【正文】 sTez ?第 8章 采樣控制系統(tǒng) 下面考查幾種典型輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。 設(shè)單位反饋采樣系統(tǒng)如圖 826所示： 圖 826 單位反饋采樣系統(tǒng) 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 G(z) 采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差除可從輸出信號在各采樣時(shí)刻上的數(shù)值 c(nT) (n=0， 1， 2…∞) ，以及從過渡過程曲線 c （ 2）當(dāng) r(t)=1(t)， K=1， T分別為 ， 1， 2， 4(s)時(shí)，系統(tǒng)的輸出響應(yīng) c(kT)。 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 例 817： 已知離散系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為 234 ????? zzzzzD ）（試用朱利判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 設(shè)離散系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程可寫為 D(z)=anzn+…+ a2z2+a1z+a0=0 an 0 特征方程的系數(shù)，按照下述方法構(gòu)造 (2n－ 3)行、 (n+1)列朱利陣列，見表 82： 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 表 82朱利陣列 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 在朱利陣列中，第 2k+2行各元，是 2k+1行各元的反序排列。 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 圖 822： Z平面和 W平面的對應(yīng)關(guān)系 離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，由特征方程 1+GH（ z） =0的所有根嚴(yán)格位于 z平面上的單位圓內(nèi)，轉(zhuǎn)換為特征方程 1+GH（ w） =0的所有根嚴(yán)格位于左半W平面。因此，必須采用一種新的變換，使 z平面上的單位圓，在新的坐標(biāo)系中的映象為虛軸。因此，需要采用一些比較實(shí)用的判別系統(tǒng)穩(wěn)定的方法。 Tez ??Tez ??第 8章 采樣控制系統(tǒng) 圖 821：線性采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 線性采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 線性采樣系統(tǒng)如圖 821所示。 Tjez ?? 可見， S平面上的虛軸映射到 Z平面上，為以原點(diǎn)為圓心的單位圓。若系統(tǒng)特征方程的所有根都在 s平面左半平面，則系統(tǒng)穩(wěn)定。但只要誤差信號 e(t)處沒有采樣開關(guān)，則輸入采樣信號 r*(t)就不存在，此時(shí)不能寫出閉環(huán)系統(tǒng)對于輸入量的脈沖傳遞函數(shù)，而只能求出輸出采樣信號的 Z變換函數(shù)Y(z) (或 C(z))。 第 8章 采樣控制系統(tǒng) )()1()]1()1[(111)1()(22aTaTaTaTaTpezzea TezaTezaezzzzazTzssGZ???????????????????????????????))(1()]1()1[(1])([)1()(1aTaTaTaTpezzeaT ezaTeassGZzzG???????????????第 8章 采樣控制系統(tǒng) 4） 采樣系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 在采樣系統(tǒng)中，由于設(shè)置采樣器方式是多種多樣的，所以閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式也不是統(tǒng)一的。顯然，這一結(jié)論也可以推廣到有 n個(gè)環(huán)節(jié)直接串聯(lián)的情況。 解： 對上面差分方程進(jìn)行 z變換，并令初始條件為 0，有 15)()()()()(5)()()(22?????????zzzzXzYzGzXzzXzYzzYzYz第 8章 采樣控制系統(tǒng) 3） 采樣系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù) Ⅰ 采樣拉氏變換的性質(zhì) 采樣拉氏變換的兩個(gè)重要性質(zhì) （ 1） 采樣函數(shù)的拉氏變換具有周期性，即 ）（）（ sjksGsG ??? **（ 2） 若采樣函數(shù)的拉氏變換與連續(xù)函數(shù)的拉氏變換相乘后再離散化，則可以從離散符號中提出來，即 ）（）（）（）（ sEsGsEsG **** ][ ?