第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)-wenkub.com
2025-07-29 13:06 本頁面
【正文】 第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù) 一、偏導(dǎo)數(shù)的概念 二、偏導(dǎo)數(shù)的求法 三、高階偏導(dǎo)數(shù) 一 、偏導(dǎo)數(shù)的概念 定義 設(shè)函數(shù) z=f(x,y)在點(diǎn) (x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng) y固定在 y0，而 x在 x0處有增量△ x時(shí)，相應(yīng)函數(shù)有增量 ).,(),( 0000 yxfyxxf ???如果極限 x yxfyxxfx ? ????? ),(),(lim 00000存在，則稱此極限值為函數(shù) z=f(x,y)在點(diǎn) (x0,y0)處對(duì) x的偏導(dǎo)數(shù) .記作 ),(),(, 0000),(),( 0000yxzyxfxfxz xxyxyx或????即 .),(),(lim 00000),(00xyxfyxxfxzxyx ?????????類似地，可定義函數(shù) z=f(x,y)在點(diǎn) (x0,y0)處對(duì) y的偏導(dǎo)數(shù)為 .),(),(lim 00000),(00yyxfyyxfyzyyx ?????????又可記為 ).,(),(, 0000),( 00yxzyxfyf yyyx或??如果函數(shù) z=f(x,y)在區(qū)域 D內(nèi)每一點(diǎn) (x,y)都存在對(duì) x的偏導(dǎo)數(shù)，即 Dyxx yxfyxxfx?? ?????),( ,),(),(lim0存在，顯然這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍是 x， y的函數(shù)，稱它為函數(shù)z=f(x,y)對(duì) x的偏導(dǎo)函數(shù) ，記作 ).,(),(, yxzyxfxfxz xx 或????類似地，可以定義函數(shù) z=f(x,y)在區(qū)域 D內(nèi)對(duì)自變量y的偏導(dǎo)函數(shù) 為 ,),(),(lim0 yyxfyyxfy ??????記作 ).,(),(, yxzyxfyfyzyy 或????二元以上多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)可類似地定義 .例如三元函數(shù) u=f(x,y,z)在點(diǎn) (x,y,z)處對(duì) x的偏導(dǎo)函數(shù)定義為 .),(),(lim0 xzyxfzyxxfxux ?????????同樣地，可以定義 偏導(dǎo)數(shù) . zuyu???? , 二元函數(shù) z=f(x,y)的圖形表示空間一張曲面 .當(dāng) y=y0時(shí)，曲面 z=f(x,y)與平面 y=y0的交線方程為 ????? .),(0yyyxfz上式表示 y=y0平面上的一條曲線 z=f(x,y0).根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知： fx(x0,y0)就是這條曲線在點(diǎn) M0(x0,y0,z0)處的切線關(guān)于 x軸的斜率 . ????? ),(0xxyxfz同樣， fy(x0,y0)是這條曲線 z=f(x,y)與平面 x=x0的交線 在點(diǎn) M0(x0,y0,z0)處的切線關(guān)于 y 軸的斜率 . 二 、
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