【正文】 為求出 C C C3在目標層 A中所占的權值，構造 O－ C層的成對比較矩陣，設構造出的成對比較判斷知陣 A= 111535 1 31313?????????????? 3 1 1 1 5 3 C1 C2 C3 C1 C2 C3 0 1313于是經計算， A的最大特征根 λmax=， CI=，查表得 RI = ，故 CR = 。 再對 A作一致性檢驗：計算 ， 查表得到對應于 n的 RI值，求 ， 若 CR，則一致性較為滿意，以 i作為因子 xi在上層因子 Z中所具有的權值。 對 n =1,…,11, ， Saaty給出了 RI的值，如表 。當CI略大于零時（對應地， λmax稍大于 n）， A具有較為滿意的一致性；否則， A的一致性就較差。 m a x 1 nCI n? ?? ?容易看出，當且僅當 A為一致矩陣時， CI = 0。 根據定理 ，我們可以由 λmax是否等于 n來檢驗判斷矩陣 A是否為一致矩陣。 jiij wwa ?再證明充分性。 證明： 設正互反矩陣 A的最大特征根為 λmax， 對應的特征向量為 W=（ w1,…, w n） T。 A的其余特征根均為零。（證明從略） 現在來考察一致矩陣 A的性質，回復到將單位重量的大石塊剖分成重量為 1,…, n的 n塊小石塊的例子，如果判斷者的判斷結果完全一致，則構造出來的一致矩陣為 ? ?1 1 1122 2 21212nnn n nnA? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ????????????????????????容易看出，一致矩陣 A具有以下性質： 定理 若 A為一致矩陣，則 （ 1） A必為正互反矩陣。更何況比較時采用了1~9標度，已經接受了一定程度的誤差，就不應再要求最終判斷矩陣的嚴格一致性。但綜合全部比較結果時，其中難免包含一定程度的非一致性。 從心理學觀點來看，分級太多會超越人們的判斷能力，既增加了作判斷的難度，又容易因此而提供虛假數據。 1ji ija a?關于如何確定 aij的值， Saaty等建議引用數字 1~9及其倒數作為標度。 設現在要比較 n個因子 X = {x1,…, xn}對某因素 Z的影響大小，怎樣比較才能提供可信的數據呢？ Saaty等人建議可以采取對因子進行兩兩比較建立成對比較矩陣的辦法。雖然你必須讓決策者根據經驗提供這些數據，但假如你提出“調動職工積極性在判斷利潤利用是否合理中占百分之幾的比例”之類的問題，不僅會讓人感到難以精確回答，而且還會使人感到你書生氣十足，不能勝任這一工作。 建立層次結構模型是進行層次分析的基礎，它將思維過程結構化、層次化，為進一步分析研究創(chuàng)造了條件。 根據決策者的意圖，可以建立起本問題的層次結構模型如圖 。與其他決策問題一樣，研究分析者不一定是決策者，不應自作主張地作出決策?？晒┻x擇的方案有：給職工發(fā)獎金、擴建企業(yè)的福利設施（改善企業(yè)環(huán)境、改善食堂等）和引進新技術新設備。層次分析法將人們的思維過程層次化，逐層比較其間的相關因素并逐層檢驗比較結果是否合理，從而為分析決策提供了較具說服力的定量依據，層次分析法的提出不僅為處理這類問題提供了一種實用的決策方法，而且也提供了一個在處理機理比較模糊的問題時，如何通過科學分析，在系統(tǒng)全面分析機理及因果關系的基礎上建立數學模型的范例。社會的發(fā)展導致了社會結構、經濟體系及人們之間相互關系的日益復雜，人們希望能在錯綜復雜的情況下，利用各種信息，通過理智的、科學的分析，作出最佳決策。 00 .6 7uukkk ??因為 ， 但 。故總期望損失為 ? ? ? ? ? ?? ?10 ( ) ( ) ( ) ( )naauaK k P k P?? