【正文】 (0)=0, 得 b=1,a=2. 所以有 l0(x)=(2x+1)(x1)2 同理可得 l1(x)=(32x)x2 h0(x)=x(x1)2 h1(x)=x2(x1) 所以 H3(x)=(1+2x)(x1)2 +2(32x)x2+(x1)2x +(x1)x2 =x3+++1 實際問題中還會有其他的插值問題 ,這類問題可用Lagrange插值基函數(shù)的方法解決 .如已知數(shù)據(jù)表 ： x 0 1 y y0 y1 y′ y 0′ 求過 0,1兩點構(gòu)造一個插值多項式 p(x),滿足條件 p(0)= y0 , p′ (0)= y0′ , p(1)= y1 解 : 他有三個條件 ,故 p(x)可設(shè)為二次多項式 p(x)= y0 L0(x)+ y1 L1(x) + y0′ h0(x) 這里 L0(x), L1(x), h0(x)都是二次多項式 ,由插值條件得 對 x=x0=0有 L0(0)=1 L1(0)=0 h0(0)=0 L0′ (0)=0 L1′ (0)=0 h0′ (0)=1 對 x=x1=1有 L0(1)=0 L1(1)=1 h0(1)=0 由條件 L0(0)=1 , L0′ (0)=0 , L0(1)=0 ,可設(shè) L0(x)=(ax+b)(x1) 利用 L0(0)=1 , L0′ (0)=0, 得 b=a=1. 所以 : L0(x)=(x1)(x1)=1x2 同理可得 L1(x)=x2 h0(x)=x(1x) 所以 p(x)= y0(1x2 )+ y1 x2+ y0′ (1x)x 其余項表達(dá)式為 ? ?? ? ? ?? ?3213!xfR x x x???作業(yè) 6 ：已知? ?fx的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值如下 : ? ? ? ? ? ?1 1 , 2 2 , 3 3f f f? ? ? ? ? ? ?1 1 , 2 2ff?? ?? 求次數(shù)小于等于 4 的多項式? ?Px，使得： ? ? ? ? ? ?1 1 , 2 2 , 3 3P P P? ? ? ? ? ? ?1 1 , 2 2PP ?? ?? 并給出余項公式。i(xj)= ?ij i,j=0,1,2……n 從而可設(shè) Li(x)= (aix+bi)[li(x)]2 hi(x)= (cix+di)[li(x)]2 這里 li(x)=(xx0)(xx1)… (xxi1)(xxi+1)… (xxn) ai,bi ,ci,di為待定系數(shù) ,分別由 Li(xi)=1 和 Li′ (xi)=0 及 hi′ (xi)= 1 (i=0,1,2…… ,n)確定 . 三次 Hermite插值函數(shù)的構(gòu)造 (n=1,2n+1=3) 已知數(shù)表： x x0 x1 y y0 y1 y′ y0′ y 1′ 求一個三次 Hermite插值函數(shù) H3(x). 解 :H3(x)=y0L0(x)+y1L1(x)+ y0′ h0(x)+ y1′ h1(x) 對 x=x0,有 L0(x0)=1 L1(x0)=0 h0(x0)=0 h1(x0)=0 L0′ (x0)=0 L1′ (x0)=0 h0′ (x0)=1 h1′ (x0)=0 對 x=x1,有 L0(x1)=0 L1(x1)=1 h0(x1)=0 h1(x1)=0 L0′ (x1)=0 L1′ (x1)=0 h0′ (x1)=0 h1′ (x1)=1 L0(x)= (a0x+b0)(xx1)2 h0(x)= a(xx0)(xx1)2 解之得 L0(x)=[1+2*(xx0)/(x1x0)][(xx1)/(x0x1)]2 h0(x)=(xx0)[(xx1)/(x0x1)]2 同理有 L1(x)=[1+2*(xx1)/(x0x1)][(xx0)/(x1x0)]2 h1(x)=(xx1)[(xx0)/(x1x0)]2 求過 0,1兩點構(gòu)造一個三次插值多項式 ,滿足條件 f(0)=1, f 39。作輔助函數(shù) ? ? ? ? ? ? ? ?22 1 1nnt f t H t a t????? ? ? 則01,nx x x是? ?t?的二階零點 , x 是? ?t?的一階零點。 