【正文】 2023/2/27 136 【 例 】 p59 某高校欲了解在校學生用于課外進修 (如各種考證輔導班等 )的開支 ,在全校 8000名學生中抽取了一個 200人的簡單隨機樣本 .根據(jù)學生科的統(tǒng)計 ,本科生人數(shù)為全校學生的70%,調(diào)查最近一個學期課外進修支出的結(jié)果如下 : 2023/2/27 137 在校學生課外進修開支調(diào)查結(jié)果 試估計全校學生用于課外進修的平均開支 . 解 : 全校學生用于課外進修的平均開支為 : 層 (h) 層權 ( ) 樣本量 ( ) 樣本均值 ( ) 樣本標準差( ) 本科生 120 研究生 80 合計 1 200 hyhn hs)(21元?????? ??hhhpst yWy2023/2/27 138 估計的方差 : 2023/2/27 139 估計的標準差 : ? 如果采用簡單估計 ,則估計的方差為 : 估計的標準差為 : ? ? )( 元?ys估計的標準差 : 2023/2/27 140 【 例 】 某地對載貨汽車進行抽樣調(diào)查，調(diào)查目標量是當月該地發(fā)生的總運量和總周轉(zhuǎn)量。 不適合：層權與實際情況相差很大 層權 :用近似層權進行校正或重新抽樣 hWhW2023/2/27 131 ,則用估計量 來替代 先抽取一個樣本量 n的簡單隨機樣本 ,然后將樣 本按某個特征進行分層 ,落到第 h層的單元數(shù)為 hn樣本均值 。 iYiX ??2023/2/27 130 三 . 事后分層 (或抽樣后分層 ) 前面討論的分層抽樣是建立在抽樣之前總體已經(jīng)分好層 ,但有時這種事先分層會遇到較大困難，而我們又很想利用分層抽樣的優(yōu)勢之處，此時可以采用事后分層的方法。 分層時應考慮： １．分層考慮精度的要求。按數(shù)值分層即為在 與 之間插上 (h1)個分點 : 如果各層的抽樣分配方案已定，即設法求這些分點以使得 達到最小。 ２．若是提高抽樣效率 ,減少估計量的方差，則按目標 量 分層，但在調(diào)查之間目標量是未知的，因此 分層通常選擇一個與調(diào)查指較大線性相關的指標 來進行。 2023/2/27 121 使用條件 : 最優(yōu)分配 : 各層標準差差異大，尤其是調(diào)查多個目標量時。 ? ????????LhhhLhhh YYWSWS12122? ? prophhhpropsrs VYYWnfVV ????? ? 21hY2023/2/27 118 方差差值為 : 這表明層平均數(shù) 的差異越大，分層的效果就越好 ,若層平均數(shù)都相等，那么分層的效果與不分層的一樣。 （ 3）而且當實際分配偏離最優(yōu)分配時，方差增加并不明顯。 srspropopt VVV ,2023/2/27 113 如果各層的 均值差異越大 ，則用比例分配法較好，而當各層的 標準差 較大時，用最優(yōu)分配法較好。反之對同一精度要求，對不同的樣本量分配形式 ,計算得到的總樣本量也有差異，因此在確定總樣本時，要求先確定樣本量的分配形式。 實際工作中，如果第 k層出現(xiàn)這種情況，最優(yōu)分配是對這個層進行 100%的抽樣，即取 ，然后，將剩下的樣本量 按最優(yōu)分配分到各層。 ?n 2023/2/27 89 【 例 】 在例 n=550不變 ,城鎮(zhèn)居民與農(nóng)村居民年收入的標準差估計分別為 元 , 元 ,對城鎮(zhèn)居民與農(nóng)村居民抽樣平均每戶的費用比 1:2,試求城鎮(zhèn)與農(nóng)村兩層比例分配與最優(yōu)分配的樣本量。即最優(yōu)分配的 與 或 成正比，與 成反比。 ykY ?2023/2/27 78 的方差為 : 注意： 是各層方差按層權的加權平均 ! ??LhhhSW122023/2/27 79 二 . 最優(yōu)分配 (一 ) 最優(yōu)分配 在分層隨機抽樣中， 在總費用給定的條件下，估計量的方差達到最?。换蛟诮o定估計量方差的條件下，使總費用最小的各層樣本量的分配稱為最優(yōu)分配 (optimum allocation)。 或 hn hWhw2023/2/27 76 總體均值 的估計是 : 顯然估計量有相當簡單的形式。 比例分配時， 也與層權 成比例。 R? yx、2023/2/27 71 第四節(jié) 樣本量在各層的分配 簡單隨機抽樣只需要根據(jù)調(diào)查精度的要求與費用的限制來確定抽樣容量的大小，而分層抽樣則提出另一個重要的問題，一旦確定 n，又如何在各層中分配抽樣容量 ，其中有些問題要考慮，比如在各層中各有精度的要求以及費用的限制，由于各層具有各自的鮮明特征，其花費自然不同，因而在樣本容量分配上必須帶有經(jīng)濟觀點。若層內(nèi)的回歸系數(shù)差別不太大，而每層的樣本量并非都相當大時，聯(lián)合回歸估計可能更保險些。 （先分層再回歸） 總體均值、總量的聯(lián)合估計量： ? ?ststlrc xXyy ??? ? ? ?ststlrclrc XXYyNY ??? ???? ?XY與其中： ?? h hhst yWy ?? h hhst xWx2023/2/27 62 當回歸系數(shù)為事先給定的常數(shù)時，聯(lián)合估計量 是無偏的，其方差為： ? ? ? ? ? ?yxhxhyhh hhhlrc SSSnNfNyV ?? 21 22222???? ?? ? ? ? ? ?? ????hyxhxhyhhhhlrc SSSnfNYV ?? 21? 2222lrclrc Yy ?及2023/2/27 63 ? 當 取 時 , 達到最小。 分別回歸估計量同樣要求每層的樣本量都比較大，如果達不到這個要求，加之各層的簡單隨機抽樣誤差較大，整個分層隨機抽樣就會產(chǎn)生較大的偏差，這時要使用聯(lián)合比估計量。 ? 當 各層的樣本量不大 ，或 各層比率 差異很小 ，則 聯(lián)合比率估計 更好些。 高血壓患病率調(diào)查數(shù)據(jù) 年齡組 (歲 ) 層權 層樣本量 1425 400 2640 650 4160 600 61以上 350 hWhnhp2023/2/27 40 解 : P的估計量為 : ? 為求 的方差估計 ,取 stp? ? ? ? 的近似公式為：則 ?? ???????Lh hhhhhsthhhnqpfWpvnnf12,111,11? ?? ? ? ? % 0000 12????? ??ststLh hhhhstpvpsnqpWpv2023/2/27 41 比率估計及其性質(zhì) ? (一 )分別比率估計 條件： 各層的樣本量都比較大 的情況下 方法：各層分別進行比率估計，將各層加權匯總得到總體指標的估計。求全市年平均戶收入的估計及其 90%的置信區(qū)間。 的方差為 : YhY?hYstY?YstY?? ? ? ????Lhhhst YVWYV12 ??由于各層的抽樣是相互獨立的 2023/2/27 14 證明：因各層抽樣是相互獨立，則 也相互獨立，則有 ? ? ? ? ? ?? ??? ????? ?????????????????LhhhLhLjhhLhhstYVWWWWVYV121 hjjhL1h2h1h?Y?,Y?cov2Y?VWY??hY? ? ? 0Y?,?covj ?hY2023/2/27 15 性質(zhì) 2 對于 分層隨機抽樣 , 是 的無偏估計 , 的方差為 : 2023/2/27 16 性質(zhì) 3 對于分層隨機抽樣 , 的一個無偏估計為： ??????????????LhhhLh hhhhLh hhhLhhhstNsWnsWsnfWyvWyv12122212121)()(2023/2/27 17 ? 注 : 當 適當?shù)拇螅鲗訕颖酒骄鶖?shù) 均可適用正態(tài)近似，因此一般地 也適用于正態(tài)近似其置信區(qū)間。 首先為組織方便 ,按省分層；各省再按經(jīng)濟成分分層；為提高抽樣效率 ,再按噸位分層。 ２．盡可能使層內(nèi)單元的標志值相近，層間單元的差異盡可 能大，從而達到提高抽樣估計精度的目的。 如 :消費物價指數(shù) (全國和各省 ) ３ .層內(nèi)抽樣方法可以不同，而且便于抽樣 工作的組織。 2023/2/27 5 分層隨機抽樣三原則： （ 1） 每層都抽樣 ； （ 2）各層都 獨立 地抽樣； （ 3）各層的抽樣都是 簡單隨機抽樣 。 然后，在每個層中分別 獨立 進行抽樣，這種抽樣就是分層抽樣，所得到的樣本稱為分層樣本。如果每層都是簡單隨機抽樣，則稱為分層隨機抽樣，所得到的樣本稱為分層隨機樣本。 2023/2/27 6 （二）特點： １ .分層抽樣的抽樣效率較高，也就是說分層抽樣的估計精度較高。 2023/2/27 7 (三 )作用 可以對各層的參數(shù)進行估計 , 有助于提高估計精度 。 ３．既按類型又按層內(nèi)單元標志值相近的原則進行多重分 層，同時達到實現(xiàn)估計類值以及提高估計精度的目的。 2023/2/27 10 三．符號說明 層號： h(h=1,2…,L) 第 h層的記號如下 : 單元總數(shù)： 樣本單位數(shù)： 第 i個單元標志值為 : 從該層中抽取的樣本的單元值為 : 層權： 抽樣比： 總體均值： 樣本均值： ),...,2,1( hhi niy ?NNW hh ?hhh Nnf ? ???hNihihh YNY11 ???hnihihh yny11),...,2,1( hhi NiY ?2023/2/27 11 ? 層內(nèi)方差： ? 樣本方差： 2023/2/27 12 第二節(jié) 簡單估計量及其性質(zhì) 一．總體均值的估計 (一 )簡單估計量的定義 對于分層樣本，對總體均值 的估計是通過對各層的 的估計 ,按層權 加權平均得到的。 hhhh nNnN ?與，styhy2023/2/27 18 二．總體總量的估計 （一）簡單估計量的定義 總體總量 Y的估計為： 分層隨機樣本 : （二）估計量的性質(zhì) 性質(zhì)４ 對于 一般的分層抽樣 ，如果 是 偏估計，則 是 Y的無偏估計。 2023/2/27 28 解 :