【正文】 且過(guò)原點(diǎn)的直線，所以，軌跡方程為 x － 3 y ＝ 0 或 3 x ＋ y ＝ 0. 故選 C. [點(diǎn)評(píng) ] 距離問題有三類：兩點(diǎn)間的距離，點(diǎn)到直線的距離，兩平行直線間的距離．一般來(lái)說(shuō)，會(huì)套用公式求距離就可以了．在使用公式時(shí)，要注意公式的使用條件和公式的特例，在用距離公式解含有參數(shù)的問題時(shí)，用距離公式列出關(guān)于所含參數(shù)的方程 (組 )，利用方程思想解決問題． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 41講 兩直線的位置關(guān)系 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 41講 兩直線的位置關(guān)系 歸納總結(jié) ① 點(diǎn)到直線的距離公式：設(shè)點(diǎn) P ( x0， y0) ， 則 距離 公式 點(diǎn) P 到直線 Ax ＋By ＋ C ＝ 0 的距離 d ＝| Ax0＋ By0＋ C |A2＋ B2 點(diǎn) P 到直線 x ＝ a的距離 d ＝ | x0－ a | 點(diǎn) P 到直線 y ＝ b的距離 d ＝ | y0－ b | ② 用公式 d ＝| C1－ C2|A2＋ B2求兩平行線間的距離時(shí)，要先將兩個(gè)方程中的 x ， y 的系數(shù)化為相同． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 41講 兩直線的位置關(guān)系 變式題 ( 1 ) 已知點(diǎn) P ( － 1 ， 3) ，則過(guò) P 點(diǎn)與原點(diǎn)距離最大的直線 l 的方程是 ( ) A ． x ＋ 3 y － 8 ＝ 0 B ． x － 3 y ＋ 10 ＝ 0 C ． 3 x ＋ y ＝ 0 D ． 3 x ＋ y ＋ 10 ＝ 0 ( 2 ) 經(jīng)過(guò)兩直線 2 x － 3 y － 3 ＝ 0 和 x ＋ y ＋ 2 ＝ 0 的交點(diǎn)且與直線 3 x ＋ y － 1 ＝ 0 平行的直線方程是 ( ) A ． 15 x ＋ 5 y ＋ 16 ＝ 0 B ． 5 x ＋ 15 y ＋ 16 ＝ 0 C ． 15 x ＋ 5 y ＋ 6 ＝ 0 D ． 5 x ＋ 15 y ＋ 6 ＝ 0 [ 答案 ] ( 1 ) B ( 2 ) A 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 41講 兩直線的位置關(guān)系 [ 解析 ] ( 1 ) 過(guò) P 點(diǎn)與原點(diǎn)距離最大的直線 l 為垂直于直線OP 的直線，所以直線 l 的斜率為13， 所以直線 l 的方程為 y － 3 ＝13( x ＋ 1) ， 即 x － 3 y ＋ 10 ＝ 0. 故選 B. ( 2 ) 方法一：由方程組?????2 x － 3 y － 3 ＝ 0 ，x ＋ y ＋ 2 ＝ 0得?????x ＝－35，y ＝－75.設(shè)所求直線為 l ， ∵ 直線 l 和直線 3 x ＋ y － 1 ＝ 0 平行， ∴ 直線 l 的斜率 k ＝－ 3. ∴ 根據(jù)直線點(diǎn)斜式有 y －????????－75＝－ 3????????x －????????－35， 即所求直線方 程為 15 x ＋ 5 y ＋ 16 ＝ 0. 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 41講 兩直線的位置關(guān)系 方法二：設(shè)所求直線為 2 x － 3 y － 3 ＋ λ ( x ＋ y ＋ 2) ＝ 0 ， 即 (2 ＋ λ ) x＋ ( λ － 3) y ＋ 2 λ － 3 ＝ 0 ， 因?yàn)榇酥本€與直線 3 x ＋ y － 1 ＝ 0 平行，故有2 ＋ λ3 － λ＝－ 3 ， 解得 λ ＝112， 故所求直線方程為 15 x ＋ 5 y ＋ 16 ＝ 0. ? 探究點(diǎn)三 直線過(guò)定點(diǎn)的問題 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 41講 兩直線的位置關(guān)系 例 3 ( 1 ) 不論 k 取何值，直線 l ： ( k ＋ 1 ) x ＋ y ＋ 2 － k＝ 0 恒過(guò)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)是 ( ) A ． ( － 1 ， 3 ) B ． ( 1 ，－ 3 ) C ． ( 3 ，－ 1 ) D ． ( － 3 ， 1 ) ( 2 ) 若 k ，－ 1 ， b 成等差數(shù)列，則直線 y ＝ kx ＋ b 必過(guò)定點(diǎn) ( ) A ． ( 1 ，－ 2 ) B ． ( 1 ， 2 ) C ． ( － 1 ， 2 ) D ． ( － 1 ，－ 2 ) 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 41講 兩直線的位置關(guān)系 [ 思考流程 ] ( 1 ) 分析：由直線系方程的意義或特殊值法；推理：求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再證明直線恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)，也可以利用直線系方程求解；結(jié)論：解方程組得到交點(diǎn)坐標(biāo)． ( 2 ) 分析：直線方程為點(diǎn)斜式；推理：根據(jù)條件，得到字母 k ， b 關(guān)系式，代入直線方程，消掉一個(gè)字母，把直線方程化為點(diǎn)斜式；結(jié)論：求出定點(diǎn)坐標(biāo)． [ 答案 ] ( 1 ) B ( 2 ) A 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 41講 兩直線的位置關(guān)系 [ 解析 ] ( 1 ) 方法一：取 k ＝ 0 ， 得 x ＋ y ＋ 2 ＝ 0 ， ① 取 k ＝ 1 ， 得 2 x ＋ y ＋ 1 ＝ 0 ， ② 解 ①② 構(gòu)成的方程組，得 x ＝ 1 ， y ＝ － 3 ， 將該點(diǎn)坐標(biāo)代入直線 l 方程，則方程恒成立，說(shuō)明不論 k 取何值，直線 l 都經(jīng)過(guò)點(diǎn) (1 ，－ 3) ． 故選 B. 方法二：將直線方程化為 ( x － 1) k ＋ x ＋ y ＋ 2 ＝ 0 ， 因?yàn)?k 取任意實(shí)數(shù)，即關(guān)于 k 的方程有無(wú)數(shù)組解，所以 x － 1 ＝ 0 且 x ＋y ＋ 2 ＝ 0 ， 解得 x ＝ 1 ， y ＝－ 3. 故選 B. ( 2 ) 由已知得 k ＋ b ＝－ 2 ， 所以直線方程變?yōu)?y ＝ kx － k － 2 ，即 y ＝ k ( x － 1) － 2 ， 此為直線的點(diǎn)斜式方程，所以直線過(guò)定點(diǎn)( 1 ，－ 2) ． 故選 A. 歸納總結(jié) 直線的點(diǎn)斜式方程 y－ y0＝ k(x－ x0)表明不論 k取何值，該方程表示的直線恒過(guò)定點(diǎn) (x0， y0)． 一般情況是形如 A1x＋ B1y＋ C1＋ λ(A2x＋ B2y＋ C2)＝ 0的直線，若對(duì)任意的 λ值恒成立，則該直線恒過(guò)直線 l1： A1x＋ B1y＋C1＝ 0與 l2： A2x＋ B2y＋ C2＝ 0的交點(diǎn)．該直線系方程中，當(dāng) λ＝ 0時(shí)，表示直線 l1， 但是，不論 λ取何值，都不能表示直線 l2. 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 41講 兩直線的位置關(guān)系 ? 探究點(diǎn)四 對(duì)稱問題 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 41講 兩直線的位置關(guān)系 例 4 ( 1 ) 點(diǎn) P ( 4 ， 0 ) 關(guān)于直線 5 x ＋ 4 y ＋ 21 ＝ 0 的對(duì)稱點(diǎn)是 ( ) A ． ( － 6 ， 8 ) B ． ( － 8 ，－ 6 ) C ． ( 6 ， 8 ) D ． ( － 6 ，－ 8 ) ( 2 ) 直線 l ： 2 x － 3 y ＋ 1 ＝ 0 關(guān)于點(diǎn) A ( － 1 ，－ 2 ) 對(duì)稱的直線 l ′的方程是 ( ) A ． 3 x － 2 y ＋ 9 ＝ 0 B ． 2 x － 3 y ＋ 9 ＝ 0 C ． 2 x － 3 y － 9 ＝ 0 D ． 3 x － 2 y － 9 ＝ 0 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 41講 兩直線的位置關(guān)系 [ 思考流程 ] ( 1 ) 分析：設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為 ( x ， y ) ，找出等量關(guān)系；推理：由互相垂直直線的斜率關(guān)系以及中點(diǎn)公式得到 x ， y 的兩個(gè)方程；結(jié)論：解方程組． ( 2 ) 分析：根據(jù)求軌跡思想或根據(jù)線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱后還是直線，只要確定直線上兩個(gè)點(diǎn)即可；推理：相關(guān)點(diǎn)法求軌跡 ；結(jié)論：建立起 