【正文】 0)(21212121FFyzyzFFFFxzxzFF???????????????????????????????.)()(2)(,0)())](1()1([)1()1(3221221221221122222211211FFFFFFFFyxzyxzFxzyzFFyzFF?????????????????????????????????????????????????????????.)()]1()1([)]1()1([2222211212112同上或： ?????????????????????????????????FyzFFFFyzFFyxz . 22),(,s i ns i nco sco sco sxzyxzzzyx???????????并求問在何處存在隱函數(shù)設?????4).,(s i ns i n),(),(02s i n,2s i nc o ss i nc o sc o ss i ns i ns i nc o sc o ss i n),(),(s i nc o sc o sc o s :21yxzzyx，yxyxyx???????????????????????????????????????????????隱函數(shù)得代入，時存在反函數(shù)當知，由解.c o ss i n,c o s 22222xxxzxxz??????????????????????? ??????,c o ss i n,s i nc o sc o sc o ss i ns i n0 s i nc o sc o ss i n1 ???????????? ?????? ?????????????????xxxx xx ，,c o ss i nc o sc o ss i ns i n s i nc o sc o ss i ns i n32222222?????????????? ?????????? xxx.s i nc o sc o ss i n c o ss i nc o sc o ss i ns i nc o ss i nc o ss i n322232222222????????????????????????? ????????????????xz).1,1,1(),(( * ))2()。0()2()1(3 Vzyxzxzxzyxyx???????????? 得再由得由舍去得由.43 24 3333 22.VVVVxyzV 值為時，表面積最小，最小，分別為因此當長寬高下確實存在最小值依題意，水箱表面積在 ?. . 最短距離求橢圓到原點的最長和截成一個橢圓被平面拋物面122?????zyxzyx例2.1),(22222題下的最大值與最小值問及在條件函數(shù)這個問題的實質(zhì)是要求解： ????????zyxzyxzyxzyxf. )1()(),( 22222 ?????????? zyxzyxzyxzyxL ????設拉格朗日函數(shù) ??????????????????????????????.01,0,02,022,02222zyxLzyxLzLyyLxxLzyx????????解方程組.3117353 32231 ,3,3 ???????????? zyx ，得到??.,)(,)(.359,35935932231231 ?????和最短距離于是橢圓到原點的最長得，又由故有最大值最小值上連續(xù)有界閉域由于距離函數(shù)在橢圓條件極值必在其中取得??f練習 1 將正數(shù) 12 分成三個正數(shù) zyx , 之和 使得zyxu 23? 為最大 . 解 令 )12(),( 23 ????? zyxzyxzyxF ? ,??????????????????????120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx???解得唯一駐點 )2,4,6( ，.6 9 1 2246 23m a x ????u則 故最大值為之間的最短距離．與平面求曲面 2222 ????? zyxyxz練習 2 解 .2261022,),( 22??????????zyxdzyxPyxzzyxP的距離為到平面則上任一點為拋物面設最?。?jié)M足化為求點 2222 )22(610),( ??????? zyxdzyxzyxP),()22(61),( 222 yxzzyxzyxF ??????? ?令 得 ???????????????????????????????????)4(,)3(,0)2)(22(31)2(,02)22(31)1(,02)22(3122 yxzzyxFyzyxFxzyxFzyx???.81,41,41:??? zyx解得.64 7241414161m i n ?????d),81,41,41(即得唯一駐點處取得最小值．駐點，故必在一定存在，且有唯一根據(jù)題意距離的最小值)81,41,41(.其它問題 2. .,3 。 .( 3 ) )( ( 2 ) 的約束下的極值在滿足條件組求目標函數(shù)式條件極值問題的一般形nmmkxxxxxxfynkn????,1,0,0),(),(:2121????二、 拉格朗日乘數(shù)法 過去把條件極值問題化為無條件極值問題 .例如 上述水箱設計問題 . .( 5 ) ( 4 ) 下的極值在條件求皆為二元函數(shù)為例現(xiàn)在以0),(),(.,??yxyxfzf??.0)(),(),()( ,),(),( )())(,( ,0))(,(),(0000000000000???????????xgyxfyxfxzyxyxxgxgxfzxgxyxyxyx??? ，故為極值點，因設.0),()(),(,),(),( ),(),( )(:00000000000有公切線在與曲線即等高線注PyxPfyxfyxyxyxfyxfxgyxyx?????????????????????????,0),(),(,0),(),(),(,0),(),(),( ( 1 0 ) ),(),(),( ,000000000000000000000yxyxLyxyxfyxLyxyxfyxLyxyxfyxLyyyxxx?????????????則并構造輔助函數(shù)若引入輔助變量.),( ),(00000yxyxfyy?? ??這樣就把條件極值問題 (4)、 (5)轉(zhuǎn)化為函數(shù) (10)的無條件極值問題，這種方法稱為 拉格朗日乘數(shù)法 。 作業(yè) ： P163, 2(2), 3(1), 5, 7. 167。 3 幾何應用 因本節(jié)討論的曲線和曲面的方程以隱函數(shù) (組 )給出，故在求它們的切線 (或切平面 )時都要用到隱函數(shù) (組 )的微分法。1122122,1122122,0,022vuyuxvuyxuvvuyvxvuyvxuyvuxvvuuxxxxxx???????????????????????? 2 . ),( ),(1,),( ),(1 xu GFJxvvx GFJxu ????????????亦即公式求偏導數(shù)，得到關于對方程組yxyvuvuyxGyxvuvuyxF?????????????? ,01),(,0),(222.121122112,211122121,0,012vuxuvuxuvvuxvvuxvuxvuvvuuxyyyyy???????????????????????? 2 . ),( ),(1,),( ),(1 yu GFJyvvy GFJyu ????????????亦即公式.,),(),()0,1(,)1,1,0,1(),(,0,000002222yvxvyuxuyxvvyxuuvuyxvuxyuvyx???????????????????? 求連續(xù)偏導數(shù)的隱函數(shù)組的鄰域存在唯一一組有從而在點的條件鄰域滿足定理的在驗證方程組： 練習。)(),(),()2,0)),(),(,(,0)),(),(,(),(~)),(),(,()(),()1,)()(~000000000000000內(nèi)連續(xù)在時且當使得內(nèi)的兩個二元隱函數(shù)的鄰域在唯一地確定了定義內(nèi)，方程組的某鄰域則在點QUyxgyxfyxgyxfyxGyxgyxfyxFPVyxgyxfyxQUyxyxgvyxfuQUyxQVPVP ),( ),( ),(( 1 )???????)5(.),(),(1,),(),(1,),(),(1,),(),(1,)()),(),()3 0 yuGFJyvvyGFJyuxuGFJxvvxGFJxuQUyxgyxf