【正文】 江蘇 ) 某棉紡廠為了解一批棉花的質(zhì)量，從 中隨機(jī)抽測(cè)了 100 根棉花纖維的長(zhǎng)度 ( 棉花纖維的長(zhǎng)度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo) ) ，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[ 5,40] 中，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測(cè)的 100 根中，有 ________ 根棉花纖維的長(zhǎng)度小于20 mm. 解析 在頻率分布直方圖中小于 20 mm 的頻率是 0 ． 01 5 ＋ 5 ＋ 5 ＝ ，故小于 20 mm 的棉花纖維的根數(shù)是 100 ＝ 30. 答案 30 7 ． ( 2022 全國(guó) ) 為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了 500 位老年人，結(jié)果如下： 性別 是否需要志愿者 男 女 需要 40 30 不需要 160 270 ( 1) 估計(jì)該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老 年人的比例． ( 2) 能否有 99% 的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？ ( 3) 根據(jù) ( 2) 的結(jié)論，能否提出更好的調(diào)查方法來(lái)估計(jì)該地區(qū)的老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例？說(shuō)明理由． 思維啟迪 (1) 用樣本估計(jì)總體．需要數(shù) 247。 廣東 ) 某電視臺(tái)在一次對(duì)收看文藝節(jié) 目和新聞節(jié)目觀眾的抽樣調(diào)查中，隨機(jī)抽取了 100 名電視觀眾，相關(guān)的數(shù)據(jù)如下表所示： 文藝節(jié)目 新聞節(jié)目 總計(jì) 20至 40歲 40 18 58 大于 40歲 15 27 42 總計(jì) 55 45 100 ( 1 ) 由表中數(shù)據(jù)直觀分析，收看新聞節(jié)目的觀眾是否與年齡有關(guān)？ ( 2 ) 用分層抽樣方法在收看新聞節(jié)目的觀眾中隨機(jī)抽取5 名，大于 40 歲的觀眾應(yīng)該抽取幾名？ ( 3 ) 在上述抽取的 5 名觀眾中任取 2 名，求恰有 1 名觀眾的年齡為 20 至 40 歲的概率． 解 ( 1 ) 因?yàn)樵?20 至 40 歲的 58 名觀眾中有 18 名觀眾收看新聞節(jié)目，而大于 40 歲的 42 名觀眾中有 27 名觀眾收看新聞節(jié)目，所以，經(jīng)直觀分析，收看新聞節(jié)目的觀眾與年齡是有關(guān)的． ( 2 ) 從題中所給條件可以看出收看新聞節(jié)目的共 45 人，隨機(jī)抽取 5 人，則抽樣比為545＝19，故大于 40 歲的觀眾應(yīng)抽取 27 19＝ 3( 人 ) ． ( 3 ) 抽取的 5 名觀眾中大于 40 歲的有 3 人，在 20 至 40歲的有 2 人，記大于 40 歲的人為 a1， a2， a3,20 至 40 歲的人為 b1， b2，則從 5 人中抽取 2 人的基本事件有 ( a1，a2) ， ( a1， a3) ， ( a2， a3) ， ( b1， b2) ， ( a1， b1) ， ( a1， b2) ，( a2， b1) ， ( a2， b2) ， ( a3， b1) ， ( a3， b2) 共 10 個(gè)，其中恰有 1 人為 20 至 40 歲的有 6 個(gè)， 故所求概率為610＝35. 考題分析 本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想和方法，考查了分層抽樣和概率的計(jì)算．考查考生綜合應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力．題目難度不大，但考查知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)． 易錯(cuò)提醒 ( 1 ) 不知道從什么角度去說(shuō)明收看新聞節(jié)目的觀眾與年齡有關(guān)． ( 2 ) 分層抽樣按比例抽取，有的考生比例關(guān)系不清． ( 3 ) 計(jì)算概率時(shí)，基本事件計(jì)算不準(zhǔn)確． 主干知識(shí)梳理 1 ．統(tǒng)計(jì) (1) 抽樣方法：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣． (2) 利用樣本頻率分布估計(jì)總體分布 ① 頻率分布表和頻率分布直方圖． ② 總體密度曲線． ③ 莖葉圖． (3) 用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征 ① 眾數(shù)、中位數(shù)． ② 平均數(shù) x ＝x1＋ x2＋ ? ＋ xnn. ③ 方差與標(biāo)準(zhǔn)差 方差 s2＝1n[( x1－ x )2＋ ( x2－ x )2＋ ? ＋ ( xn－ x )2] ． 標(biāo)準(zhǔn)差 s ＝ 1n[ ( x1－ x )2＋ ( x2－ x )2＋ ? ＋ ( xn－ x )2] . 2. 兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系 兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系中，主要是能作出散點(diǎn)圖，了解最小二乘法的思想；能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程 . 體會(huì)回歸分析及獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想 . 3 ．