【正文】 換向器是一對相互絕緣的半圓形截片， 它們通過固定的電刷與直流電源相接。 L p E??E B p mmpp q lm SI 直流電動機的基本原理 直流電動機就是通常所說的“ 直流馬達 ” ,是一種使用直流電的動力裝置 。以上的對比表明， 一個載流線圈的磁矩 ，是和偶 極了的偶極矩 相對應(yīng)的概念。圖 441b是一個電偶極子在均勻外電場 中受到力矩的情形。 式 ()中 是描述一個任意形狀的載流平面線圈本身性質(zhì)的矢量，稱為這個線圈 的磁矩，用 表示： () 用線圈的磁矩來表示， 式 ()可寫為 () 綜上所述，我們看到， 任意形狀的載流平面線圈作為整體 ， 在均勻外磁場中不受力， 但受到一個力矩 ， 這力矩總是力圖使這線圈的磁矩 (或者說它的右旋法線矢量 )轉(zhuǎn)到 磁感應(yīng)強度矢量 的方向 ?？梢园颜麄€回路分成一對對與 、 相似的電流元，作用在整個回路上的總力矩等于各力矩元 之和： 其中 是整個回路所包圍的面積。這樣的例子參見本節(jié)的思考題和 某些習(xí)題。 BC和 DA兩邊都是與 垂直，它們 受的力大小也相等，即 ，方向也相反，但 nnna b B oo?n Boo?BB C D AF F Ib B??s i n ( ) s i n ( )22A B C DF I a I a B F????? ? ? ? ? 矩形載流線圈在均勻磁場中 所受的力矩 不作用在同一直線上 (這一點可從投影圖 439更明顯地看出來 ), 因此這兩個力的合力為 0,但組成一個繞 軸的力偶矩 ,這一力 偶矩使線圈的法線方向 向 方向偏轉(zhuǎn)。如圖 438,矩形線圈 ABCD 的邊長為 和 ,它可繞垂直于磁感應(yīng)強度 的中心軸 自由轉(zhuǎn)動。 12I I I??202 If a???7022 1 0a f a fI ?? ??? ? 安1a? 72 10f ??? 1I?72 10?? 矩形載流線圈在均勻磁場中 所受的力矩 今后為了敘述方便，我們用右旋單位法線矢量 來描述一個載流線圈在空間的取向。 １圖 46中描述的演示實驗）。利用安培公式 ()可以計算 各種形狀的載流回路在外磁場中所受的力和力矩。 1中我們把安培定律拆成兩部分，得到 ()和 ()兩式，其中式 () 是畢奧 薩伐爾定律，它是電流產(chǎn)生磁場的基本規(guī)律，我們已在 167。若依這樣的圓周 取安培環(huán)路 ，則因穿過它的總電流為 0，可得 (環(huán)外 ) 圖 435顯示了上述計算結(jié)果與實際磁力線分布是一致的。求磁場分布。 沿矢徑磁感應(yīng)強度 的分布示于圖 433c。于是 另一方面，根據(jù)安培環(huán)路定理， ， 其中 是通過環(huán)路 的電流。為了分析 的方向，我們?nèi)?dǎo)線截 面上的一對面元 和 ，它們對于聯(lián)線 對稱。 【 例題 1】 求圓截面的無限長載流導(dǎo)線的磁場分布，設(shè)導(dǎo)線的半徑為 ，電流 均勻的 通過橫截面 (圖 433）。在此基礎(chǔ)上運用疊加原理 ,即可解決多個 載流回路 (或同一載流回路多次穿過積分環(huán)路 )的情形。隨著 點沿 由外邊繞到無限靠近 “ 反面 ” 時 (見圖 432中的位置 ), 對它所張的立體角經(jīng)過 0連續(xù)變到 。故 、 也可理解為不動的載流回路 對移動的場點 新、舊 1S?2S??1L?S?2L?S? P L? ?L?L? dl? S?2? 1? 2S? 1S?21 0?? ? ? ? ?Pr?dS ()dl dl??? S?0 21()4 IB d l ? ?? ? ? ? ?2 1 1d l d ll??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? 04 IB d l d l??? ? ?? ?04 IB dl ??? ? ? ??dl?dl?dl 2? 1? L? P 安培環(huán)路定理的表述和證明 位置所張的立體角。 (應(yīng)當(dāng)說明 ,上面所有立體角的正負皆視面元的法向與矢徑 間 夾角是銳角還是鈍角而定 , 的法向沿 方向 ,而 的法向則按 的環(huán)繞方向依右 手定則來定。于是 P?rdldl?Idl?dSdlL? ?rr???()dl dl???dSdl?dS ?()dl dl r??? ? ? dS2?( ) /dl dl r r??? ? ?PdS d? L?dl? P?04 IB dl ? ??? ? ?? ? ? ?0022? ?()44LLII dl r dl dl dl rB dlrr??????? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ???dl?L?L? 安培環(huán)路定理的表述和證明 今設(shè)想以 為邊界作一曲面 , 對 點也有一定的立體角 。 為了區(qū)別安培環(huán)路 上的線元 ，我們用 代表載流 回路 上的線元。 安培環(huán)路定理也是可以從畢奧 薩伐爾定律出發(fā)來證 明的 ,現(xiàn)證明如下。用公式來表示，則有 () 其中電流 的正負規(guī)定如下：當(dāng)穿過回路 的環(huán)繞方向 服從右手法則時， ,反之， 。