[高等教育]第三章-線性代數(shù)指導書-wenkub.com
2025-08-14 04:29 本頁面
【正文】 (2) 計算行列式.解 (1) ,或(建議改為：任取矩陣的特征值及其特征向量，成立 , .由于，,故有. 因此，. 又由于，或 故由式，存在正交矩陣，使得（用句點）由于, 的相似標準形為(共個1).(2) 由(1)知有個值為1的特征值, 個零特征值,因此將代入上式得2) 證明與實對稱矩陣有關的行列式不等式.例2 設為階實對稱矩陣,且的特征值都是非負數(shù),試證證明 設的特征值為, ,從而由有,有,從而有3) 以對角矩陣為橋梁,.例3 試證:對稱的正交矩陣的特征值是或.證明 設為對稱的正交矩陣, 為的特征值,.又由有,例4 證明實對稱矩陣正定的充要條件是它的特征值全為正數(shù).證明 設為階實對稱矩陣,則存在正交矩陣,使得,其中（和教材保持一致，用，下同）則（用句點）故正定（教材中正定性是通過正慣性指數(shù)定義的，故不宜用，建議改為：因此，二次型的標準形為. 由正定二次型的定義，矩陣A正定的充要條件是正慣性指數(shù)等于，即，也即矩陣A的特征值均大于零. ） 4) 利用式將實對稱矩陣作和分解或乘積分解.作和分解時,常將作列子塊,將作行子塊,有時也將對角陣分解為對角矩陣之和。2．理解方陣的特征值與特征向量的概念。第三章 二次型本章主要討論二次型的標準化、二次型的正定性判定等問題，而矩陣的特征值與特征向量、向量的內(nèi)積等內(nèi)容則是研究二次型的基礎．（一）、線性無關向量組的正交規(guī)范化線性無關向量組的正交規(guī)范化是本章的基本內(nèi)容之一．給定線性無關的向量組，…，將其正交規(guī)范化的步驟是：第一步：運用施密特正交化方法將線性無關的向量組，…，變?yōu)檎幌蛄拷M，…，:第二步： 將正交向量組，…，單位化:則是一個正交規(guī)范向量組.（二）、方陣的特征值與特征向量矩陣的特征值是矩陣另一個重要的數(shù)值特征，它反映了方陣的某些重要性質，例如，若階方陣有個不同的特征值，則它可逆．求矩陣的特征值與特征向量是本章的又一重要而基本的內(nèi)容．給定矩陣求的特征值與特征向量的一般步驟是：第一步： 計算階行列式；第二步： 解特征方程，求矩陣的特征值；第三步：對矩陣的每個特征值，求方程組的基礎解系，方程組的任何非零解都是矩陣的對應于特征值的特征向量．方陣的特征值與特征向量、正交矩陣是線性代數(shù)中重要概念，它們在數(shù)學理論、工程技術中有著廣泛的應用，應當掌握其定義、性質及計算方法．（三）、化二次型為標準形化二次型為標準形有下面兩種基本方法：1．配方法配方法是化二次型為標準形的基本而重要的方法．值得注意的是，如果二次型中含有平方項時，可直接利用完全平方公式進行配方；如果二次型中不含有平方項，而只含有交叉項時，應先利用平方差公式作輔助變換使其產(chǎn)生平方項，然后再利用完全平方公式進行配方．2．正交變換法正交變換法是化二次型為標準形的重要的方法，該方法的一般步驟是：第一步：求出二次型的矩陣的特征值，…，與相應特征向量，…，；第二步：將所求得的特征向量，…，正交規(guī)范化，得，…，；第三步：將已正交規(guī)范化的特征向量，…，作為列向量構成正交矩陣，寫出正交變換，于是，該正交變換將二次型化為標準形．（四）、正定二次型及其判定方法判定二次型（或對稱矩陣）為正定的方法有：1．行列式法對于給定的二次型，寫出它的矩陣，根據(jù)對稱矩陣的所有順序主子式是否全大于零來判定二次型（或對稱矩陣）的正定性. 2．正慣性指數(shù)法(加上：或求矩陣的所有特征值？)對于給定的二次型，先將化為標準形，然后根據(jù)標準形中平方項系數(shù)為正的個數(shù)是否等于，來判定二次型的正定性．二、基本要求與疑難解析(一) 基本要求1．了解二次型及二次型的秩的概念,能熟練地寫出二次型的矩陣。3．了解向量的內(nèi)積,長度及夾角的概念,熟練掌握將線性無關的向量組正交規(guī)范化的施密特方法,了解正交矩陣的概念及其性質。作乘積分解時,常將對角陣分解為兩個或多個對角陣的乘積,且必要時在其間插入乘積等于單位陣的乘積矩陣.例5 設是階實對稱矩陣, 是的個正交單位特征向量,對應的特征值為,試證:證明 令,則為正交矩陣,且不明顯，建議改證為：.因此， .例6 設為正定矩陣,證明存在可逆矩陣,使得.證明 因為為實對稱矩陣,所以由式，存在正交矩陣，使得 ,（建議用轉置不用逆）由于為正定矩陣, 故有因此令,則故.6. 怎樣求矩陣及其
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