【正文】 09. 立體幾何 知識要點(diǎn)一、 平面.1. 經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個面.注：兩兩相交且不過同一點(diǎn)的四條直線必在同一平面內(nèi).2. 兩個平面可將平面分成3或4部分.（①兩個平面平行，②兩個平面相交）3. 過三條互相平行的直線可以確定1或3個平面.（①三條直線在一個平面內(nèi)平行，②三條直線不在一個平面內(nèi)平行）[注]：三條直線可以確定三個平面，三條直線的公共點(diǎn)有0或1個.4. 三個平面最多可把空間分成 8 部分.（X、Y、Z三個方向）二、 空間直線.1. 空間直線位置分三種：相交、平行、異面. 相交直線—共面有反且有一個公共點(diǎn)；平行直線—共面沒有公共點(diǎn)；異面直線—不同在任一平面內(nèi)[注]：①兩條異面直線在同一平面內(nèi)射影一定是相交的兩條直線.（）（可能兩條直線平行，也可能是點(diǎn)和直線等）②直線在平面外，指的位置關(guān)系：平行或相交③若直線a、b異面，a平行于平面，b與的關(guān)系是相交、平行、在平面內(nèi).④兩條平行線在同一平面內(nèi)的射影圖形是一條直線或兩條平行線或兩點(diǎn).⑤在平面內(nèi)射影是直線的圖形一定是直線.（）（射影不一定只有直線，也可以是其他圖形）⑥在同一平面內(nèi)的射影長相等，則斜線長相等.（）（并非是從平面外一點(diǎn)向這個平面所引的垂線段和斜線段）⑦是夾在兩平行平面間的線段，若，則的位置關(guān)系為相交或平行或異面.2. 異面直線判定定理：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線.（不在任何一個平面內(nèi)的兩條直線）3. 平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.4. 等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等（如下圖）. （二面角的取值范圍） （直線與直線所成角） （斜線與平面成角） （直線與平面所成角）（向量與向量所成角推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（或直角）相等.5. 兩異面直線的距離：公垂線的長度.空間兩條直線垂直的情況：相交（共面）垂直和異面垂直.是異面直線，則過外一點(diǎn)P，過點(diǎn)P且與都平行平面有一個或沒有，但與距離相等的點(diǎn)在同一平面內(nèi). （或在這個做出的平面內(nèi)不能叫與平行的平面）三、 直線與平面平行、直線與平面垂直.1. 空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內(nèi).2. 直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.（“線線平行，線面平行”）[注]：①直線與平面內(nèi)一條直線平行，則∥. （）（平面外一條直線）②直線與平面內(nèi)一條直線相交，則與平面相交. （）（平面外一條直線）③若直線與平面平行，則內(nèi)必存在無數(shù)條直線與平行. （√）（不是任意一條直線，可利用平行的傳遞性證之）④兩條平行線中一條平行于一個平面，那么另一條也平行于這個平面. （）（可能在此平面內(nèi)）⑤平行于同一直線的兩個平面平行.（）（兩個平面可能相交）⑥平行于同一個平面的兩直線平行.（）（兩直線可能相交或者異面）⑦直線與平面、所成角相等，則∥.（）（、可能相交）3. 直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行.（“線面平行，線線平行”）4. 直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過一點(diǎn)有且只有一條直線和一個平面垂直，過一點(diǎn)有且只有一個平面和一條直線垂直. l 若⊥，⊥，得⊥（三垂線定理），得不出⊥. 因?yàn)椤?，但不垂直O(jiān)A.l 三垂線定理的逆定理亦成立.直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個平面.（“線線垂直，線面垂直”）直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.推論：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行.[注]：①垂直于同一平面的兩個平面平行.（）（可能相交，垂直于同一條直線的兩個平面平行）②垂直于同一直線的兩個平面平行.（√）（一條直線垂直于平行的一個平面，必垂直于另一個平面）③垂直于同一平面的兩條直線平行.（√）5. ⑴垂線段和斜線段長定理：從平面外一點(diǎn)向這個平面所引的垂線段和斜線段中，①射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段較長；②相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段射影較長；③垂線段比任何一條斜線段短.[注]：垂線在平面的射影為一個點(diǎn). [一條直線在平面內(nèi)的射影是一條直線.（）]⑵射影定理推論：如果一個角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，那么這點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在這個角的平分線上四、 平面平行與平面垂直.1. 空間兩個平面的位置關(guān)系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，哪么這兩個平面平行.