【正文】 然后按 x, xlnx、 1/x、 (lnx)2的對應(yīng)關(guān)系代入方程中即得出回歸曲線的多項式方程 。按順序排列于 x列的右則 。 如下面函數(shù)式的格式就是此類函數(shù)的一例： 25432210 )(l n1ln? xcxcecxcxccy x ??????(555) 一般，常用的統(tǒng)計數(shù)學(xué)模型為 G－ 1階多項式： 12321? ?????? GG xcxcxccy ?（ 556） 任何函數(shù)至少在一個比較小的范圍內(nèi)可以用多項式任意逼近 。 根據(jù)計算出的回歸系數(shù)寫出回歸方程 。 SiO2 的含量， % x3 3CaO 但是用計算機(jī)來進(jìn)行計算工作量與一元線性回歸相比 ， 復(fù)雜程度并不大 。 多元回歸 上面討論的是只有兩個變量的回歸問題 ， 其中一個是自變量 ， 另一個是因變量 。 用 Excel電子表格軟件進(jìn)行曲線回歸的方法 方法 1 方法 2 利用 Excel 對 x 、 y 的數(shù)據(jù)求出所有的回歸系數(shù)及方差分析數(shù)據(jù) 。下面我們采用計算機(jī)處理方法 ， 用其它類型的函數(shù)進(jìn)行回歸擬合試一試 ， 看會得出什么樣的結(jié)果 ？ 利用 Excel 對 x 、 y 的數(shù)據(jù)作散點圖，直接作出回歸曲線。 由表 56得出的參數(shù)可寫出最后的回歸曲線方程式為： xy?1 43 ?? ???? 177。 根據(jù)這個特點 ， 選用 雙曲線 ： xbay??1(5—39） 表示容積 y 與使用次數(shù) x 的關(guān)系。 例 煉鋼廠出鋼用鋼包在使用過程中 ， 由于鋼液及爐渣對耐火材料的浸蝕 ， 其容積不斷增大 。 型xbeay ??? 1bvauevyu x ???? ? 則令 ,1 （ 7 ） 對 數(shù) 拋 物 曲線 ， ， 見 圖 。 型bxaey ?bvcuacxvyu ????? 則令 ,ln,ln （ 3） 指數(shù)曲線 ， ， 見 圖 。 函數(shù)的形式可能是各種各樣的 ， 具體形式的確定或假設(shè) ， 一般有下述兩個途徑：一是根據(jù)有關(guān)的物理知識 ， 確定兩個變量之間的函數(shù)類型；二是把觀測數(shù)據(jù)劃在坐標(biāo)紙上 ， 將散點圖與已知函數(shù)曲線對比 ， 選取最接近散點分布的曲線公式進(jìn)行試算 。 （ 3）利用計算出的參數(shù)，即可寫出回歸方程。 如 圖 515(e)所示 ， 雖然 r = 0， 但從散點分布看 ， x 與 y 之間存在著明顯的曲線關(guān)系 ， 只不過這種關(guān)系不是線性關(guān)系罷了 。 如 圖 （ d） 所示 。 （ 3） ｜ r｜ = 1。 這時 ， x 與 y 之間存在著一定的線性關(guān)系 。 此時 b = 0 ， 即按最小二乘法確定的回歸直線平行于 x 軸 ， 這說明 y 的變化與 x 無關(guān) 。 回歸方程可改寫為： )( ???? ?置信水平xy 相關(guān)性檢驗 用一個數(shù)量性的指標(biāo) ， 來衡量兩個變量之間線性相關(guān)關(guān)系的密切程度 ——相關(guān)系數(shù) r 。 殘差平方和是排除了 x 對 y 的線性影響后的剩余部分 ， y 值隨機(jī)波動程度的大小 ， 用它來估計誤差 。 是 殘差平方和 ， 表示了回歸方程的擬合誤差 ， 即觀測值 yi 偏離回歸值 的大小 。 殘差可表示如下： y?iii yye ???試驗得到的數(shù)據(jù) 回歸直線對應(yīng)的數(shù)據(jù) 上式可改寫成： )?()(? yyyyyye iiiii ??????（ 5—24） 移項得： )?()?( yyyyyy iiii ?????? ???????????????????????miimiiiimiiimiiiimiiyyyyyyyyyyyyyy121122112)?