A 點(diǎn)和對(duì)稱點(diǎn)之間的關(guān)系，代入已知直線的方程． [ 答案 ] ( 1 ) D ( 2 ) C 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 41講 兩直線的位置關(guān)系 [ 解析 ] ( 1 ) 設(shè)點(diǎn) P (4 ， 0) 關(guān)于直線 5 x ＋ 4 y ＋ 21 ＝ 0 的對(duì)稱點(diǎn)為 P1( x1， y1) ， 由軸對(duì)稱概念知 PP1的中點(diǎn)M????????x1＋ 42，y1＋ 02在對(duì)稱軸 5 x ＋ 4 y ＋ 21 ＝ 0 上，且 PP1與對(duì)稱軸垂直，則有 ??????? y 1x1－ 4＝45，5 1 ＋ 2 179。浙江卷 ] 設(shè) a ∈ R ，則 “ a ＝ 1 ” 是“ 直線 l1： ax ＋ 2 y － 1 ＝ 0 與直線 l2： x ＋ 2 y ＋ 4 ＝ 0 平行 ”的 ( ) A ． 充分不必要條件 B ． 必要不充分條件 C ． 充分必要條件 D ． 既不充分也不必要條件 ( 2 ) 已知兩直線 l1： mx ＋ 8 y ＋ n ＝ 0 和 l2： 2 x ＋ my － 1＝ 0 ，若 l1⊥ l2且 l1在 y 軸上的截距為－ 1 ，則 m ， n 的值分別為 ( ) A ． 0 ， 8 B ． 4 ， 8 C ． － 4 ，－ 8 D ． 0 ，－ 8 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 41講 兩直線的位置關(guān)系 [ 思考流程 ] ( 1 ) 分析：欲判斷充要條件需確定已知直線平行時(shí)的 a 值；推理：求出已知直線平行的 a 值；結(jié)論：根據(jù)充分性、必要性判斷方法進(jìn)行判斷． ( 2 ) 分析：由兩 直線垂直的充要條件得到 m ， n 的一個(gè)關(guān)系；推理：得到 m ， n 的兩個(gè)方程；結(jié)論：解方程組． [ 答案 ] ( 1 ) C ( 2 ) A 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 41講 兩直線的位置關(guān)系 [ 解析 ] ( 1 ) 若 a ＝ 1 ， 則直線 l1： ax ＋ 2 y － 1 ＝ 0 與 l2：x ＋ 2 y ＋ 4 ＝ 0 平行；若直線 l1： ax ＋ 2 y － 1 ＝ 0 與 l2： x ＋ 2 y＋ 4 ＝ 0 平行，則 2 a － 2 ＝ 0 ， 即 a ＝ 1. ∴“ a ＝ 1 ” 是 “ l1： ax ＋ 2 y － 1 ＝ 0 與 l2： x ＋ 2 y ＋ 4 ＝ 0平行 ” 的充要條件． ( 2 ) 當(dāng) m ＝ 0 時(shí) ， l1的斜率為 0 ， l2不 存在斜率，兩直線垂直，且當(dāng) n ＝ 8 時(shí) ， l1在 y 軸上的截距為 － 1. 當(dāng) m ≠ 0 時(shí)，有 －m8178。 ( 3 ) ①√ ②√ ③√ ④√ ( 4 ) √ 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 41講 兩直線的位置關(guān)系 [ 解析 ] ( 1 ) 兩題都錯(cuò)在沒有注意斜率不存在的情況． ( 2 ) ① 兩直線斜率相等，而在 y 軸上的截距不等，所以兩直線平行； ② 正確的是 Bx － Ay ＋ C ′＝ 0 . ( 3 ) 依題意，兩直線的斜率都存在，根據(jù)兩直線關(guān)系的條件和結(jié)論可以判斷這四個(gè)命題都正確． ( 4 ) l1和 l2相交應(yīng)滿足的條件是 a ) ， 根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性知 k ≤ kPA＝－ 2 或 k ≥ kPB＝－12，即－1m≤ － 2 或－1m≥ －12，解得 0 m ≤12或 m ≥ 2 或 m 0 . 綜上得 m ∈????????－ ∞ ，12∪ [2 ，＋ ∞ ) ． 返回目錄 多元提能力 第 40講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 自我檢評(píng) ( 1 ) 直線 l 經(jīng)過(guò) A (2 ， 1) ， B (1 ， m2)( m ∈ R )兩點(diǎn)，那么直線 l 的傾斜角 α 的取值范圍是 ( ) A ． 0 ≤ α π B ． 0 ≤ α ≤π4或π2 α π C ． 0 ≤ α ≤π4 D.π4≤ α π2或π2 α π 返回目錄 多元提能力 第 40講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 ( 2 ) 直線 x － 2 c o s α y ＋ 3 ＝ 0????????α ∈????????π