第 8章 采樣控制系統(tǒng) Ⅱ 開環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 討論采樣系統(tǒng)在開環(huán)狀態(tài)下的脈沖傳遞函數(shù)時(shí)，應(yīng)注意圖中所示的兩種不同的結(jié)構(gòu)形式（如圖 816所示）。 方法是：先求 G(s)的拉氏反變換，得到脈沖過渡函數(shù) g(t),再將 g(t)按采樣周期離散化，得到加權(quán)序列 g(nT)，最后將 g(nT)進(jìn)行 z變換，得出 G(z)。因此在這段時(shí)間內(nèi)的輸出量是 y(t)=x(0)g(t),將 t=0代入上式得 y(0)=x(0)g(0) 。 如果在 G(s)上加的是 δ (t－ a) ，即延遲到 a時(shí)刻才將脈沖函數(shù)加上，那么輸出信號也自然地延遲一段時(shí)間 a，而成為 g(t－ a) 。這樣就可以沿用脈沖傳遞函數(shù)的概念。 與此相類似，在線性離散系統(tǒng)中，我們把初始條件為零的條件下系統(tǒng) (或環(huán)節(jié) )的輸出離散信號的 Z變換與輸入離散信號的 z變換之比，定義為脈沖傳遞函數(shù)，又稱為 z傳遞函數(shù)?？梢娎?810。 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 線性常系數(shù)差分方程 對于一般的線性定常離散系統(tǒng)， k時(shí)刻的輸出y(k)不但與 k時(shí)刻的輸入 x(k)有關(guān)，而且與 k時(shí)刻以前的輸入 x(k－ 1)， x(k－ 2),… 有關(guān)，同時(shí)還與 k時(shí)刻以前的輸出 y(k－ 1),y(k－ 2),… 有關(guān)。 1， 177。 izzkzzFs ?? ])([Re 1第 8章 采樣控制系統(tǒng) 關(guān)于函數(shù) F(z)zk1在極點(diǎn)處的留數(shù)計(jì)算方法如下： 若 zi為單極點(diǎn)，則 ])()[(lim])([Re 11 ???? ?? kizzzzk zzFzzzzFsii若 F(z)zk1有 ri階重極點(diǎn)，則 1111 ])()[(lim)!1(1])([Re?????? ???iiiii rkrirzzizzkdzzzFzzdrzzFs第 8章 采樣控制系統(tǒng) 例 89：設(shè) z變換函數(shù) ，試用留數(shù)法求其 z反變換。 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 例 87： 已知 ，試用冪級數(shù)法求F(z)的 z反變換。 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 求解時(shí)應(yīng)注意： ①在進(jìn)行綜合除法之前，必須先將 F(z)的分子，分母多項(xiàng)式按 z的降冪形式排列。求出 z1按升冪排列的級數(shù)展開式，然后用反變換求出相應(yīng)的采樣函數(shù)的脈沖序列。 則有 及 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 3）復(fù)域位移定理 若 則有： )()]([ zXtxZ ? )()]([ zeXtxeZ aTat ???定理的含義是：函數(shù) x(t)乘以指數(shù)序 e177。11111)1(1)()(TTTTezzezezzzzzFzezzzszzzszsssssFsF????????????????????變換為于是變換為的變換為的變換表得：查分式按它的極點(diǎn)展開為部分解：將第 8章 采樣控制系統(tǒng) 例 84：求 f (t)=sinω t的 Z變換。 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 2) 部分分式法 設(shè)連續(xù)函數(shù) f(t)的拉氏變換式為有理函數(shù)，可以展開成部分分式的形式，即 iini psAsF?? ?? 1)(式中 pi為 F（ s） 的極點(diǎn)， Ai為常系數(shù)。 ???????????????????????kk a TkaTaTkzezezezkTfzF02211)()(? ?aTaTaT ezez zez ???? ????? 11 1 綜上分析可見，通過級數(shù)求和法求取已知函數(shù) Z變換的缺點(diǎn)在于：需要將無窮級數(shù)寫成閉式。只要已知連續(xù)函數(shù)在采樣時(shí)刻 kT(k=0,1,2,3,4,…..) 的采樣值便可求取離散函數(shù) z變換的級數(shù)展開式。采樣函數(shù) f*(t)所對應(yīng)的 z變換是唯一的，反之亦然。 zTsez sT ln1???得到以 z為自變量的函數(shù) F(z) ?????0)()(kkzkTfzF第 8章 采樣控制系統(tǒng) ?? ??????????0* )()(][1)(kkns zkTfzFjnsFTsF 與? 是相互補(bǔ)充的兩種變換形式，前者表示 s平面上的函數(shù)關(guān)系，后者表示 z平面上的函數(shù)關(guān)系。 z變換是由拉氏變換引伸出來的一種變形。圖中的虛線表示零階保持器的頻率特性。 