等價(jià)無窮小量的性質(zhì)及推廣應(yīng)用-wenkub.com
2025-07-16 11:43 本頁面
【正文】 了解數(shù)學(xué)史我們發(fā)現(xiàn)無窮思想的發(fā)展并不是一帆風(fēng)順的，也是充滿爭論的，正是在不斷的爭論 ,不斷的思考中，我們的數(shù)學(xué)理論才不斷的完善 ,嚴(yán)謹(jǐn)。我們明白極限計(jì)算是大學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，尤其在進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中，極限思想廣泛應(yīng)用，而等價(jià)無窮小量代換又是極限運(yùn)算中的一種重要方法。中都有詳細(xì)的分析與注解 ,在這一部分我只是按照自己的需要從中選取內(nèi)容 ,再加上自己篩選例題解答例題寫出來的 .請(qǐng)看下面的內(nèi)容： 在求極限中經(jīng)常用到的等價(jià)無窮小量有 x ～ sinx ～ arcsinx ～ tanx ～ tanarc x ～ln(1 )x? ～ xe 1, 1 cosx? ～ 212x , 1xa? ～ lnxa,( x →0) . 例 1 求 202tanlim1 cosxxx? ?. 解 當(dāng) x →0 時(shí) ,1 cosx? ～ 212x , 2tanx ～ 2x . 原式 = 20 2412limxxx? = 8 .. 例 2 求30 tan sinlimx xxx? ?. 解 原式 = ? ?30 sin 1 coslim cosx xx? ? = 23012lim cosx xxxx? ?? (∵ sinx ～ x ,1 cosx? ～ 212x ) = 12 . 10 此題也可用洛必達(dá)法則做 ,但不能用性質(zhì) ② 做 . 所以 ,30 tan sinlimx xxx? ?=30limx xxx? ?=0,不滿足性質(zhì) ② 的條件 ,否則得出錯(cuò)誤結(jié)論 0. 利 用 等 價(jià) 無 窮 小 ， 在 做 近 似 計(jì) 算 ， 有 時(shí) 可 以 起 到 意 想 不 到 的 效 果 ，如： 例 3 6 6564求 的 近 似 值 解 因?yàn)?0x? 時(shí) , 11n xx n? ? ? . 所以 666 5 11 2 .0 0 5 2 0 86 4 6 4? ? ?. 故 6 65 6 2 . 0 0 5 1 7 564 的 準(zhǔn) 確 值 ， 保 留 小 數(shù) 點(diǎn) 后 位 可 得 為 2 . 0 0 5 2 0 8 2 . 0 0 5 1 7 5 ) / 2 . 0 0 5 1 7 5 0 . 0 0 0 0 1 6??相 對(duì) 誤 差 為 （ 這 說 明 計(jì) 算 精 度 已 經(jīng) 很 高 利用等價(jià)無窮小量和泰勒公式求函數(shù)極限 例 4 求極限222201112lim (c o s ) sinxxxxx e x?? ? ?? 解 由于函數(shù)的分母中 2sinx ～ 2x （ x ?0） ,因此只需將函數(shù)分子中的 21 x? 與分母中的 cosx 和 2xe 分別用佩亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式表示 ,即： 2 2 4 4111 1 ( )28x x x o x? ? ? ? ?, 221c os 1 (2x x o x? ? ? ）, 2 22e 1 o( )x xx? ? ? . 所以 11 222201112lim (c o s ) sinxxxxx e x?? ? ??4 4 4 4200 442211( ) ( )88l im l im 33 o ( ) ()1x22xxx o x x o xx x o xx??????????112?? . 例 5 由拉格朗日中值定理 ,對(duì)任意的 x ＞ 1,存在 ? (0,1)? ,使得l n (1 ) l n (1 ) l n (1 0 ) 1 xxx x?? ? ? ? ? ? ?.證明 0 1lim ( ) 2x x?? ? . 解 因 2 2ln( 1 ) ( ) ,2xx x o x? ? ? ? 1 1 ( )1 x o xx ?? ? ? ?? , 所以 ,根據(jù)題設(shè)所給條件有 2 2 ()( ) 12x o xx o x x x?? ? ? ? ? 即 222()2xx o x? ?? , 所以 , 2200 1 ( ) 1lim ( ) lim 22xx oxx x???? ? ?. 以上例子能使我們更加深刻的理解無窮小與無窮小或函數(shù)與無窮小的相關(guān)運(yùn)算 ,能更好的理解泰勒公式在求函數(shù)極限中的巧妙運(yùn)用 . 等價(jià)無窮小量在判斷級(jí)數(shù)收斂中的應(yīng)用 在正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂判別法中 ,用得比較多的是比較審斂法的極限形式 ,它也是無窮小的一個(gè)應(yīng)用 .比較審斂法 的極限形式：設(shè)1 nn u???和1 nn v??? 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù) , ① 如果 limnn nuv??=l(0≤l+∞) ,且級(jí)數(shù)1 nn v???收斂 ,則級(jí)數(shù)1 nn u???收斂 . ② 如果 limnn nuv??=l0 或 llimnn nuv??=+∞ ,且級(jí)數(shù)1 nn v???發(fā)散 ,則級(jí)數(shù)1 nn u???發(fā)散 . 12 當(dāng) ① =1 時(shí) ,∑ nu ,∑ nv 就是等價(jià)無窮小量 .由比較審斂法的極限形式知 ,∑ nu 與 ∑ nv同斂散性 ,只要已知 ?nu ,∑ nv 中某一個(gè)的斂散性 ,就可以找到另一個(gè)的斂散性 . 例 6 n11s e c ( ) 1n??????????判 定 的 斂 散 性 解 2n2211se c ( ) 112lim lim11 2nnnnn? ? ? ???? 21 1 1( , 0 , s e c ( ) 1 )2n n n n? ? ? ? ?此 時(shí). 2n11n???又 收 斂,所以 ,n11sec( ) 1n?????????? 收斂 . 例 7 研究11ln(1 )n n?? ??的斂散性 解 ∵1ln(1 )lim1nnn??? = limln(1 )n n n?? ?=1 而 ∑ 1n 發(fā)散 , ∴11ln(1 )n n?? ??發(fā)散 . 從以上的例題可以看出 ,在級(jí)數(shù)斂散性的判別中 ,等價(jià)無窮小量發(fā)揮了重要的作用 .在很多題目中 ,我們需要綜合運(yùn)用羅比達(dá)法則、等價(jià)無窮小量的性質(zhì)、泰勒級(jí)數(shù)等相關(guān)知識(shí) ,才能達(dá)到簡化運(yùn)算的目的 . 5 等價(jià)無窮 小量的優(yōu)勢 這一部分的內(nèi)容是我在聽了鄭老師和郭老師的數(shù)學(xué)分析課以后 ,由于他們教學(xué)方法的鮮明對(duì)比而深受啟發(fā) ,在他們講解數(shù)學(xué)分析其他部分的比較與分析時(shí) ,我也希望自己能找到一個(gè)他們沒有整理過的知識(shí)點(diǎn)經(jīng)過自己的努力完成對(duì)它的比較與分析 ,因此
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