拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)-wenkub.com
2025-08-12 22:22 本頁(yè)面
【正文】 復(fù) 習(xí) 橢圓、雙曲線的第二定義： 與一個(gè) 定點(diǎn) 的距離和一條 定直線 的距離的比 是常數(shù) e的點(diǎn)的軌跡 . 提示：注意到 P為第四象限的點(diǎn)，所以可以設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y2=2px或 x2=2py yxxyppyxypxxpyP8,4,212,422)2,4(22212212?????????????或所求為可得代入，將或方程為位于第四象限，設(shè)所求點(diǎn)解： ?練習(xí) 2 M (x , y) y x F(4, 0) 4 5 例 點(diǎn) M與點(diǎn) F（ 4， 0）的距離比它到直線l： x＋ 5＝ 0的距離小 1，求點(diǎn) M的軌跡方程． 如圖可知原條件等價(jià)于 M點(diǎn)到 F（ 4， 0） 和到x＝－ 4距離相等 ， 由拋物線的定義 ， 點(diǎn) M的軌跡是以 F（ 4， 0） 為焦點(diǎn) ， x＝－ 4為準(zhǔn)線的拋物線 ． 因?yàn)閜/2=4,所以 p=8,所求方程是y2＝ 16x． 分析： 數(shù)學(xué)應(yīng)用 M是拋物線 y2 = 2px（ P＞ 0）上一點(diǎn)， 若點(diǎn) M 的橫坐標(biāo)為 X0，則點(diǎn) M到焦點(diǎn)的 距離是 —————— X0 + — 2 p O y x ． F M ． 拋物線 () 上任意一點(diǎn) P pxy 22 ??),( 00 yx 到焦點(diǎn)的 距離（稱(chēng)為焦半徑） 2|| 0Px ?等于 練習(xí) 3 拋物線 y2 = 2px ( p0 ) 上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離是 a ( a ),則點(diǎn) M到準(zhǔn)線的距離是 , 點(diǎn) M的橫坐標(biāo)是 . 2pa a－ 2p 拋物線 y2 =12x上與焦點(diǎn)的距離等于 9的點(diǎn)的坐標(biāo)是 . )26,6( ?例 4. 斜率為 1的直線經(jīng)過(guò)拋物線 y2 =4x 的焦點(diǎn) ,與拋物線相交于兩點(diǎn) A、 B, 求線段 AB的長(zhǎng) . l X y F A O B 數(shù)學(xué)應(yīng)用 分析 1：直線與拋物線相交問(wèn)題，可聯(lián)立方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)，由距離公式求；或不求交點(diǎn)，直接用 弦長(zhǎng)公式 求。 解 :因焦點(diǎn)在 y軸的負(fù)半軸上 ,且 p=4,故其標(biāo)準(zhǔn)方程為 :x = 8y 2 32 解：因?yàn)椋穑剑常式裹c(diǎn)坐標(biāo)為（－ ,０） 32 準(zhǔn)線方程為 x= － . 數(shù)學(xué)應(yīng)用 解 :方程可化為 : 故焦點(diǎn)坐標(biāo) 為 ,準(zhǔn)線
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