【正文】 ( )* 0ihx ? *1( ) 0im ikkx????*()ik x? *()ik x?1, 2 , , ikm? *( ) 0ik x? ?* ( ) *( ) ( ) 0 , 1 , 2 , ,ii k i iE x s E x k m? ? ?* ( ) *( ) ( ) , 1 , 2 , ,ii k i iE x s E x k m??1, 2 , ,in? *x G 對于上述局中人 的策略 ，由（ ）式有： i ()*ihx( ) * * ( ) *( ) ***11()1 ( ) 1 ( )iiiii h ih hh mmik ikkkx x xxxx????????????《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 84167。 而由 的定義，所有的 都是非負的，所以從上式可知，對于每個 ， 。根據(jù) Brouwer 不動點定理，存在不動點 ， 其中 ，使得 ( ) ( )10 , 1 , 2 , , , 1imiik i kky k m y?? ? ?? ( ) ( ) ( )12( , , , )ii i iimy y y y?( ) ( ) ( )12( , , , )ii i iimy y y y? xi12( , , , )ny y y y?x* * * *12( , , , )nx x x x?* ( ) * ( ) * ( ) *12( , , , ) , 1 , 2 , ,ii i ii m ix x x x X i n? ? ?( ) * *( ) **1() , 1 , 2 , , , 1 , 2 , ,1 ( )iii k i kkimikkxxx k m i nx????? ? ?? ?() 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 82定理 (續(xù) ) 該不動點就是博弈 的混合策略納什均衡的證明 —— 首先，對于任意的混合策略局勢 ，每個局中人 必有一個純策略 ，使得 ，且 因此，對于 ，局中人 的策略 中必定包含一個 ，使得 ， 從而 。 i)()||( )( ?? ? xEsxE iiki imk ,2,1 ??( ) ( ) ( )12{ , , } ,ii i ii m ix x x x X?? iim)(ikx)()()( )()||( ikiikiki xxExsxE ?? ? imk ,2,1 ??k im??????? ii mkikiikikmii xxExsxE1)()()(1)()||(( || )iiE x x?( || ) ( )i i iE x x E x??? ni ,2,1 ???x G《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 79定理 每個 人非合作博弈 必有 混合策略納什均衡 n }]{},{,[ ii PXNG ?《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 80定理 證明：設 是 的任意混合策略局勢。 充分性。 是 的一個混合策略納什均衡點的充分必要條件是：對于每個局中人 和每個純策略 ，有 。 在混合策略的情形下 ， 一個 人非合作博弈可以用下面的記號來表示： },2,1{ nN ??i( ) ( ) ( )12{ } { ( , , , ) } , 1 , 2 ,ii i ii i mX x x x x i n? ? ?)()(2)(1 , imiiixxx ?( ) , 1 , 2 , ,iiP P s i n??)( xEE ii ? i12( , , )nx x x x?}]{},{,[ ii PXNG ?niP《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 75混合策略納什均衡點和均衡結(jié)果 設 是 人非合作博弈 的一個混合策略局勢。其中 ， ， 。 混合策略納什均衡點的存在性定理 167。這里 應該滿足： （ ） ip i[0 , ]iS ? ?? 1,2i ?12( , )iD p pixi2,1?ix xxx12 ( 1 )p t x p t x? ? ? ?《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 67豪泰林價格競爭模型（續(xù)） ? 解（ ）式得需求函數(shù)分別為： （ ） （ ） ? 兩商店利潤函數(shù)分別為： （ ） （ ） 211 1 2( , ) 2p p tD p p x t????122 1 2( , ) 1 2p p tD p p x t??? ? ?1 1 2 1 1 1 2 1 2 11( , ) ( ) ( , ) ( ) ( )2p p p c D p p p c p p tt? ? ? ? ? ? ?2 1 2 2 2 1 2 2 1 21( , ) ( ) ( , ) ( ) ( )2p p p c D p p p c p p tt? ? ? ? ? ? ?《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 68豪泰林價格競爭模型（續(xù)） ? 商店選擇自己的價格 以最大化自己的利潤。另外所有消費者都可能到兩家商店購買，即他們都能獲得消費剩余。