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ???若 *為最優(yōu)進貨量，則必有 ?* * 1KK????且 * * 1KK????由此經平凡的計算可以得出：最佳進貨量 *應使 ?11* 1 *0( ) ( )aauukPPkk? ? ? ???????????成立（推導過程從略）。 例 （離散報童模型）設某商品的需求量 θ為離散變量，其取值范圍為Q = { 1,… , n}， 取值 i的概率為 P( i )， =1。因為幾元錢的損失對他來講是無所謂的事，小額獎金他也許看不上眼，要中就來個大獎。 ?不難看出，對于不確定型決策問題，不論采用什么方法決策，最終采用的策略都不能稱為最佳策略。易見， t=1對應樂觀法，而 t=0則對應于悲觀法。 因為 max {4, 3， 1， 3} = 4, 采取方案 1。他先計算每一方案的最大收益值，再比較找出其中的最大者，并采取這一使最大收益最大的方案，在例 ， max a1j = 6， max a2j = 8， max a3j = 9， max a4j = 6，而 max {6， 8， 9， 6}=9， 采取方案 3。 二、不確定型決策問題 只知道有幾種可能自然狀態(tài)發(fā)生，但各種自然狀態(tài)發(fā)生的概率未知的決策問題稱為不確定型決策問題，由于概率未知，期望值方法不能用于這類決策問題。 結論 最佳決策為前 15天按正常速度施工， 15天后按實際出現的天氣狀況再作決定。 在決策樹上由右向左計算各機會節(jié)點處的期望值，并將結果標在節(jié)點旁。為便于分析和決策，采用決策樹方法。 根據上述情況，試作出最佳決策使支付的額外費用最少。實施此應急措施有三種可能結果：有 50%可能減少誤工期 1天，支付應急費用和延期損失費共 24000元；有 30%可能減少誤工期 2天，支付應急費用和延期損失費共 18000元；有20%可能減少誤工期 3天，支付應急費用和延期損失費共 12022元。 （ 2）先按正常速度施工， 15天后根據實際出現的天氣狀況再作決策。 例 某工程按正常速度施工時，若無壞天氣影響可確保在 30天內按期完工。 ?? ?在選取策略 i而出現狀態(tài) j時后悔值為 的理由是在 出現狀態(tài) j情況下的最大可能收益為 。 ?? m a xij k j ijkl a a??例如，如果不鉆井，但事實上該處可開出一口高產井，則后悔值為 40。 對于風險型決策問題，最常用的決策方法是期望值法，即根據各方案的期望收益或期望損失來評估各方案的優(yōu)劣并據此作出決策。在本節(jié)中，我們主要討論風險型與不確定型決策，并介紹它們的求解方法。 確定型決策是只存在一種可能自然狀態(tài)的決策問題。盡管勘探隊已作了大量調研分析，但由于地下結構極為復雜，仍無法準確預測開采的結果，決策者可以決定鉆井，也可以決定不鉆井。面臨的幾種自然情況叫做自然狀態(tài)或簡稱狀態(tài)。這一部分工作既具有一定的創(chuàng)造性又在很大程度上影響到結果，對它研究也是十分有趣的。 ? ? ?圖 對情況 2，可求得守方的贏得矩陣為 7 1 95 55 7 1 1 55 55A???????此時，矩陣 A中不存在鞍點，對策無穩(wěn)定解，應采用混合策略。 ? ?? ? ?圖 情況 1求解：容易求得守方的贏得矩陣 1 0 .8 7 0 .4 3 50 .8 7 0 .8 72110 .9 5 0 .9 5 0 .4 7 5 0 .4 7 522110 .9 8 0 .9 8 0 .4 9 0 .2 4 524A?? ????? ?????? ??? ? ? ????? ???? ????????這是一個有鞍點的矩陣，鞍點為 a22。 