【正文】 二元運(yùn)算 ο和◇分別稱為左復(fù)合和右復(fù)合。 六、商集：集合 S上的等價(jià)關(guān)系 R，其等價(jià)類的集合 {[a]R|a? S}稱為 S關(guān)于 R的商集，記作 S /R。 對(duì)稱性： 設(shè) R是集合 X上的二元關(guān)系，如果對(duì)于每一個(gè) x， y?X，每當(dāng) x， y?R，就有 y， x?R，則稱 R是對(duì)稱的。 56 置換群與伯恩賽德定理 2022/6/2 94 復(fù)習(xí) 一、非空集合 S上的一個(gè)雙射稱為 S的一個(gè)置換。 1也是循環(huán)群 I， +的生成元。所以 G,* 是一個(gè)群。 因此 G={a1, a2, a3,..., an2, an1, an=e} 2022/6/2 90 例題 3 設(shè) G={α,β,γ,δ},在 G上定義二元運(yùn)算 *如表 ，說(shuō)明 G,* 是一個(gè)循環(huán)群。所以 am=e是不可能的。 n是使 an=e的最小正整數(shù)。}, ★ 的生成元，因此，該群是循環(huán)群。 ,120186。 2022/6/2 84 定理 設(shè) G,?為一群 , G,?是阿貝爾群的充要條件是對(duì)任意的 a,b?G，有 （ a?b） ?（ a?b） =（ a?a） ?（ b?b） 證明 : 1） 先證充分性 從條件“ （ a?b） ?（ a?b） =（ a?a） ?（ b?b） ”出發(fā)，推出“ G,?是阿貝爾群”的結(jié)論： 對(duì)于元素 a,b?G， 有 (a?b)?(a?b)=(a?a)?(b?b) 因?yàn)? 右端 =a?(a?b)?b=(a?a)?(b?b)=(a?b)?(a?b)=a?(b?a)?b 即 a?(a?b)?b=a?(b?a)?b 由可約性得，用 a1左 ?上式，再用 b1右 ?上式， (a?b)=(b?a) 2022/6/2 85 2） 再證必要性 從“ G,?是阿貝爾群”的結(jié)論出發(fā) ，推出 “ (a?b)?(a?b)=(a?a)?(b?b)” 對(duì)任意的 a, b?G， 有 a*b=b*a， 因此 ， (a*b)*(a*b) =a*(b*a)*b =a*(a*b)*b =(a*a)*(b*b) 即 (a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b) 2022/6/2 86 二、循環(huán)群 定義 設(shè) G,?為群，如果在 G中存在元素 a ,使 G以 {a}為生成集， G的任何元素都可表示為 a 的冪（約定 e=a0） ,稱 G,?為 循環(huán)群 (cyclic group)，這時(shí) a稱為循環(huán)群 G的 生成元 （ generater）。 矩陣乘法運(yùn)算 ο是可結(jié)合的。 任取 x， y∈ G，則 x*y∈ G 因?yàn)?x*y=（ x*y） 1=y1*x1=y*x 所以 G， *是一個(gè)阿貝爾群。 已經(jīng)驗(yàn)證了 R，★ 是群。 ,300176。 ,60176。 f 0的逆元就是它本身， f 1和 f 3互為逆元， f 2的逆元也是它本身。阿貝爾群又稱 加群 ，常表示為 G， + （這里的 + 不是數(shù)加，而泛指可交換二元運(yùn)算）。 3）最后證明 △ 在 S中是封閉的對(duì)任意元素 a,b?S, b1?S, 而 b=(b1)1 所以 a△ b=a△ (b1)1?S 。 其次，由于 {0,0,0,0,1,1,1,1} ?G4,且 {0,0,0,0,1,1,1,1}在 {0,0,0,0,1,1,1,1} 上是封閉的，由定理 {0,0,0,0,1,1,1,1} , ? 是 G4， ? 的子群。 V?VV V V0 1 0 1 0 1 1 0 表 V2022/6/2 75 證明：首先對(duì)于任意的X=x1,x2,x3,x4,Y=y1,y2,y3,y4,Z=z1,z2,z3,z4 ?G4。 如果 j–i=1， b=bj–i， 那么 b是幺元 。 ?b?A ， 因?yàn)檫\(yùn)算 *在 A上封閉 ， 所以 b2=b*b?A b3=b2*b?A ? 由于 A是有限集 ， 所以必存在正整 i和 j， 不妨設(shè) i＜ j，使得 bi=bj 從而有 bi=bi*bj–i和 bi=bj–i*bi 根據(jù)群中的消去律得 bj–i=e， 即 bj–i是群 ?G,*?的幺元 。 2022/6/2 72 定理 設(shè) ?G,*是群 ， A是 G的非空子集 ， 如果 A是一個(gè)有限集 ， 只要運(yùn)算 *在 A上封閉 ， 則 A,*是 ?G,*的子群 。 (2)運(yùn)算 +在 IE上保持可結(jié)合性。如果 S是 G的非空子集 ，如果S， ?為一群，則稱 S， ?是 G， ?的 子群 (subgroups)。 定義 G， ?為代數(shù)系統(tǒng)，如果存在 a?G，有 a ? a= a ，則稱 a為等冪元。 再由運(yùn)算表中任何兩行或兩列都是不相同的。 譬如，對(duì)于集合 S={a,b,c,d}，將 a映射到 b， b映射到 d， c映射到 a， d 映射到 c是一個(gè)從 S到 S上的一個(gè)一對(duì)一映射，這個(gè)置換可以表示為 即上一行中按任何次序?qū)懗黾现械娜吭?，而在下一行中?xiě)每個(gè)對(duì)應(yīng)元素的象。 2022/6/2 65 定理 設(shè) G， ?為群，對(duì)于 a,b?G， 必存在 x?G ，使得 關(guān)于 x的方程 a?x＝ b， x?a＝ b都有唯一。設(shè)|G|1 且群有零元。