20xx年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題及解析蘇教版(參考版)
2025-01-25 05:28本頁(yè)面
【正文】 2008年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽一試試題（A卷）說(shuō)明：1．評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)依據(jù)本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)．選擇題只設(shè)6分和0分兩檔，填空題只設(shè)9分和0分兩檔；其他各題的評(píng)閱，請(qǐng)嚴(yán)格按照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的評(píng)分檔次給分，不要增加其他中間檔次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評(píng)卷時(shí)可參考本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評(píng)分，解答題中5分為一個(gè)檔次，不要增加其他中間檔次．一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）1．函數(shù)在上的最小值是 （ C ）A．0 B．1 C．2 D．3[解]當(dāng)時(shí)，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式取等號(hào)．而此方程有解，因此在上的最小值為2．2．設(shè)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 （ D ）A． B． C． D．[解法一] 因有兩個(gè)實(shí)根 ，故等價(jià)于且，即且，解之得． [解法二]（特殊值驗(yàn)證法）令，排除C，令，排除A、B，故選D。[解法三]（根的分布）由題意知的兩根在內(nèi)，令則解之得：3．甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿6局時(shí)停止．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，則比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)的期望為 （ B ）A. B. C. D. [解法一] 依題意知，的所有可能值為2，4，6.設(shè)每?jī)删直荣悶橐惠?，則該輪結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為 ．若該輪結(jié)束時(shí)比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時(shí)，該輪比賽結(jié)果對(duì)下輪比賽是否停止沒(méi)有影響．從而有 ， ， ，故．[解法二] 依題意知，的所有可能值為2，4，6.令表示甲在第局比賽中獲勝，則表示乙在第局比賽中獲勝．由獨(dú)立性與互不相容性得， ， ，故．4．若三個(gè)棱長(zhǎng)均為整數(shù)（單位：cm）的正方體的表面積之和為564 cm2，則這三個(gè)正方體的體積之和為 （ A ）A. 764 cm3或586 cm3 B. 764 cm3 C. 586 cm3或564 cm3 D. 586 cm3[解] 設(shè)這三個(gè)正方體的棱長(zhǎng)分別為，則有，不妨設(shè)，從而，．故．只能取9，8，7，6．若，則，易知，得一組解．若，則，．但，從而或5．若，則無(wú)解，若，則無(wú)解．此時(shí)無(wú)解．若，則，有唯一解，．若，則，此時(shí)，．故，但，故，此時(shí)無(wú)解．綜上，共有兩組解或體積為cm3或cm3．5．方程組的有理數(shù)解的個(gè)數(shù)為 （ B ）A. 1 B. 2 C. 3
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