()?)(?(2)?()?()?()(兩端平方求和得： （ 5—25） 可以證明此項為零 ， 故得： ???????????miimiiimii yyyyyy121212 )?()?()(???miii yy12)?(???mii yy12)( 上式中三項平方和的意義如下： 代表在試驗范圍內(nèi) ， 觀測值 yi 總的波動情況 ， 稱此為 總平方和 。 ????????????????????????????????????????????????mimiimiiiiimiixymimiiimiiyymimiiimiixxmyxyxyyxxlmyyyylmxxxxl1111112221112221)()())(()()()()(令 521 便可得到回歸系數(shù)的另一種表達(dá)式： xxxyllb?552 并且，習(xí)慣上稱 ??miix12 為 x 的平方和； mxmii?? 12)(為平方和的修正項； ??miii yx1為 x 與 y 的乘積和； 的乘積和；myxmiimii ???? 11)()(為乘積和的修正項。 例 研究腐蝕時間與腐蝕深度兩個變量之間的關(guān)系，可把腐蝕時間作為自變量 x ， 把腐蝕深度作為因變量 y ， 將試驗數(shù)據(jù)記錄在 表 51中。 從圖 51a中可以看出 ， 顯然 ， 此時下式應(yīng)最?。? ?????? ??? ??miiimyyeeeP1 2221 2)?(e x p21),(????（ 5—6） 即殘差平方和最小 ， 這就是最小二乘法原理的由來 。 設(shè) x， y 關(guān)系的最佳形式為： Nccc , 21 ?)?,?,?,(? 21 Ncccxfy ??（ 52） （ 53） 最佳估計值 如不存在測量誤差，則： micccxfy Nii ?? ,2,1),( 21 ?? （ 54） 由于存在測量誤差 ， 因而式 （ 53） 與 （ 54） 不相重合 ， 即有： miyye iii ,2,1? ???? （ 55） 殘差 ——誤差的實測值 5 .2 最小二乘法原理 式 （ 5—3） 中的 x 變化時 ， y 也隨之變化 。 我們稱這類變量之間的關(guān)系為 相關(guān)關(guān)系 。 數(shù)學(xué)分析和物理學(xué)中的大多數(shù)公式屬于這種類型 ?；貧w分析 概述 回歸分析 ——研究變量與變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)方法。 到方差分析 實際問題中 ， 絕大多數(shù)情況下 ， 變量之間的關(guān)系不那么簡單 。 相關(guān)關(guān)系 圖5 . 1 相關(guān)關(guān)系02468101214160 5 10 15 20xy 雖然各組數(shù)據(jù)不是準(zhǔn)確地服從 f(x)關(guān)系 ， 但 y值總還是隨 x的增加而變化 。 如果 m 對觀測值中有比較多的 y 值落到曲線 （ 5—1） 上 ， 則所得曲線就能較為滿意地反映被測物理量之間的關(guān)系 ， y 值同時出現(xiàn)的概率最大 ，則曲線 （ 5—3） 就是曲線 （ 5—1） 的最佳形式 。 圖 iy?38141514108y = 3 2 + 0246810121416180 5 10 15 20xyx 1 3 6 8 10 13 163 8 14 15 14 10 8y i e i iy?5 .2 最小二乘法原理 這里假定 xi 無誤差。求出 x， y之間的線性關(guān)系。 上述回歸直線的具體計算 ， 通常都是列表進(jìn)行的 ，本節(jié)的示例 ， 具體計算見 表 52。 ???mii yy12)?(代表 x 變化所引起的 y 值變化大小的量 ，即 yi 波動中 ， 可以通過回歸方程計算出來的那一部分 ， 稱之為 回歸平方和 。這一部分不能通過回歸方程計算出來 ，它是 y