高考圓錐曲線(xiàn)典型例題必考-wenkub.com
2025-04-14 12:54 本頁(yè)面
【正文】 所以|AB |＝|BC|＝|CA |.所以菱形 ABCD 的面積 S＝ |AC|2.32又|AC |2＝ (x1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝ ，所以 S＝ (－3n 2＋16) (－ ＜n＜ ).－ 3n2＋ 162 34 433 433所以當(dāng) n＝0 時(shí)，菱形 ABCD 的面積取得最大值 4 .3【點(diǎn)撥】建立“目標(biāo)函數(shù)” ，借助代數(shù)方法求最值，沒(méi)有利用判別式求出 n 的取值范圍，雖然也能得出答案，但是得分損失不少.【變式訓(xùn)練 2】已知拋物線(xiàn) y＝x 2－1 上有一定點(diǎn) B(－1,0)和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) P、Q，若 BP⊥PQ ，則點(diǎn) Q 橫坐標(biāo)的取值范圍是 .【解析】如圖，B(－1,0) ，設(shè) P(xP，x －1) ，Q( xQ，x －1) ，2P 2Q由 kBP2，使 NA ＝ =2 的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) P 在 C 上，|PF 1|=|2PF2|，則 cos∠F 1PF2=(A) （B） (C) (D) 【答案】C435452.【2022 高考安徽理 9】過(guò)拋物線(xiàn) 的焦點(diǎn) 的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于 兩點(diǎn)，點(diǎn) 是原點(diǎn)，若2yx?F,ABO，則 的面積為（ ）3AF?O? 【答案】C()2()B2()C32()D2【例 3】證明：如圖，設(shè) A(x1,2x )，B(x 2,2x )，把 y＝kx＋2 代入 y＝2x 2，得 2x2－kx－2＝0， 21 211由韋達(dá)定理得 x1＋x 2＝ ，x 1x2＝－1，所以 xN＝x M＝ ＝ ，所以點(diǎn) N 的坐標(biāo)為( ， ).k2 x1＋ x22 k4 k4 k28設(shè)拋物線(xiàn)在點(diǎn) N 處的切線(xiàn) l 的方程為 y－ ＝m(x－ )，將 y＝2x 2 代入上式，得 2x2－mx ＋ － ＝0，k28 k4 mk4 k28因?yàn)橹本€(xiàn) l 與拋物線(xiàn) C 相切，所以 Δ＝m 2－8( － )＝m 2－2mk＋k 2＝(m－k) 2＝ 0，所以 m＝k，即 l∥AB.mk4 k28(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù) k，使 A18 x.【變式訓(xùn)練 1】已知 P 是拋物線(xiàn) y2＝2x 上的一點(diǎn)，另一點(diǎn) A(a,0) (a＞0) 滿(mǎn)足| PA|＝d，試求 d 的最小值.【解析】d min＝ .2a－ 1題型二 直線(xiàn)與拋物線(xiàn)位置討論 【例 2】(2022 湖北)已知一條曲線(xiàn) C 在 y 軸右側(cè)，C 上每一點(diǎn)到點(diǎn) F(1,0)的距離減去它到 y 軸距離的差都是 1.(1)求曲線(xiàn) C 的方程；(2)是否存在正數(shù) m，對(duì) 于過(guò)點(diǎn) M(m,0)且與曲線(xiàn) C 有兩個(gè)交點(diǎn) A，B 的任一直線(xiàn)，都有 FBA?＜0？若存在，求出 m 的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 .【解析】(1)y 2＝4x( x＞0).(2)3－2 ＜m＜ 3＋2 .2 2由此可知，存在正數(shù) m，對(duì)于過(guò)點(diǎn) M(m,0)且與曲線(xiàn) C 有兩個(gè)交點(diǎn) A，B 的任一直線(xiàn)，都有 FA215??e25S【例 3】由題意知|x 1|＞ ，A 1(－ ，0)，A 2( ，0) ，則有直線(xiàn) A1P 的方程為 y＝ (x＋ )，①直線(xiàn) A2Q 的方程為 y＝ (x－ ).②方法2 2 2y1x1＋ 2 2 － y1x1－ 2 2一：聯(lián)立①②解得交點(diǎn)坐標(biāo)為 x＝ ，y＝ ，即 x1＝ ，y 1＝ ，③則 x≠0， |x|＜ .2x1 2y1x1 2x 2yx 2而點(diǎn) P(x1，y 1)在雙曲線(xiàn) －y 2＝1 上，所以 －y ＝1.x22 x212 21將③代入上式，整理得所求軌跡 E 的方程為 ＋y 2＝1，x≠0 且 x≠177。若 ， ， 成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為_(kāi)______________.【答案】1A2FB1 5【例 4】 【解析】(Ⅰ)： ．2+13xy?(Ⅱ)易得直線(xiàn) OP 的方程：y＝ x，設(shè) A(xA，y A)，B(x B，y B)，R(x 0，y 0)．其中 y0＝ x0．12∴ ．2 0+13343442AABABBBxkxyyy?????????????設(shè)直線(xiàn) AB 的方程為 l：y ＝﹣ (m≠0)，入橢圓： ．顯然32x?222+13330xmyx?????????＝ ．∴﹣ ＜m＜ 且 m≠0．由上又有： ＝m， ＝ ．222(3)4(3)(1)0m???????12ABxABy?23?∴|AB|＝ | |＝ ＝ ．1ABk?xABk?()4BABxx?ABk?243?∵點(diǎn) P(2，1) 到直線(xiàn) l 的距離表示為： ．312ABABdk???∴S ABP＝ d|AB|＝ |m＋2| ，當(dāng)|m＋2|＝ ，即 m＝﹣3 或 m＝0(舍去)時(shí)，(S ABP)max＝ ．?1224324?12此時(shí)直線(xiàn) l 的方程 y＝﹣ ．3x?5【變式訓(xùn)練 4】 【解析】 （1）設(shè)2cab?? 由23ceaa???，所以2213bca??設(shè) (,)Pxy是橢圓 C上任意一點(diǎn)，則21xy?，所以222()yx22222|()3()16Qaa??????? 當(dāng) 1b?時(shí)，當(dāng) y時(shí)， |P有最大值 6?，可得 3a，所以 ,bc? 當(dāng) ?時(shí)，226b? 不合題意故橢圓 C的方程為：213xy?? （2） AOB?中， ，1sin22AOBSAOB???? 當(dāng)且僅當(dāng) 90??時(shí)， 有最大值 ， ??時(shí)，點(diǎn) 到直線(xiàn) 的距離為 2d? 21dmnn??? 又2 2313,m???，此時(shí)點(diǎn)62(,)M?。.(1)求橢圓離心率的范圍； (2)求證：△F 1PF2 的面積只與橢圓的短軸長(zhǎng)有關(guān).【解析】(1)e 的取值范圍是[ ，1).(2) 21FPS＝ mnsin 60176。＝ b2，12 12 33【點(diǎn)撥】橢圓中△F 1PF2 往往稱(chēng)為焦點(diǎn)三角形，求解有關(guān)問(wèn)題時(shí)，要注意正、余弦定理，面積公式的使用；求范圍時(shí)，要特別注意橢圓定義(或性質(zhì)) 與不等式的聯(lián)合使用，如 |PF1| 6 雙曲
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