獨(dú)立性檢驗(yàn) (1)2 2 列聯(lián)表 一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類(lèi)變量 X 和 Y ，它們的值 域分別為 { x1， x2} 和 { y1， y2} ，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表為： y1 y2 總計(jì) x1 a b a ＋ b x2 c d c ＋ d 總計(jì) a ＋ c b ＋ d a ＋ b ＋ c ＋ d K2＝n ? ad － bc ?2? a ＋ b ?? c ＋ d ?? a ＋ c ?? b ＋ d ?( 其中 n ＝ a ＋ b ＋ c ＋ d 為樣本容量 ) ． ( 2) 獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟 ① 提出假設(shè)； ② 計(jì)算 K2的值； ③ 查臨界值，作出判斷． 熱點(diǎn)分類(lèi)突破 題型一 頻率分布直方圖或頻率分布表 例 1 某班 50 名學(xué)生在一次百米測(cè)試中， 成績(jī)?nèi)拷橛?13 秒與 19 秒之間，將測(cè) 試結(jié)果按如下方式分成六組：第一組， 成績(jī)大于等于 13 秒且小于 14 秒；第二 組，成績(jī)大于等于 14 秒且小于 15 秒； ?? 第六組，成績(jī)大于等于 18 秒且小于 等于 19 秒．如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．設(shè)成績(jī)小于 17 秒的學(xué)生人數(shù)占全班總?cè)藬?shù)的百分比為 x ，成績(jī)大于等于 15 秒且小于 17 秒的學(xué)生人數(shù)為 y ，則從頻率分布直方圖中可分析出 x 和 y 分別為 ( ) A ． ,35 B ． ,45 C ． ,35 D ． ,45 解析 P ( ξ 17) ＝ 1 － P ( 1 7 ≤ ξ ≤ 19) ＝ 1 － ( 1 ＋ 1) ＝ ， 即 x ＝ ， y ＝ ( ＋ 0. 36) 1 50 ＝ 35 人． 答案 A 探究提高 在統(tǒng)計(jì)中，為了考查一個(gè)總體的情況，通常是從總體中 抽取一個(gè)樣本，用樣本的有關(guān)情況去估計(jì)總體的相應(yīng)情況．這種估計(jì)大體分為兩類(lèi)：一類(lèi)是用樣本頻率分布估計(jì)總體分布；另一類(lèi)是用樣本的某種數(shù)字特征 ( 例如平均數(shù)、方差等 ) 去估計(jì)總體的相應(yīng)數(shù)字特征． 變式訓(xùn)練 1 ( 2022 遼寧 ) AB CD 為長(zhǎng)方形， AB ＝ 2 ， BC＝ 1 ， O 為 AB 的中點(diǎn)，在長(zhǎng)方形 AB CD 內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，取到的點(diǎn)到 O 的距離大于 1 的概率為 ( ) A.π4 B ． 1 －π4 C.π8 D ． 1 －π8 解析 如圖，要使圖中點(diǎn)到 O 的距離 大于 1 ，則該點(diǎn)需取在圖中陰影部分， 故概率為 P ＝2 －π22＝ 1 －π4. B 題型三 互斥事件、對(duì)立事件的概率問(wèn)題 例 3 據(jù)統(tǒng)計(jì)，某食品企業(yè)一個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴的次數(shù)是 0,1,2 的概率分別為 , ，則該企業(yè)在一個(gè)月內(nèi)共被消費(fèi)者 投訴不超過(guò) 1 次的概率為_(kāi)_______ ． 解析 設(shè)事件 A 表示 “ 一個(gè)月內(nèi)被投訴的次數(shù)為0 ” ， B 表示 “ 一個(gè)月內(nèi)被投訴的次數(shù)為 1 ” ，則 “ 該企業(yè)在一個(gè)月內(nèi)共被消費(fèi)者投訴不超過(guò) 1 次 ” 的事件為 A ＋ B . 又事件 A 與 B 為互斥事件，所以 P ( A ＋ B )＝ P ( A ) ＋ P ( B ) ＝ ＋ 0. 5 ＝ . 探究提高 求解互斥事件、對(duì)立事件的概率問(wèn)題時(shí)，一要先利用條件判斷所給的事件是互斥事件，還是對(duì)立事件；二要將所求事件的概率轉(zhuǎn)化為互斥事件、對(duì)立事件的概率；三要準(zhǔn)確利用互斥事件、對(duì)立事件的概率公式去計(jì)算所求事件的概率． 變式訓(xùn)練 3 袋中有質(zhì)地、大小完全相同的 5 個(gè)球，編號(hào)分別為 1,2,3,4,5 ，甲、乙兩人玩一種游戲： 甲先摸出一個(gè)球，記下編號(hào)，放回后乙再摸一個(gè)球，記下編號(hào)，如果兩個(gè)編號(hào)的和為偶數(shù)算甲贏，否則算乙贏． (1) 求甲贏且編號(hào)的和為 6 的事件發(fā)生的概率； (2) 這種游戲規(guī)則公平嗎？試說(shuō)明理由． 解 (1) 設(shè) “ 甲贏且兩編號(hào)之和為 6 ” 為事件 A ，事件 A包含的基本事件為 (1,5) ， (2,4) ， (3,3) ， (4,2) ， (5 ,1) ，共5 個(gè)． 又甲、乙兩人取出的編號(hào)共有 5 5 ＝ 25( 個(gè) ) 等可能的結(jié)果，所以 P ( A ) ＝525＝15. 所以甲贏且編號(hào)的和為 6 的概率為15. ( 2) 這種游戲規(guī)則不公平． 設(shè) “ 甲贏 ” 為事件 B ， “ 乙贏 ” 為 事件 C ，則甲贏即兩編號(hào)之和為偶數(shù)所包含的基本事件數(shù)為 13 個(gè)： ( 1,1) ， ( 1,3) ， ( 1,5) ， ( 2, 2) ， ( 2,4) ， ( 3,1) ， ( 3,3) ， ( 3,5) ，( 4,2) ， ( 4,4) ， ( 5,1 ) ， ( 5, 3) ， ( 5,5) ． 所以甲贏的概率 P ( B ) ＝1325，從而乙贏的概率 P ( C ) ＝ 1－1325＝1225. 由于 P ( B ) ≠ P ( C ) ，所以這種游戲規(guī)則不公平． 規(guī) 律 方 法 總 結(jié) 1 ． 互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系： ( 1) 對(duì)立一定互斥，互斥未必對(duì)立； ( 2) 可將所求事件化為互斥事件 A 、 B 的和，再利 用公式 P ( A ＋ B ) ＝ P ( A ) ＋ P ( B ) 來(lái)