所以 I， +是一個(gè)群，且是一個(gè)無(wú)限群。 【 例 】 試驗(yàn)證代數(shù)系統(tǒng) I， +是一個(gè)群，這里 I是所有整數(shù)的集合， +是普通加法運(yùn)算。因此R, ★ 是一個(gè)群。的逆元分別是 300186。是幺元。 ★ 0 60 120 180 240 300 0 0 60 120 180 240 300 60 60 120 180 240 300 0 120 120 180 240 300 0 60 180 180 240 300 0 60 120 240 240 300 0 60 120 180 300 300 0 60 120 180 240 由表 ，運(yùn)算 ★ 在 R上是封閉的。并規(guī)定旋轉(zhuǎn) 360176。 ,180176。 例如， R{0}, ?， P (S) , ?等都是群。 +5 [0] [1] [2] [3] [4] [0] [1] [2] [3] [4] [0] [1] [2] [3] [4] [1] [2] [3] [4] [0] [2] [3] [4] [0] [1] [3] [4] [0] [1] [2] [4] [0] [1] [2] [3] 6 [0] [1] [2] [3] [4] [0] [1] [2] [3] [4] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [2] [3] [4] [0] [2] [4] [1] [3] [0] [3] [1] [4] [2] [0] [4] [3] [2] [1] 表 表 顯然，上述運(yùn)算表中沒(méi)有兩行或兩列是相同的。 因?yàn)?[1] m[i]=[i] m[1]=[i]，所以， [1]是 Zm , m中的幺元。 先分三步證明 Zm , +m 是獨(dú)異點(diǎn)，再利用 定理 ： 1）根據(jù)運(yùn)算定義，證明兩個(gè)運(yùn)算在 Zm上封閉； 2）根據(jù)運(yùn)算定義，證明兩個(gè)運(yùn)算滿足結(jié)合律； 3）根據(jù)運(yùn)算定義，證明 [0]是 Zm , +m 的幺元， [1]是 Zm , m 的幺元。 2022/6/2 53 定理 設(shè) S,?,e是一個(gè)獨(dú)異點(diǎn) ,則在關(guān)于運(yùn)算 ?的運(yùn)算表中任何兩行或兩列都是不相同的。 * a 0 1 a a 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 證明 1）運(yùn)算 *是封閉的。 ,R, Δ a b c a b c a b c a b c a b c 2022/6/2 51 三、獨(dú)異點(diǎn) 定義 設(shè)代數(shù)系統(tǒng) S,?為 半群 ，若 S,?含有關(guān)于 ? 運(yùn)算的 幺元 ,則稱它為 獨(dú)異點(diǎn) (monoid)，或 含幺半群 。 2022/6/2 50 前面已驗(yàn)證 S，△ 是一個(gè)半群。b所得的余數(shù)，這里 a， b∈ Nk。 2022/6/2 46 練習(xí) 若 S， *是半群， a∈ S， M={an|n ∈ N}，證明M， *是 S， *的子半群。 、 [0,1), 是一個(gè)半群。 都是 R, 【 例 】 設(shè) 4)R中除 1/2外所有元素都有逆元， a的逆元素是 a/（ 1+2a）。 對(duì)任意 a， b， c∈ R， (a*b)*c=(a+b+2ab)*c=a+b+2ab+c+2(a+b+2ab )c =a+b+c+2ab+2ac+2bc+4abc a*(b*c)=a*(b+c+2bc)=a+b+c+2bc+2a(b+c+2bc) =a+b+c+2ab+2ac+2bc+4abc 所以 (a*b)*c= a*(b*c)。明顯地，代數(shù)系統(tǒng) I+， 和 R， /都不是半群，這里， 和 /分別是普通的減法和除法。 2022/6/2 42 【 例 】 設(shè) S={a,b,c}，在 S上的一個(gè)二元運(yùn)算 Δ 定義如表。b( bbn1k) b)對(duì)于任意正整數(shù) k，證明 Nk， *k是一個(gè)半群。 在例題 1中， k≥ 0這個(gè)條件是重要的，否則， 如果 k0，則運(yùn)算 +在 Sk上將是不封閉的。 53 半 群 2022/6/2 38 定義 一個(gè)代數(shù)系統(tǒng) S， ?，其中 S是非空集合，*是 S上的一個(gè)二元運(yùn)算，如果： （ 1）運(yùn)算 ?是封閉的； （ 2）運(yùn)算 *是可結(jié)合的，即對(duì)任意的 x,y,z?S，滿足 (x*y)*z=x*(y*z) 則稱代數(shù)系統(tǒng) S， ?為半群。 5） A中關(guān)于運(yùn)算 ?具有幺元，當(dāng)且僅當(dāng)該元素所對(duì)應(yīng)的行和列依次與運(yùn)算表的行和列相一致。 ????????????kyxkyxkyxyxyx k若若2022/6/2 36 從運(yùn)算表中看運(yùn)算具有的性質(zhì) 1）運(yùn)算 ?具有封閉性，當(dāng)且僅當(dāng)運(yùn)算表中的每個(gè)元素都屬于 A。 ，這里 R是實(shí)數(shù)的全體，是普通的乘法運(yùn)算，是否每個(gè)元素都有逆元。 設(shè)元素 a有兩個(gè)逆元 b和 d， 那么 b=b?e=b?(a?d)=(b?a)?d=e?d=d 故 a的逆元是惟一的 。 * α β γ δ δ α β γ δ δ α β γ δ δ β δ α γ δ γ α β α β δ α γ δ γ δ δ α γ