矢量勢的問題將在 《 電動力學(xué) 》 課中詳細討論，這里不介紹了。例如在一個有限長螺線管兩端磁感應(yīng)線趨于分散，那 里的磁場就比中間弱。 至此，磁場的 “ 高斯定理 ” 得到了完全的證明。由于磁感應(yīng)管呈嚴格的圓環(huán)狀 , 其正截面處處相等，故 ，從而 ，即 。與 不相交的磁感應(yīng)線對磁通量 無貢獻 ,下面只考慮貫穿 的磁感應(yīng)線。 我們知道，靜電學(xué)中高斯定理是可以從庫侖定律出發(fā)加以嚴格證明的，上述磁場的 “高斯定理”式 ()也可以從畢奧 薩伐爾定理出發(fā) 加以嚴格的證明 。所以在磁 感應(yīng)線密集的地方磁感應(yīng)強度 大，在磁感應(yīng)線稀疏的地方磁感應(yīng)強度 小。米 2 ,這個單位叫做 韋伯 ,即 1韋伯 =1特斯拉 1米 2 或 1特斯拉 =1韋伯 1米 2 反過來 ,我們也可把磁感應(yīng)強度 看成是通過單位面積的磁通量，即 磁通密度 。高斯定理可以幫助我們很方便地求出某些具有一定對稱性的帶電體的電場分布； 關(guān)于靜電場力作功與路徑無關(guān)的定理使我們有可能引進電位的概念，它對于解決許多 實際問題具有重要的意義。磁感應(yīng)線的這些特點與靜電場的電力 線是很不相同的。在 的極限 情況下，整個外部空間的磁感應(yīng)強度趨于 0。并且根據(jù)對稱性，它們對總磁感應(yīng)強度 的貢獻應(yīng)該是一樣的，即每一 P B xLR??B12, 0 ,L ? ? ?? ? ? ?0B nI??x0nI?1 2 1 20 , 2 2 , ,? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?或0 /2B nI??0nI? 載流螺線管中的磁場 半單獨貢獻是 。這表明在密繞的無限長螺線管軸線上的磁場是均勻的。由此二式得 ，取微分得 把上面的積分變量 換為 ，則有 () 式中 、 分別是 角在螺線管兩端即 處的數(shù)值，由圖上可以看出 、 與場點坐標 的關(guān)系是 ， 。如果螺線管是密繞的， 計算軸向磁場時，我們可以忽略繞線的匝距， 把它近似看成是一系列圓線圈緊密地并排起 來組成的。這 右手定則 是： 用右手彎曲的四指代替圓線圈中電流的方向 ,則伸直的姆指將沿著軸線上 Ｂ 的方向。令 為場 點 到圓心的距離，則 ，故 O R PdB POA PA OP PAO? ??dBdB?AA? dBcosdB ? cosB dB ?? ?0 2 sin4 IdldB r? ??? P 2??? sin 1??0rP 0 sinrr ??2020 s i n4Id ldBr? ???2020c o s s i n c o s4IB d B d lr?? ? ?????? 載流圓線圈軸線上的磁場 因 故 () 下面我們考慮兩個特殊情形： (1)在圓心處 , , () (2)當(dāng) 時 , () 我們只計算了軸線上的磁場分布 ,軸線以外磁場分布的計算比較復(fù)雜 ,此處從略。 長直導(dǎo)線周圍的磁感應(yīng)線是沿垂直于導(dǎo)線的平面內(nèi) 的同心圓 (見圖 419)。 由此消去 ，得 ，取微分： 將上面的積分變量 換為 后得到 () PPdBIdldB12AAP PO 0r OOIdl22110 2s i n4AA IdlB d B r? ??????0c o s ( ) c o s , s i n ( ) s i nl r r r r r? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?r 0 cotlr ???02sinrdl d???l ?2100 1200s i n ( c o s c o s )44IIdBrr???? ?? ????? ? ?? 載流直導(dǎo)線的磁場 式中 、 分別為在 、 兩端 角的數(shù)值。 0 2 ?4 Idl rdB r?? ??dB?rdldB ?r dl? ?102?4 LId l rBr???? ? 載流直導(dǎo)線的磁場 考慮在這直導(dǎo)線旁任意一點 的磁感應(yīng)強度 (見圖 418)。這里我們略去所有 2等下標，式中的矢徑 從源點 (即電流元所在位置 )指向場點Ｐ (圖 416)。 P350頁圖 415上半部分的兩個圖，就是用這種方法顯示出來的磁感應(yīng)線分布圖，其中圖 415a是一根條形磁棒近旁的磁感應(yīng)線，圖 415b是螺線管內(nèi)、外的磁感應(yīng)線。式 ()稱為畢奧 薩伐爾定律。兩個單位的換算關(guān)系是 1 特斯拉 =104高斯 ，或 1 高斯 =104特斯拉 “ 高斯 ” 這個單位不屬于 MKSA單位制，它屬于高斯單位制。這個單位有個專門名稱，叫特斯拉，用Ｔ 表示。要注意的是這里 Ｂ 還可能有兩個彼 此相反的指向，不過它可由矢積公式 ()按右手定則唯一的確定。在某個特殊方向以及與之相反的方向上，受力為 0。下面我們分別對這兩個公式作些進一步的 討論。在 MKSA單位制中， 安培定律式 ()應(yīng)寫成 () 現(xiàn)把電流元 看成試探電流元。