每個商店具有相同的單位產(chǎn)品成本為 。 **G** *???nn() 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 64例 豪泰林價格競爭模型 在古諾特模型中，產(chǎn)品是同質(zhì)的。( ) 2 ( ) ( ) 0f G v G G v G? ? ?* **GG?n* * * * *()in G v G G C??? ? ?* * * * * * * *()G v G G C? ??《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 63例 公共地的悲劇 (續(xù) ) 由于 是（ ）式的最優(yōu)解，則必有 : （ ）式表明，在均衡點時， 個牧民牧養(yǎng)羊的總數(shù)超過社會最優(yōu)條件下的牧養(yǎng)總數(shù)。 *1( ) ( ) ( ) 0nf G f G G v Gn?? ? ?39。 * * * * * 39。 *( ) ( ) 0 , 1 , 2 , ,iv G q v G c i n? ? ? ?n* * 39。11( ) ( ) 0 , 1 , 2 , ,i n i i nv q q q q v q q q c i n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?() v nn* * *12( , , , )nq q q《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 60例 公共地的悲劇 (續(xù) ) 公共地的悲劇的意義 —— 將上面的 人非合作博弈的牧養(yǎng)羊納什均衡結(jié)果與草地在非公共地的情況下，即由社會計劃管理者進行管理作對比研究。 niiq [ 0 , ) , 1 , 2 , ,iS i n? ?? ?1 2 1 1( , , , , , , )i i nq q q q q?? i iq1( ) , 1 , 2 , ,i i i n iq v q q q c q i n? ? ? ? ? ? ? ?() iiq 1, 2, ,in?《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 59例 公共地的悲劇 (續(xù) ) 這構(gòu)成了一個 人非合作博弈的問題，需要求平衡局勢，即納什均衡。 ( ) 0vG? () 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 58例 公共地的悲劇 (續(xù) ) 每年春天， 個牧民同時分別選擇牧養(yǎng)羊的數(shù)量。對一只羊的價值 的上述特征用公式表示，則為 : ， 。當草地上的羊的總頭數(shù)為 時，牧民養(yǎng)的一只羊的價值為 ，設 。 1p 2p( , )i i j i jq p p a p b p? ? ?ijc ac ?iis0ip ?[ 0 , )iS ? ??《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 55伯川德雙寡頭壟斷模型（續(xù)） 企業(yè) 選擇價格 ，對手 選擇價格 ，企業(yè)的利潤為： （ ） 對于企業(yè) 1來說，若企業(yè) 2選定的價格為 ，它確定自己的價格 以追求最大利潤 對企業(yè) 1求 并且令 解得： （ ） i ip j jp( , ) ( , ) ( ) ( ) ( )i i j i i j i i j ip p q p p p c a p b p p c? ? ? ? ? ? ?*2p1p11**1 1 2 1 2 100m a x ( , ) m a x ( ) ( )pp p p a p b p p c?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?11p???110p?? ??**121 ()2p a bp c? ? ?《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 56 伯川德雙寡頭壟斷模型（續(xù)） 同理，可得企業(yè) 2的最優(yōu)價格 （ ） 聯(lián)立 （ ）（ ） 解方程組得： （ ） 均衡結(jié)果為： （ ） **211 ()2p a bp c? ? ?**12 2acppb????212 ( ) ( ) [ ]2 2 2 2cc a c a c a c a c b ca b cb b b b??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） ?? 《 博弈論及其應用 》 （汪賢裕） 57例 公共地的悲劇 考慮有相同情況的 個牧民組成的某個牧民村，他們共同擁有一片草地。消費者對企業(yè)的產(chǎn)品的需求為： 其中 0b1，即只限于企業(yè) 的產(chǎn)品和企業(yè) 產(chǎn)品具有相互替代的情況。造成這種差別的原因在于，納什均衡是多人決策，而多目標規(guī)劃是單人決策。而此時古諾模型的納什均衡為： 12 3cc acqq ??? 對應的收益為圖 C點，即兩廠商的收益分別是 。 ? 直線 AB的確定 若兩廠商由一個壟斷集團控制，則最優(yōu)產(chǎn)量為