表 布雷密度 1 2 殺傷率 根據上表，在確定方案后即可根據各段不同密度針對攻方的進攻策略計算出坦克的殺傷率。按常規(guī)做法，在防御正面上一般采用同一種技術密度。 ? ? ?問采取哪一方案或什么樣的混合策略能有效擊毀敵方的坦克？ 本例在過去一般是憑指揮員的作戰(zhàn)經驗定性決策的，現用矩陣對策方法進行定量擇優(yōu)。 分析 評價防坦克地雷場的重要指標是戰(zhàn)斗效力，而布雷密度是基本因素之一。事實上，當時雙方指揮官正是這樣決策的，如果真能實行，雙方勝負還難以料定。在 Bradleg構造的矩陣中容易發(fā)現 a1j＜ a3j, j=1,2 故 3優(yōu)于 1。 ? ?定理 對于矩陣對策 G= { SA, SB, R}，若矩陣 R的某行優(yōu)于第 i1,……, ik行， 則局中人 A在選取最優(yōu)策略時，必取 。可以求得 ， ， ，不存在穩(wěn)定解，需要考慮其他解法。 ? ?56（ 6）（ 3, 2），美后備軍待命。這樣，美軍將占領海峽并徹底殲滅德軍第九軍。若 B采取策略 1，即德軍采取攻勢，則有 ?（ 1）（ 1, 1），估計美軍擊敗德軍并占領海峽的可能性（即概率）為 ? ? 13（ 2）（ 2, 1），估計美軍取勝的可能為 。 雙方應如何決策，使自己能有較大的機會贏得戰(zhàn)爭的勝利呢？ 我們將用建立矩陣對策模型的方法，來試圖求得雙方的最優(yōu)策略。 美軍方面的指揮官是 Bradley將軍，德軍指揮官是 Von Kluge將軍。 最后，我們來考察幾個對策問題的實例?？磥?，對這一對策問題，雙方最好還是握手言和，相互配合，先取得總體上的最大獲利，然后再按某一雙方均認為較為合理的方式來分享這一已經獲得的最大獲利。 表 B方 A方 1 2 3 1 2 3 4 （ 8,2） （ 3,4） （ 1,6） （ 4,2） （ 0,9） （ 9,0） （ 6,2） （ 4,6） （ 7,3） （ 2,7） （ 8,1） （ 5,1） 假如 A、 B雙方仍采取穩(wěn)妥的辦法， A發(fā)現如采取策略 4，則至少可獲利4，而 B發(fā)現如采取策略 1，則至少可獲利 2。 為了尋找例 A方的最優(yōu)混合策略，求解線性規(guī)劃 min u + x2 ≤u x1 + ≤u x1 + x2 = 1 x1 , x2 ≥0 可得最優(yōu)混合策略 x1 =, x2 =。 記 ，由于 ， 在 yk=1， yj=0 （ j≠k）時達到最大值 u， m a xKjju E E?11n jjy???1m a x n jjyjEy??故 應為線性規(guī)劃問題 X1nij iia x u???min u , j=1, 2, …, n (即 Ej≤Ek) 11m iix???xi≥0, i =1,2,…, m 的解。設兩直線段相交于 N， 并設 N對應于 。 但當 m2且 n2時，采用幾何方法求解就變得相當麻煩， 此時通常采用線性規(guī)劃方法求解。在 x軸上取長度為 1的線段，左端點為 x=0，右端點為 x=1。故對A方選取的最佳概率 x1和 x2，必滿足： ???? ? ???1 2 1 2120 . 8 2 0 . 5 81x x x xxx? ? ??? ???即 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 212 1a x a x a x a xxx? ? ??? ???由此解得 x1=， x2=。 ? ?? ?先從 B方來考慮問題。一旦戰(zhàn)斗機未被擊落，它將以 擊毀其選中的轟炸機。兩架轟炸機中只有一架帶有炸彈，而另一架僅為護航。 m a x m inT T TxyX R Y X R Y x R Y??X Y定理 （ Von Neumann）任意混合策略對