【微積分】二階常系數(shù)齊次線性微分方程-wenkub.com
2025-04-16 04:31 本頁面
【正文】 第七節(jié) (1)二階常系數(shù)齊次線性微分方程 xry e?和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子 , 代入①得 0e)( 2 ??? xr qprr02 ??? qrpr稱②為微分方程①的 特征方程 , 1. 當(dāng) 042 ?? qp 時(shí) , ② 有兩個(gè)相異實(shí)根 方程有兩個(gè)線性無關(guān)的特解 : 因此方程的通解為 xrxr CCy 21 ee 21 ??( r 為待定常數(shù) ), ① 所以令①的解為 ② 則微分 其根稱為 特征根 . 2. 當(dāng) 042 ?? qp 時(shí) , 特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根 則微分方程有一個(gè)特解 設(shè)另一特解 ( u (x) 待定 ) 代入方程得 : [e 1 xr )( 1 urup ??? ? 0?? uq )2( 211 ururu ?????是特征方程的重根 0???u取 u = x , 則得 ,e 12 xrxy ?因此原方程的通解為 xrxCCy 1e)( 21 ??0)()2( 1211 ????????? uqrprupru3. 當(dāng) 042 ?? qp 時(shí) , 特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根 這時(shí)原方程有兩個(gè)復(fù)數(shù)解 : xy )i(1 e ?? ?? )si ni( c o se xxx ??? ??xy )i(2 e ?? ?? )si ni( c o se xxx ??? ?? 利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無關(guān)特解 : )( 21211 yyy ??)( 2
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