定積分的概念上課-wenkub.com
2024-11-19 12:56 本頁面
【正文】 在 附近呢？ ,0t ,1t 2t,3t 4thtO3t 4t 0t 1t 2t (2)請(qǐng)描述，比較曲線分別在 附近增（減）以及增（減）快慢的情況。( )k f x?切 線 故 曲線 y=f(x)在點(diǎn) P(x0 ,f(x0))處的切線方程是 : ))(()( 000 xxxfxfy ????例 1:求曲線 y=f(x)=x2+1在點(diǎn) P(1,2)處的切線方程 . Q P y = x 2 +1 x y 1 1 1 O j M ? y ? x .2)(2l i m)11(1)1(l i m)()(l i m:2020000????????????????????????xxxxxxxfxxfkxxx解因此 ,切線方程為 y2=2(x1),即 y=2x. （ 1）求出函數(shù)在點(diǎn) x0處的變化率 ， 得到曲線在點(diǎn) (x0,f(x0))的 切線的斜率 。f x x f xyxx? ? ?? ???求 平 均 變 化 率0 0( 3 ) ( ) l i m .xyfxx???? ??取 極 限 ， 得 導(dǎo) 數(shù)注意 :這里的增量不是一般意義上的增量 ,它可正也可負(fù) . 自變量的增量 Δx的形式是多樣的 ,但不論 Δx選擇 哪種形式 , Δy也必須選擇與之相對(duì)應(yīng)的形式 . 回顧 P1P2P3P4PT TT TP P( )y f x= ( )y=f x( )y=f x ( )y=f xOyx OyxOyx Oyx211 ?.圖()1 ()2()3 ()4再觀察直線和P附近的曲線的貼近程度！ 在點(diǎn) P附近，曲線 f (x)可以用在點(diǎn) P處的切線 PT近似代替 。 1 30.x d x?利 用 定 積 分 的 定 義 ， 計(jì) 算 的 值例 1:? ? 3f x x?解 ： 令 在區(qū)間 [0,1]上等間隔地插入 n1個(gè)分點(diǎn)，把區(qū)間[0,1]等分成 n個(gè)小區(qū)間 每個(gè)小區(qū)間的長度為 ??????i 1 i, i = 1 , 2 , , nin （ ）i i 1 1Δ x = =n n n (1)分割 例題 （ 2）近似代替，作和 ? ?1n? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ????? ? ??3n n n133n 40i = 1 i = 1 i = 12224i i 1x dx S = f x = = in n n1 1 1 1 = n n + 1 = 1 +n 4 4 n? ? ? ????????21 3n0 nn1 1 1x d x = lim S = lim 1 + =4 n 4（ 3）取極限 iiξ = ( i = 1 , 2 , , n)n取 ， 回顧 以平均速度代替瞬時(shí)速度，然后通過 取極限， 從瞬時(shí)速度的近似值過渡到瞬時(shí)速度的精確值。 ??S o a b x y y=f１ (x) Ｂ Ａ y=f２ (x) Ｄ Ｃ 探究 根據(jù)定積分的幾何意義，你能用定積分表示圖中陰影部分的面積嗎？ 12( ) ( )bbaaS f x d x f x d x???? 探究 三 : 定積分的基本性質(zhì) 性質(zhì) 1. dx)]x(g)x(f[ba?? ? ???babadx)x(gdx)x(f性質(zhì) 2. ? ba dx)x(kf ?? ba dx)x(fk 定積分關(guān)于積分區(qū)間具有 可加性 ??? ?? bccaba dx)x(fdx)x(fdx)x(f 性質(zhì) 3. ? ??? ??? 21 21 ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fO x y a b y?f (x) Ｃ 性質(zhì) 3 不論 a， b， c的相對(duì)位置如何都有 a b y=f(x) ?ba f (x)dx ??ca f (x)dx??bc f (x)dx。 當(dāng) f ( x ) ? 0 時(shí)，積分 dxxfba )(? 在幾 何 上 表示由 y = f ( x ) 、 特別地，當(dāng) a ? b 時(shí)，有 ? ba f ( x ) dx ? 0 。 1( ) l im ( )ninibaf x d x fnx?? ???? ?? ba即O a bxy)( xfy ? S ? ?baf ( x ) dx ； 按定積分的定義 ， 有 (1) 由連續(xù)曲線 y?f(x) (f(x)?0) ，直線 x?a、 x?b及 x軸所圍成的曲邊梯形的面積為 (2) 設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的速度 v?v(t)， 則此物體在時(shí)間區(qū)間[a, b]內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離 s為 s ? ?bav ( t ) dt 。21 1 12 2 22 2 2331 1 1( ) ( )1 1 1 2 1 1 10 1( 1 2 ( 1 ) )1 ( 1 ) ( 2 1 )61 1 11 2 .6n n nnii i iiiS S f xn n nnn n n n n n nnnn n nnnn? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?????? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?xOy解 把底邊 [0,1]分成 n等份 ,然后在每個(gè)分點(diǎn)作底邊的垂線 , 這樣曲邊三角形被分成 n個(gè)窄條 , 用矩形來近似代替 ,然后把這些小矩形的面積加起來 , 得到
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