時(shí)間遲后 ：零階保持器的輸出為階梯信號 eh(t) 其平均響應(yīng)為 e[t－ (T/2)],表明輸出比輸入在時(shí)間上要遲后 T/2，相當(dāng)于給系統(tǒng)增加一個(gè)延遲時(shí)間為 T/2的延遲環(huán)節(jié)，對系統(tǒng)穩(wěn)定不利。若將階梯信號的各中點(diǎn)連接起來，可以得到比連續(xù)信號退后 T／ 2的曲線。 零階保持器是一種按照恒值規(guī)律外推的保持器。在采樣系統(tǒng)中廣泛采用的保持器就是這樣一種實(shí)際的濾波器。 根據(jù)采樣定理，在滿足 ω s ≥2 ω max的條件下，離散信號的頻譜彼此互不重疊。這就是香農(nóng) (Shannon)采樣定理。 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 圖 88：連續(xù)及離散信號的頻譜 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 由圖 88可見，相鄰兩頻譜互不重迭的條件是 ω s ≥2ω max 如果滿足條件，并把采樣后的離散信號 e*(t)加到如圖 89所示特性的理想濾波器上，則在濾波器的輸出端將不失真地復(fù)現(xiàn)原連續(xù)信號 (幅值相差 l／ T倍 )。 在離散函數(shù)的頻譜中、 n=0的部分 E(jω )／ T稱為主頻譜。 通常 E*(s)的全部極點(diǎn)均位于 S平面的左半部，因此可用 jω代替上式中的復(fù)變量 s，直接求得采樣信號的傅氏變換： 上式即為采樣信號的頻譜函數(shù)。 圖 87：采樣信號的調(diào)制過程 時(shí)，上式可寫成當(dāng) 0??第 8章 采樣控制系統(tǒng) 采樣定理 (shannon定理 )，由于它給出了從采樣的離散信號恢復(fù)到原連續(xù)信號所必需的最低采樣頻率，所以在設(shè)計(jì)離散系統(tǒng)時(shí)是很重要的。在這種條件下，當(dāng)采樣開關(guān)的輸入信號為連續(xù)信號 e(t)時(shí)，其輸出信號 e*(t)是一個(gè)脈沖序列，采樣瞬時(shí) e*(t)的幅值等于相應(yīng)瞬時(shí) e(t)的幅值，即 e(0T)、 e(T)、 e(2T) …… e(nT)，如圖 86所示。 按一定的時(shí)間間隔對連續(xù)信號進(jìn)行采樣，將其轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的脈沖序列的過程稱為采樣過程。Z變換法和線性定常離散系統(tǒng)的關(guān)系，恰似拉氏變換法和線性定常連續(xù)系統(tǒng)的關(guān)系；因此， Z變換法是分析單輸入 單輸出線性定常離散系統(tǒng)的有力工具，它是本章的重點(diǎn)內(nèi)容。大系統(tǒng)還必須具備能夠在短時(shí)間內(nèi)實(shí)時(shí)地控制其子系統(tǒng)工作狀態(tài)的能力。又由于過程變量中存在著相互影響，所以在每一個(gè)控制系統(tǒng)中，只考慮一個(gè)過程變量，將系統(tǒng)作為單輸入 單輸出系統(tǒng)來分析、設(shè)計(jì)，對于全面的控制系統(tǒng)來說是不適當(dāng)?shù)摹? )(* tu)(* te)(* te)(* tu)(* tu)(tuk第 8章 采樣控制系統(tǒng) 目前的大型控制系統(tǒng) (或稱大系統(tǒng) )的發(fā)展趨勢，是將許多獨(dú)立的控制系統(tǒng) (稱為子系統(tǒng) )結(jié)合成單一的最優(yōu)控制工程。既然模擬量需要反應(yīng)數(shù)字量，這中間便需要有數(shù) 模轉(zhuǎn)換環(huán)節(jié)。因此，它包括工作于離散狀態(tài)下的數(shù)字計(jì)算機(jī) (或?qū)Ｓ玫臄?shù)字控制器 )和具有連續(xù)工作狀態(tài)的被控對象兩大部分，其方塊圖如圖 85所示。這種時(shí)間序列屬于離散型時(shí)間函數(shù)。 )(* tb第 8章 采樣控制系統(tǒng) Tf s1? Ts2?? 在采樣系統(tǒng)中，采樣開關(guān)重復(fù)閉合的時(shí)間間隔 T稱為采樣周期 分別稱為采樣頻率及采樣角頻率。 概述 )()()( *** tbtrte ??第 8章 采樣控制系統(tǒng) 圖 81：離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 因此，在離散系統(tǒng)中，通過控制器對被控對象進(jìn)行控制的直接作用信號乃是離散型的偏差信號 。 采樣系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)與脈沖傳遞 函數(shù)零、極點(diǎn)分布的關(guān)系 ?167。 Z變換 ?167。 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 目 錄 ?167。最后介紹了 MATLAB在采樣系統(tǒng)中的應(yīng)用 。第 8章 采樣控制系統(tǒng) 第 8章 采樣控制系統(tǒng) 內(nèi) 容 提 要 采樣控制系統(tǒng)與連續(xù)控制系統(tǒng)的根本區(qū)別在于采樣系統(tǒng)中既包含有連續(xù)信號，又包含有離散信號，是一個(gè)混和信號系統(tǒng)。