20xx年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷答案與解析-wenkub.com
2025-06-22 14:35 本頁(yè)面
【正文】 ．（1）求BC的長(zhǎng)；（2）求sin2C的值．考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用；二倍角的正弦．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：解三角形．分析：（1）直接利用余弦定理求解即可．（2）利用正弦定理求出C的正弦函數(shù)值，然后利用二倍角公式求解即可．解答：解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB?ACcosA=4+8﹣223=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，則sinC===，∵AB＜BC，∴C為銳角，則cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2=．點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦定理的應(yīng)用，正弦定理的應(yīng)用，二倍角的三角函數(shù)，注意角的范圍的解題的關(guān)鍵． 16．（14分）（2015?江蘇）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，設(shè)AB1的中點(diǎn)為D，B1C∩BC1=E．求證：（1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．考點(diǎn)：直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證明題；空間位置關(guān)系與距離．分析：（1）根據(jù)中位線定理得DE∥AC，即證DE∥平面AA1C1C；（2）先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即證AC⊥CC1；再證明AC⊥平面BCC1B1，即證BC1⊥AC；最后證明BC1⊥平面B1AC，即可證出BC1⊥AB1．解答：證明：（1）根據(jù)題意，得；E為B1C的中點(diǎn)，D為AB1的中點(diǎn)，所以DE∥AC；又因?yàn)镈E?平面AA1C1C，AC?平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C；（2）因?yàn)槔庵鵄BC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，因?yàn)锳C?平面ABC，所以AC⊥CC1；又因?yàn)锳C⊥BC，CC1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1；又因?yàn)锽C1?平面平面BCC1B1，所以BC1⊥AC；因?yàn)锽C=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥平面B1AC；又因?yàn)锳B1?平面B1AC，所以BC1⊥AB1．點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與直線，直線與平面以及平面與平面的位置關(guān)系，也考查了空間想象能力和推理論證能力的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目． 17．（14分）（2015?江蘇）某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計(jì)劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為l1，l2，山區(qū)邊界曲線為C，計(jì)劃修建的公路為l，如圖所示，M，N為C的兩個(gè)端點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)M到l1，l2的距離分別為5千米和40千米，點(diǎn)N到l1，以l2，l1在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，假設(shè)曲線C符合函數(shù)y=（其中a，b為常數(shù)）模型．（1）求a，b的值；（2）設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為t．①請(qǐng)寫出公路l長(zhǎng)度的函數(shù)解析式f（t），并寫出其定義域；②當(dāng)t為何值時(shí)，公路l的長(zhǎng)度最短？求出最短長(zhǎng)度．考點(diǎn)：函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：綜合題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（1）由題意知，點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為（5，40），（20，），將其分別代入y=，建立方程組，即可求a，b的值；（2）①求出切線l的方程，可得A，B的坐標(biāo)，即可寫出公路l長(zhǎng)度的函數(shù)解析式f（t），并寫出其定義域；②設(shè)g（t）=，利用導(dǎo)數(shù)，確定單調(diào)性，即可求出當(dāng)t為何值時(shí)，公路l的長(zhǎng)度最短，并求出最短長(zhǎng)度．解答：解：（1）由題意知，點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為（5，40），（20，），將其分別代入y=，得，解得，（2）①由（1）y=（5≤x≤20），P（t，），∴y′=﹣，∴切線l的方程為y﹣=﹣（x﹣t）設(shè)在點(diǎn)P處的切線l交x，y軸分別于A，B點(diǎn)，則A（，0），B（0，），∴f（t）==，t∈[5，20]；②設(shè)g（t）=，則g′（t）=2t﹣=0，解得t=10，t∈（5，10）時(shí)，g′（t）＜0，g（t）是減函數(shù)；t∈（10，20）時(shí)，g′（t）＞0，g（t）是增函數(shù)，從而t=10時(shí)，函數(shù)g（t）有極小值也是最小值，∴g（t）min=300，∴f（t）min=15，答：t=10時(shí)，公路l的長(zhǎng)度最短，最短長(zhǎng)度為15千米．點(diǎn)評(píng)：本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，確定函數(shù)關(guān)系，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵． 18．（16分）（2015?江蘇）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率為，且右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線l的距離為3．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)F的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點(diǎn)P，C，若PC=2AB，求直線AB的方程．考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：（1）運(yùn)用離心率公式和準(zhǔn)線方程，可得a，c的方程，解得a，c，再由a，b，c的關(guān)系，可得b，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）討論直線AB的斜率不存在和存在，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，以及兩直線垂直的條件和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可得到所求直線的方程．解答：解：（1）由題意可得，e==，且c+=3，解得c=1，a=，則b=1，即有橢圓方程為+y2=1；（2）當(dāng)AB⊥x軸，AB=，CP=3，不合題意；當(dāng)AB與x軸不垂直，設(shè)直線AB：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），將AB方程代入橢圓方程可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0，則x1+x2=，x1x2=，則C（，），且|AB|=?=，若k=0，則AB的垂直平分線為y軸，與左準(zhǔn)線平行，不合題意；則k≠0，故PC：y+=﹣（x﹣），P（﹣2，），從而|PC|=，由|PC|=2|AB|，可得=，解得k=177。y=0，c的最大值為直線x﹣y+1=0與直線x﹣y=0的距離．解答：解：由題意，雙曲線x2﹣y2=1的漸近線方程為x177。y=0，因?yàn)辄c(diǎn)P到直線x﹣y+1=0的距離大于
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