正弦定理的證明-wenkub.com
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【正文】 238。已知邊a,b和208。239。A)∴asinC=csinA∴ac= sinAsinCuuurrcbabc同理，若過C作j垂直于CB得： =∴== sinCsinBsinAsinBsinC正弦定理的應(yīng)用 從理論上正弦定理可解決兩類問題：1．兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；2已知a, b和A, 用正弦定理求B時(shí)的各種情況:⑴若A為銳角時(shí): 236。2004年4月。2003年4月第一次印刷。人民教育出版社。MOA=q，則：時(shí)，Smax=200．4按圖（2）的裁法: 矩形一邊PQ與弦AB平行，設(shè)208?？稍O(shè)計(jì)一些研究性、開放性的問題，讓學(xué)生自行探索解決。只要求出DE的長。參考案例：解三角形在實(shí)際中的應(yīng)用參考案例1．航海中甲船在A處發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東45o，與A的距離為10海里的C處正以20海里/h的速度向南偏東75o的方向航行，已知甲船速度是203海里/h，問甲船沿什么方向，用多少時(shí)間才能與乙船相遇？教學(xué)建議：引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)題意畫出示意圖，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題?！嘈枰驜D，而BD需在△A B四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，選擇余弦定理求BD，再由正弦定理例2圖 求BC。.：引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析，欲求BC，需在△BCD中求解，∵208。如可設(shè)計(jì)下面的問題進(jìn)行教學(xué)：參考案例：正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用 C 如圖，在四邊形ABCD中，已知AD^CD，AD=10，AB=14，208。===sinCsinBsinAsinBsinC③若△ABC為鈍角三角形，不妨設(shè)角A900（如圖2），過點(diǎn)A做單位向量j垂直于AC，則向量j與則得 a sinC = c sinA，即向量AB的夾角為A900，向量j與向量的夾角為900C，且有：+=，同樣可證得：abc。+ j那么怎樣證明呢？(4)研究定理證明的方法方法一：（向量法）①若△ABC為直角三角形，由銳角三角函數(shù)的定義知，定理顯然成立。10=10 000sin30sin60sin90abc對于特殊三角形，我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律：。教學(xué)中不要直接給出定理進(jìn)行證明，可通過學(xué)生對三角形邊與角的正弦的測量與計(jì)算，研究邊與其對角的正弦之間的比，揭示它們在數(shù)量上的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)正弦定理的結(jié)論，然后再從理論上進(jìn)行論證，從而掌握正弦定理。這就要求在教學(xué)過程中，突出幾何的作用和數(shù)學(xué)量化思想，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的探究過程、再創(chuàng)造過程。而《標(biāo)準(zhǔn)》將解三角形作為幾何度量問題來處理，突出幾何的作用，為學(xué)生理解數(shù)學(xué)中的量化思想、進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定基礎(chǔ)。課程關(guān)注點(diǎn)的變化原《大綱》中，解斜三角形內(nèi)容，比較關(guān)注三角形邊角關(guān)系的恒等變換，往往把側(cè)重點(diǎn)放在運(yùn)算上。（3）實(shí)習(xí)作業(yè)以測量為內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力和實(shí)際操作的能力。一、《標(biāo)準(zhǔn)》必修模塊數(shù)學(xué)5中“解三角形”與原課程中“解斜三角形”的比較1．課程內(nèi)容安排上的變化“解三角形”在原課程中為“解斜三角形”，安排在“平面向量”一章中，作為平面向量的一個(gè)單元。其中“解三角形”既是高中數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容，又有較強(qiáng)的應(yīng)用性。DAB=90 在RtDABD中 oA QsinC=sinD=\c 2RDb c c=2R sinCab同理：=2R,=2RsinAsinBabc所以===2R1）a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC 2）sinA=CaB abc ,sinB=,sinC=2R2R2R3）asinB=bsinA,asinC=csinA,csinB=bsinC 4）a:b:c=sinA:sinB:sinC例題在DABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c，若(3bc)cosA=acosC，：由正弦定理 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC得(3sinBsinC)cosA=sinAcosC\3sinBcosA=sin(A+C)Qsin(A+C)=sinB\3sinBcosA=sinBQB206。因?yàn)锳B=AC+CB，所以j?AB=j?(AC+CB)=j?AC+j??AC=0，j?CB=| j ||CB|cos(90176。則有 AD=b?sin∠BCA=c?si
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