∵N是∠ACP的平分線上一點(diǎn)，∴∠ACN=60176?！螧∠AMB=∠MAE，BE=ABAE=BCMC=BM，∴∠BEM=60176。AB=BC．∴∠NMC=180176。則AM=MN是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，說(shuō)明理由．（3）若將（2）中的“正方形ABCD”改為“正n邊形A1A2…An“，其它條件不變，請(qǐng)你猜想：當(dāng)∠An﹣2MN=_____176。根據(jù)A、C點(diǎn)求得直線AC的解析式，根據(jù)B、E點(diǎn)求出直線BE的解析式，聯(lián)立方程求得的解，即為F點(diǎn)的坐標(biāo)；由E、C、F、D的坐標(biāo)可知DF和EC互相垂直平分，則可判定四邊形CDEF為菱形．【詳解】（1）∵拋物線y=mx2+2mx+n經(jīng)過(guò)A（﹣3，0），C（0，﹣）兩點(diǎn)，∴，解得，∴拋物線解析式為y=x2+x﹣；（2）∵y=x2+x﹣，∴拋物線對(duì)稱軸為直線x=﹣1，∵CE∥x軸，∴C、E關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∵C（0，﹣），∴E（﹣2，﹣），∵A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴B（1，0），設(shè)直線AC、BE解析式分別為y=kx+b，y=k′x+b′，則由題意可得，解得，∴直線AC、BE解析式分別為y=﹣x﹣，y=x﹣，聯(lián)立兩直線解析式可得，解得，∴F點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣1）；（3）四邊形CDEF是菱形．證明：∵y=x2+x﹣=（x+1）2﹣2，∴D（﹣1，﹣2），∵F（﹣1，﹣1），∴DF⊥x軸，且CE∥x軸，∴DF⊥CE，∵C（0，﹣），且F（﹣1，﹣1），D（﹣1，﹣2），∴DF和CE互相平分，∴四邊形CDEF是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定方法，二次函數(shù)的性質(zhì)，以及二次函數(shù)與二元一次方程組．13．如圖1所示，（1）在正三角形ABC中，M是BC邊（不含端點(diǎn)B、C）上任意一點(diǎn)，P是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，N是∠ACP的平分線上一點(diǎn)，若∠AMN=60176。cos30176?！唷螦MN=30176?！螱BN=30176。∠FBG=∠FGB=∠ABG=45176。即可解決問(wèn)題.試題解析：（1）結(jié)論：AG2=GE2+GF2．理由：連接CG．∵四邊形ABCD是正方形，∴A、C關(guān)于對(duì)角線BD對(duì)稱，∵點(diǎn)G在BD上，∴GA=GC，∵GE⊥DC于點(diǎn)E，GF⊥BC于點(diǎn)F，∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90176。求線段BG的長(zhǎng)．【答案】（1）AG2=GE2+GF2（2）【解析】試題分析：（1）結(jié)論：AG2=GE2+GF2．只要證明GA=GC，四邊形EGFC是矩形，推出GE=CF，在Rt△GFC中，利用勾股定理即可證明；（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一點(diǎn)M，使得AM=BM．設(shè)AN=x．易證AM=BM=2x，MN=x，在Rt△ABN中，根據(jù)AB2=AN2+BN2，可得1=x2+（2x+x）2，解得x=，推出BN=，再根據(jù)BG=BN247。C中，B′C＝＝cm，由題意可知四邊形OEFB′是矩形，∴EF＝OB′＝，∴S△B′EC＝．【點(diǎn)睛】考查圖形的折疊變化及三角形的內(nèi)角和定理勾股定理的和矩形的性質(zhì)綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是要理解折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置變化．10．點(diǎn)P是矩形ABCD對(duì)角線AC所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，C重合），分別過(guò)點(diǎn)A，C向直線BP作垂線，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，請(qǐng)你判斷OE與OF的數(shù)量關(guān)系；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到如圖2所示位置時(shí)，請(qǐng)你在圖2中補(bǔ)全圖形并通過(guò)證明判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立；（3）若點(diǎn)P在射線OA上運(yùn)動(dòng)，恰好使得∠OEF＝30176。C＝90176。C三內(nèi)角之和為180176。即AE⊥EF；（2）連接BB39。﹣（∠AEB+∠CEF）＝90176。EC是等腰三角形，又∵EF⊥B′C∴EF為∠B39。EC是等腰三角形，再有條件證明∠AEF=90176。∴∠FOG=∠EOC，∵OG=OC，∠OGF=∠ACE=120176?！唷螪AF=∠CAE，∵CA=AD，∠D=∠ACE
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