軌跡與方程ppt課件-wenkub.com
2025-04-30 18:31 本頁面
【正文】 sin?AOM ? = asin? t (2) 動點同時以線速度 v沿 z 軸向上升 . 因而 z = MM ? = vt 得螺旋線的參數(shù)方程 x = acos? t y = asin? t z = vt 注 : 還可以用其它變量作參數(shù) . x y z A O M ?t M? y x z A O M ?t M? 例如 : 令 ? = ? t. ?為參數(shù) 。 解： Oz軸可看成兩個平面的交線，如 ?????00yx 或 可見，空間曲線的一般方程的表示不是唯一的。 解：如圖 ,有 P x y z o o M ? Q r r=OM=OQ+QP+PM 而 OQ=(Rcos?)i, QP(Rsin ?)j, PM=uk 所以 r=(Rcos?)i+ (Rsin ?)j +uk （ 6） 此即為圓柱面的矢量式參數(shù)方程。 例 5 求中心在原點，半徑為 r的球面的參數(shù)方程 。 解：因為所求平分面是與兩坐標(biāo)面 xOz和 yOz有等距離 的點的軌跡，因此 M(x,y,z)在平分面上的充要條件是 |y|=|x| 即 X+y=0 與 xy=0 (x? x0)2 + (y ? y0)2 + (z ? z0)2 = R2 (1) 稱方程 (1)為 球面的標(biāo)準(zhǔn)方程 . 特別 : 當(dāng)球心在原點 O(0, 0, 0)時 , 球面方程 : x2 + y2 + z2 = R2 例 求球心為 M0(x0, y0,z0), 半徑為 R的球面 的方程 . 解： 對于球面上任一點 M(x, y, z), 都有 |M M0|2 = M0 M R 例 4 求與原點 O 及 )4,3,2(0M 的距離之比為 2:1 的點的全體所組成的曲面方程 . 解 設(shè) ),( zyxM 是曲面上任一點，,21|| ||0?MMMO根據(jù)題意有 ? ? ? ? ? ? ,21432 222222????????zyxzyx? ? .91 1 634132222??????? ?????????? ? zyx所求方程為 解 : 原方程可改寫為 (x ?1)2 + (y + 2)2 + z2 = 5 故 : 原方程表示球心在 M0(1, ?2, 0), 半徑為 的球面 . 5例 5: 方程 x2 + y2 + z2 ?2x + 4y = 0表示怎樣的曲面 ? zxyo例 6 方程 的圖形是怎樣的？ 1)2()1( 22 ????? yxz根據(jù)題意有 1??z用平面 cz ? 去截圖形得圓：)1(1)2()1( 22 ??????? ccyx 當(dāng)平面 cz ? 上下移動時，得到一系列圓圓心在 ),2,1( c ，半徑為 c?1半徑隨 c 的增大而增大 .圖形上不封頂，下封底． 解 c二、曲面的參數(shù)方程 雙參數(shù)矢函數(shù) 在兩個變數(shù) u,v的變動區(qū)域內(nèi)定義的函數(shù) r=r(u,v) 或 r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3 (2) 稱為雙參數(shù)矢函數(shù)，其中 x(u,v),y(u,v),z(u,v)是變矢 r(u,v)的分量，它們都是變數(shù) u， v的函數(shù) 。 第二節(jié) 曲面的方程 一、 . 定義 : 若曲面 S與三元方程 F (x, y, z) =0有如下關(guān)系 : (1) S上任一點的坐標(biāo)滿足方程 F (x, y, z) =0。 12222??byax法一 )(s i nc os ????? ????????byax法二 設(shè) y=tx+b,代入原方程得 1)( 2222???bbtxax解得 22222,0 tab btaxx ????在第二式中取 t=0,得 x=0，所以舍去第一式，取 22222tabbtax???從而 222222 )(tabtabby???在法二中，若令 u=t，則得橢圓的另一種表示式為 )u(uab)uab( byuabbu2ax2222222222??????????????????注：第二種解法中，設(shè) y=tx+b，實際上是在橢圓上取 一定點 (0,b),作以 (0,b)為中心的直線束，而這時的橢圓 的參數(shù)方程恰為直線束中的直線與橢圓交點的一般表 達式。
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