（“線面平行，面面平行”）推論：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行；平行于同一平面的兩個平面平行.[注]：一平面間的任一直線平行于另一平面.3. 兩個平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平面平行同時和第三個平面相交，那么它們交線平行.（“面面平行，線線平行”）4. 兩個平面垂直性質(zhì)判定一：兩個平面所成的二面角是直二面角，則兩個平面垂直.兩個平面垂直性質(zhì)判定二：如果一個平面與一條直線垂直，那么經(jīng)過這條直線的平面垂直于這個平面.（“線面垂直，面面垂直”）注：如果兩個二面角的平面對應(yīng)平面互相垂直，則兩個二面角沒有什么關(guān)系.5. 兩個平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一個平面.推論：如果兩個相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面.證明：如圖，找O作OA、OB分別垂直于，因?yàn)閯t. 6. 兩異面直線任意兩點(diǎn)間的距離公式：（為銳角取加，為鈍取減，綜上，都取加則必有）7. ⑴最小角定理：（為最小角，如圖）⑵最小角定理的應(yīng)用（∠PBN為最小角）簡記為：成角比交線夾角一半大，且又比交線夾角補(bǔ)角一半長，一定有4條.成角比交線夾角一半大，又比交線夾角補(bǔ)角小，一定有2條.成角比交線夾角一半大，又與交線夾角相等，一定有3條或者2條.成角比交線夾角一半小，又與交線夾角一半小，一定有1條或者沒有. 五、 棱錐、棱柱.1. 棱柱.⑴①直棱柱側(cè)面積：（為底面周長，是高）該公式是利用直棱柱的側(cè)面展開圖為矩形得出的.②斜棱住側(cè)面積：（是斜棱柱直截面周長，是斜棱柱的側(cè)棱長）該公式是利用斜棱柱的側(cè)面展開圖為平行四邊形得出的.⑵{四棱柱}{平行六面體}{直平行六面體}{長方體}{正四棱柱}{正方體}.{直四棱柱}{平行六面體}={直平行六面體}.⑶棱柱具有的性質(zhì)：①棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等；直棱柱的各個側(cè)面都是矩形；正棱柱的各個側(cè)面都是全等的矩形.②棱柱的兩個底面與平行于底面的截面是對應(yīng)邊互相平行的全等多邊形.③過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形.注：①棱柱有一個側(cè)面和底面的一條邊垂直可推測是直棱柱. （）（直棱柱不能保證底面是鉅形可如圖）②（直棱柱定義）棱柱有一條側(cè)棱和底面垂直.⑷平行六面體：定理一：平行六面體的對角線交于一點(diǎn)，并且在交點(diǎn)處互相平分.[注]：四棱柱的對角線不一定相交于一點(diǎn).定理二：長方體的一條對角線長的平方等于一個頂點(diǎn)上三條棱長的平方和.推論一：長方體一條對角線與同一個頂點(diǎn)的三條棱所成的角為，則.推論二：長方體一條對角線與同一個頂點(diǎn)的三各側(cè)面所成的角為，則.[注]：①有兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱.（）（斜四面體的兩個平行的平面可以為矩形）②各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（）（應(yīng)是各側(cè)面都是正方形的直棱柱才行）③對角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是長方體.（）（只能推出對角線相等，推不出底面為矩形）④棱柱成為直棱柱的一個必要不充分條件是棱柱有一條側(cè)棱與底面的兩條邊垂直. （兩條邊可能相交，可能不相交，若兩條邊相交，則應(yīng)是充要條件）2. 棱錐：棱錐是一個面為多邊形，其余各面是有一個公共頂點(diǎn)的三角形.[注]：①一個棱錐可以四各面都為直角三角形.②一個棱柱可以分成等體積的三個三棱錐；所以.⑴①正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點(diǎn)在底面的射影為底面的中心.[注]：i. 正四棱錐的各個側(cè)面都是全等的等腰三角形.（不是等邊三角形）ii. 正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正△側(cè)棱與底棱不一定相等iii. 正棱錐定義的推論：若一個棱錐的各個側(cè)面都是全等的等腰三角形（即側(cè)棱相等）；底面為正多邊形.②正棱錐的側(cè)面積：（底面周長為，斜高為）③棱錐的側(cè)面積與底面積的射影公式：（側(cè)面與底面成的二面角為）附： 以知⊥，為二面角. 則①，②，③ ①②③得.注：S為任意多邊形的面積（可分別多個三角形的方法）.⑵棱錐具有的性質(zhì)：①正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的斜高）.②正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個直角三角形.⑶特殊棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影位置：①棱錐的側(cè)棱長均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心.②棱錐的側(cè)棱與底面所成的角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心.③棱錐的各側(cè)面與底面所成角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.