i , i=0,1,2…… n 令 F(x)=p(x)q(x),有F(xi)=0 ,F39。i i=0,1,2……n 且次數(shù)不大于 2n+1的多項式是唯一的。(xi)= y 39。 0 y 39。 常用的數(shù)值微分公式是 n=1,2,3的插值型微分公式 ,如 : 當(dāng) n=1時 ,有 ( 2 )1 1 2()( ) ( ) ( ) ( )2!i i i iR x f x p x xf ??? ???? ? ?10110( ) ( )( ) ( ) 0 , 1iif x f xf x p x ixx???? ? ??0 1 20 2 020201 2 1200 1 22 2 2203 ( ) 4 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 ( ) 3 ( )( ) ( )f x f x f xf x p xxxf x f xf x p xxxf x f x f xf x p xxx??? ? ? ???????????? ???當(dāng) n=2時 ,有 ?一 .問題描述 ?二 .定義 ?三 .定理 ?四 .構(gòu)造函數(shù) ?五 .例題 ?六 .一般插值 假設(shè)函數(shù) y=f(x)是在 [a,b]上有一定光滑性的函數(shù) ,在 xo…x n處是 n+1個異點 ,f(x)在這些點上取值 yo…...y 個確定的函數(shù) p(x)在上面 n+1個點上滿足p(xi)=yi i=0,1,…,n. 這是最簡單的插值問題 ,如果除了知道 f(x)在插值基點上的取值外 ,還知道 f(x)在插值基點上的其他描述 (如知道 f(x)在插值基點上的導(dǎo)數(shù)值 )。若插值點位于插值區(qū)間中部，則可以任取一種插值公式。 性質(zhì) 2 差分與差商有如下關(guān)系 ? ?1,!kii i i kkyf x x xkh???? 證明： 當(dāng) 1k ? 時 ? ?? ? ? ?1 111,ii i i iiiiif x f x y y yf x xx x h h? ???? ??? ? ?? 結(jié)論成立。 一般地 , 若設(shè)? ?fx在? ?,? ? ? ?上充分光滑 , 則有 ? ? ? ? ? ?f x f x h f x? ? ? ? 類似的，我們還可以定義下列兩種差分算子。 1i i iy y y?? ? ?稱為? ?fx在點ix處的一階向前差分。 于是上式變?yōu)? ? ? ? ?? ? ? ?0 1 1, , ,nnnf x N xf x x x x x???? 從而插值余項為： ? ? ? ? ? ?? ? ? ?0 1 1, , ,nnnnR x f x N xf x x x x x????? x y f[ Xi,Xj] f[ Xi,Xj,Xk] …… f[X0,X1,…, Xn]X0 Y0X1 Y1 f[X0,X1]X2 Y2 f[X1,X2] f[X0,X1,X2]X3 Y3 f[X2,X3] f[X1,X2,X3] ………… …… …… …… ……Xn Yn f[Xn1,Xn] f[Xn2,Xn1,Xn] …… f[X0,X1,…, Xn]插 商 表 例 1:給定數(shù)據(jù)表 f(x)=lnx數(shù)據(jù)表 xi f(xi) Newton差商插值多項式 ， 近似計算f()的值 Newton差商插值多項式 N4(x) 解 :差商表 []2 .2 0 0 .7 8 8 4 62 .4 0 0 .8 7 5 4 7 0 .4 3 5 0 52 .6 0 0 .9 5 5 5 1 0 .4 0 0 1 0 0 .0 8 7 3 7 52 .8 0 1 .0 2 9 6 2 0 .3 7 0 5 5 0 .0 7 3 8 7 5 0 .0 2 2 5 03 .0 0 1 .0 9 8 6 1 0 .3 4 4 9 5 0 .0 6 4 0 0 0 .0 1 6 4 6 0 .0 0 7 5 5iix f x???1 階 差 商 2 階 差 商 3 階 差 商 4 階 差 商0 7 3 8 7 7 0 5 2 9 6 4 0 0 1 5 5 5 8 7 5 4 ][?二階差商一階差商iixfxN2(x)=+()(x)() f() ? N2() N4(x)= +(）