中心極限定理的內(nèi)涵和應(yīng)用doc-wenkub.com
2025-07-14 15:27 本頁面
【正文】 小結(jié)：通過本文介紹的中心極限定理在現(xiàn)實(shí)生活中的各方面都有著很好的運(yùn)用。（2）用棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理估計(jì)，對(duì)于二項(xiàng)分布可用正態(tài)分布來近似，于是，解不等式查表得，解得。因?yàn)轭}中事件A每次的出現(xiàn)是獨(dú)立的。(2) 由棣莫弗拉普拉斯中心極限定理，對(duì)于二項(xiàng)分布，可用正態(tài)分布來近似，于是所求概率為。例8. 現(xiàn)有一大批種子，其中良種占，今在其中任選6000粒，試分別用切比雪夫不等式估計(jì)和用中心極限定理計(jì)算在這些種子中良種所占的比例與之差小于1%的概率是多少？[6]分析：我們不妨先設(shè)6000粒種子中良種的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X，這些種子中良種所占的比例與之差小于1%的概率為P。切比雪夫不等式估計(jì)出來的結(jié)果是比較好，但是這還只是估計(jì)出結(jié)果屬于的區(qū)間，到底結(jié)果是多少還是不知道。為了加深對(duì)它們的理解，請(qǐng)先看以下這道例題：例7．假設(shè)電站電網(wǎng)有10000盞電燈，而假定開關(guān)之間彼此獨(dú)立，估計(jì)夜晚開著的燈數(shù)在6800與7200之間的概率。切比雪夫不等式：設(shè)隨機(jī)變量X具有有限期望和方差，則對(duì)與任意正數(shù)，有如下的不等式成立。因?yàn)轭}中人和人之間是獨(dú)立的，因此比較容易看出，此題中的X是服從二項(xiàng)分布的，我們也可用二項(xiàng)分布的方法把p具體地求出來，但要想求出絕非易事，更何況還要算上幾千個(gè)呢？為此我們不妨用中心極限定理來求解它。正所謂“人有旦夕禍福，月有陰晴圓缺”，我們生活在這世上并總不是那么一帆風(fēng)順的，因此很多人都想去買保險(xiǎn)，為的只是以防萬一。當(dāng)二項(xiàng)分布不好求時(shí)，我們還學(xué)過用泊松分布來近似，因?yàn)椴此煞植际怯斜砜刹榈?，那么這道題可不可以用泊松分布來近似呢?應(yīng)該說是不可以的，因?yàn)槎?xiàng)分布去近似泊松分布的時(shí)候，要求二項(xiàng)分布中的n要比較大，p要比較小，而且np也要不大，而本題中，np=50，顯然是太大了，所以用泊松分布近似是行不通的。假設(shè)后勤集團(tuán)經(jīng)過調(diào)查，發(fā)現(xiàn)每個(gè)學(xué)生在傍晚一般有1％的時(shí)間要占用一個(gè)水龍頭，現(xiàn)有水龍頭45個(gè)，現(xiàn)在總務(wù)處遇到的問題是：(1)未新裝水龍頭前，擁擠的概率是多少？(2)至少要裝多少個(gè)水龍頭，才能以95％以上的概率保證不擁擠？[4]分析：首先，我們先設(shè)5000個(gè)學(xué)生中占有水龍頭的人數(shù)為隨機(jī)變量X，未新裝水龍頭前，擁擠的概率為p。在二項(xiàng)分布中，當(dāng)n較大，而p又較小的情況下時(shí)，我們有以下的泊松定理。應(yīng)用三：已知服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量在某范圍內(nèi)取值的概率，估計(jì)該范圍（或該范圍的最大值）。所以，在年計(jì)劃中應(yīng)為此器件作118件預(yù)算才可能有95%的把握一年夠用。例4．某種器件使用壽命(單位:小時(shí))服從指數(shù)分布,其平均使用壽命為20小時(shí),具體使用時(shí)是一器件損壞后立即更換另一個(gè)新器件,如此繼續(xù),已知每個(gè)器件進(jìn)價(jià)為a元。也就是說，無論各個(gè)隨機(jī)變量服從什么分布，只要滿足定理?xiàng)l件，那么它們的和，當(dāng)很大時(shí)，就近似地服從正態(tài)分布，這就是為什么正態(tài)隨機(jī)變量在概率論中占有重要地位的一個(gè)基本原因。我們之所以講李雅普諾夫中心極限定理便于運(yùn)用，是因?yàn)槔钛牌罩Z夫條件比較驗(yàn)證，而且它只對(duì)矩提出要求，為我們的求解帶來了極大的方便之處。定理3(林德伯格中心極限定理) 設(shè)獨(dú)立的隨機(jī)變量序列設(shè)滿足（2）林德伯格條件，則對(duì)任意的x，有.假如獨(dú)立隨機(jī)變量序列具有同分布和方差有限的條件，則必定滿足以上（2）林德伯格條件，也就是說定理l是定理3的特例。如果要求中各項(xiàng)“均勻地小”，即對(duì)任意的要求事件發(fā)生的可能性小，我們要求。譬如若允許從第二項(xiàng)開始都等于0，則極限分布顯然由的分布完全確定，這時(shí)就很難得到什么有意思的結(jié)果。在實(shí)際問題中說諸具有獨(dú)立性是常見的，但是很難說諸是“同分布”的隨機(jī)變量。大約在1733年，棣莫弗對(duì)p=證明了上述定理，后來拉普拉斯把它推廣至p是任意一個(gè)小于l的正數(shù)上去。[1]解：設(shè)為第i天出售的汽車的數(shù)量，則為一年的總銷量，由，知3652=730利用中心極限定理得P(700)=1P(≤700)≈1—=1(一
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