④棱錐的頂點(diǎn)到底面各邊距離相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.⑤三棱錐有兩組對棱垂直，則頂點(diǎn)在底面的射影為三角形垂心.⑥三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則頂點(diǎn)在底面上的射影為三角形的垂心.⑦每個四面體都有外接球，球心0是各條棱的中垂面的交點(diǎn)，此點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離等于球半徑；⑧每個四面體都有內(nèi)切球，球心是四面體各個二面角的平分面的交點(diǎn)，到各面的距離等于半徑.[注]：i. 各個側(cè)面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱錐是正四棱錐.（）（各個側(cè)面的等腰三角形不知是否全等）ii. 若一個三角錐，兩條對角線互相垂直，則第三對角線必然垂直. 簡證：AB⊥CD，AC⊥BD BC⊥AD. 令得，已知則.iii. 空間四邊形OABC且四邊長相等，則順次連結(jié)各邊的中點(diǎn)的四邊形一定是矩形.iv. 若是四邊長與對角線分別相等，則順次連結(jié)各邊的中點(diǎn)的四邊是一定是正方形.簡證：取AC中點(diǎn)，則平面90176。會畫正棱錐的直觀圖．?dāng)?shù)學(xué)探索169。（8）了解多面體、凸多面體的概念。（4）了解空間向量的基本定理；．?dāng)?shù)學(xué)探索169。（1）掌握平面的基本性質(zhì)。．平面的法向量．點(diǎn)到平面的距離．直線和平面所成的角．向量在平面內(nèi)的射影．?dāng)?shù)學(xué)探索169。．直線和平面垂直的判定．三垂線定理及其逆定理．?dāng)?shù)學(xué)探索169。數(shù)學(xué)探索169。（7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性質(zhì)，會畫直棱柱的直觀圖．?dāng)?shù)學(xué)探索169。（3）掌握直線和平面平行的判定定理和性質(zhì)定理；掌握直線和平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理；掌握斜線在平面上的射影、直線和平面所成的角、直線和平面的距離的概念掌握三垂線定理及其逆定理．?dāng)?shù)學(xué)探索169。數(shù)學(xué)探索169。．對應(yīng)邊分別平行的角．異面直線所成的角．異面直線的公垂線．異面直線的距離．?dāng)?shù)學(xué)探索169。Rx179。a，─b163。（4）了解圓錐曲線的初步應(yīng)用． 167。：數(shù)學(xué)探索169。 3）定義法， 4）待定系數(shù)法.高中數(shù)學(xué)第八章圓錐曲線方程考試內(nèi)容：數(shù)學(xué)探索169。）、斜率:4. 過兩點(diǎn). 當(dāng)（即直線和x軸垂直）時，直線的傾斜角＝，沒有斜率⑵兩條平行線間的距離公式：設(shè)兩條平行直線，它們之間的距離為，則有.注；直線系方程1. 與直線：Ax+By+C= 0平行的直線系方程是：Ax+By+m=0.( m?R, C≠m).2. 與直線：Ax+By+C= 0垂直的直線系方程是：BxAy+m=0.( m?R)3. 過定點(diǎn)（x1,y1）的直線系方程是： A(xx1)+B(yy1)=0 (A,B不全為0)4. 過直線ll2交點(diǎn)的直線系方程：（A1x+B1y+C1）+λ( A2x+B2y+C2）=0 (λ?R） 注：該直線系不含l2.7. 關(guān)于點(diǎn)對稱和關(guān)于某直線對稱：⑴關(guān)于點(diǎn)對稱的兩條直線一定是平行直線，且這個點(diǎn)到兩直線的距離相等.⑵關(guān)于某直線對稱的兩條直線性質(zhì)：若兩條直線平行，則對稱直線也平行，且兩直線到對稱直線距離相等.若兩條直線不平行，則對稱直線必過兩條直線的交點(diǎn)，且對稱直線為兩直線夾角的角平分線.⑶點(diǎn)關(guān)于某一條直線對稱，用中點(diǎn)表示兩對稱點(diǎn)，則中點(diǎn)在對稱直線上（方程①），過兩對稱點(diǎn)的直線方程與對稱直線方程垂直（方程②）①②可解得所求對稱點(diǎn).注：①曲線、直線關(guān)于一直線（）對稱的解法：y換x，x換y. 例：曲線f(x ,y)=0關(guān)于直線y=x–2對稱曲線方程是f(y+2 ,x –2)=0. ②曲線C: f(x ,y)=0關(guān)于點(diǎn)(a ,b)的對稱曲線方程是f(a – x, 2b – y)=0. 二、圓的方程.1. ⑴曲線與方程：在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線上的 與一個二元方程的實(shí)數(shù)建立了如下關(guān)系：①曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個方程的解.②以這個方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).那么這個方程叫做曲線方程；這條曲線叫做方程的曲線（圖形）.⑵曲線和方程的關(guān)系，實(shí)質(zhì)上是曲線上任一點(diǎn)其坐標(biāo)與方程的一種關(guān)系，曲線上任一點(diǎn)是方程的解；反過來，滿足方程的解所對應(yīng)的點(diǎn)是曲線上的點(diǎn).注：如果曲線C的方程是f(x ,y)=0，那么點(diǎn)P0(x0 ,y)線C上的充要條件是f(x0 ,y0)=0 2