【正文】 11 1 12 2 121 1 22 2 21 1 2 2000nnnnn n nn na x a x a xa x a x a xa x a x a x? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ??有非零解 . 系數(shù)行列式 0?D34,? 20,?DDx 11 ??34,21 DDx 22 ?20.21?今有牛五羊二，直金十兩，牛二羊五，直金八兩，問牛羊各直幾金？ 12125 2 10,2 5 8.xxxx???? ???5225D ? 25 4?? 2 1 0 ,??解：牛羊分別直 12,xx金，記 例 1 582101 ?D821052 ?D例 2 用克萊姆法則解方程組 解 016111132???D??????????????46613221321321xxxxxxxx12 rr ?016041132???231641)1(131????????,23??,46??0141161311????D0461611122??D,69??,1232311 ?????? DDx ,2234622 ????? DDx,3236933 ????? DDx4166111323????D例 3 問 取何值時，齊次方程組 ? ?? ?? ??????????????????,01,032,0421321321321xxxxxxxxx???有非零解？ ?解 ????????111132421D??????????1011124311 3 ( 1 ) ( 1 ) 42 1 2 ( 1 ) 11 0 0? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ?23 2 31 2 1? ? ???? ? ? ????齊次方程組有非零解，則 0?D所以 或 時齊次方程組有非零解 . 20 ?? ?? , 3?1 ( 1 )( 3 )1 2 1??????????210( 3 )12? ? ? ??? ??2( 3 ) ( 2 )? ? ?? ? ?( 2 ) ( 3 )? ? ?? ? ? ? 例 4 當 為何值時，齊次線性方程組 有非零解？ ?分析： 系數(shù)行列式 D=0 ??????????????02030321321321xxxxxxxxx?解 011231111????D031261 ??????? ??所以 解得 23??用克拉默法則解方程組的兩個條件 (1)方程個數(shù)等于未知量個數(shù) 。212221121122211 baabxaaaa ??? ）（，得消去類似地 1x，.211211221122211 abbaxaaaa ??? ）（,211211221122211 abbaxaaaa ??? ）（,212221121122211 baabxaaaa ??? ）（原方程組即 1 1 1 21 1 2 2 1 2 2 12 1 2 2aaD a a a aaa???記 1 1 21 1 2 2 2 1 22 2 2baD b a b aba? ? ?1 1 12 1 1 2 2 1 12 1 2abD a b a bab? ? ?則上述方程組可寫為 ,11 DDx ?.22 DDx ?D稱為原方程組的系數(shù)行列式 . 時，當 021122211 ?? aaaa方程組的解為 DDx 11 ?DDx 22 ?22211211222121aaaaabab?22211211221111aaaababa?時，即 0?D二、克萊姆法則 如果線性方程組 )1(22112222212111212111???????????????????nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa???????????????的系數(shù)行列式不等于零，即 nnnnnnaaaaaaaaaD??????????212222111211?0?., 332211DDxDDxDDxDDx nn ???? ?其中 是把系數(shù)行列式 中第 列的元素用方程 組 右端的常數(shù)項 代替后所得到的 階行列式，即 jD D jnnnj,nnj,nnnj,j,jaabaaaabaaD???????????????11111111111?????那么線性方程組 有解，并且解是唯一的，解 可以表為 ??1證明 ? ?? ?? ????????????????????njnnjnnnnnjjnnjjnnAbAxaxaxaAbAxaxaxaAbAxaxaxa???????????????221122222221211111212111? ? 得個方程的依次乘方程組列元素的代數(shù)余子式中第用,1, 21nAAAjD njjj ?再把 個方程依次相加，得 n,111111???????????????????????????????nkkjknnkkjknjnkkjkjnkkjkAbxAaxAaxAa ??由代數(shù)余子式的性質(zhì)可知 , ? ? .,2,1 njDDx jj ???., 332211 DDxDDxDDxDDx nn ???? ?,Dx j的系數(shù)等于上式中? ? 。,0,1 jijiDAankjkik 當當0532004140013202527102135?????D例 5 計算行列式 解 0532004140013202527102135?????D66027013210 ???? ? 66 27210 ?????? ? .1080124220 ?????53241413252 ??????? ?53204140132021352152???????(3 1)r ?(2 1( 2))r ?? 例 6 設 求第一行各元素的代數(shù)余子式之和 解： 1 2 31 2 0 01 0 3 01 0 0nnDn?1 1 1 2 1 nA A A? ? ?1 1 1 2 1 1 1 1 2 11 1 1 11 2 0 01 1 1 1 0 3 01 0 0nnA A A A A An? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?211 1 1 111 2( ) 2 0 021[ 1 ( ) ] 11 3 ( ) 0 3 0311 ( ) 0 0ni iciinnn???????????211 1 1 10 2 0 00 0 3 00 0 0ni in????22111 2 3 1 !nniinnii??? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? 例 7 范得蒙行列式 1 2 32 2 2 21 2 311 1 1 11 2 31 1 1 1()nn n i jj i nn n n nnx x x xV x x x x x xx x x x? ? ?? ? ? ?? ? ??2 1 3 1 11( ) ( ) ( ) ( )i j nj i nx x x x x x x x? ? ?? ? ? ? ? ??其中3 2 2( ) ( )nx x x x? ? ?1 2 2( ) ( )n n n nx x x x? ? ?? ? ?1()nnxx ?? 例如 3 1 2 32221 2 3111V= x x xxxx2 2 11211V= xxxx??2 1 3 1 3 2( ) ( ) ( )x x x x x x? ? ? ?例 計算 解： 2221D= 11aabbccT2 2 21 1 1D =D = abcabc是 3階范得蒙行列式 ( ) ( ) ( )D b a c a c b? ? ? ?故第四節(jié) 克萊姆法則 課前復習 余子式與代數(shù)余子式 記作 . 劃去后，留下來的 階行列式叫做元素 的 余子式 ， 在 階行列式中，把元素 所在的第 行和第 列 n i j1n? ijaijM? ?1 ijij ijAM ??? ，叫做元素 的 代數(shù)余子式 ． ija記 關于代數(shù)余子式的重要性質(zhì) 1, ,0 , 。011 ?a（ 2） 11a的下方化為 0時，其它元素出現(xiàn)分數(shù)，則可通過性質(zhì) 11a“不漂亮”，即 變化 a11，以盡量避免出現(xiàn)分數(shù) . a22 、 a33 … … 的下方化為 0的過程依此類推 . 0步驟例 3計算 n 階行列式 abbbbabbbbabbbbaD??????????解 ? ?? ?? ?? ? abbbnababnabbabnabbbbna?????????1111?????????D將第 都加到第一列得 n,3,2 ?? ?abbbabbbabbbbna?????????1111)1( ???? ?babababbbbna????????1)1(00? ? .)()1( 1????? nbabna例 4 nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD????????????1111111111110?設,)d e t (11111kkkkijaaaaaD?????? ,)d e t (11112nnnnijbbbbbD??????.21 DDD ?證明 證明 。 aa ? 的符號為 nnppp aaa ?21 21 ? ?.1 )( 21 nppp ???思考題 1. 若 n階行列式 D有一行 (列 )元素全為零 ,則 D=? 例 試判斷 是否都是六階行列式中的項。 經(jīng)對換后 的