【正文】 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 100/226 例 : 設(shè) n個元素的集合 A上的全體置換構(gòu)成集合Sn， 證明 Sn， ?構(gòu)成群 。 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 98/226 Zk{[0]} ， ?是不是群呢 ？ 不一定 ！ Z4{[0]}={[1]， [2]， [3]}， 而 [2]?[2]=[0]? Z4{[0]} ∴ Z4{[0]}， ?不是群 。 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 96/226 Zk{[0]} ， ?是不是群呢 ？ 不一定 ！ Z4{[0]}={[1]， [2]， [3]}， 而 [2]?[2]=[0]? Z4{[0]} ∴ Z4{[0]}， ?不是群 。 Zk ， ?不是群 ， 因?yàn)殡m然它滿足封閉性和可結(jié)合性 ， 且 [1]是它的幺元 ， 但是 [0]無 ?逆元 ，所以它僅僅是一個含幺半群 。 [0]是 ?的幺元 ，每元 [i]的 ?逆元是 [ki]。 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 90/226 推廣 設(shè) G， *是一個群 ， H1， H2， ? ， Hn是 G的 n個子群 ， 則有 H＝ H1∩H 2∩ ? ∩H n是 G的子群 。 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 89/226 ? 例： 設(shè) G， *是一個群 ， H1， H2是 G的兩個子群 。 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 88/226 ? 例： 設(shè) G， *是一個群 ， H1， H2是 G的兩個子群 。 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 87/226 ? 例： 設(shè) G， *是一個群 ， H1， H2是 G的兩個子群 。 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 86/226 ? 例： 設(shè) G， *是一個群 ， H1， H2是 G的兩個子群 。 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 85/226 例 : 設(shè) Z， +是一個整數(shù)加群 ， 令： H＝ {nk|k?Z且 n是一個取定的自然數(shù) }， 證明 H,+是 Z,+的一個子群 。 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 84/226 例 : 設(shè) Z， +是一個整數(shù)加群 ， 令： H＝ {nk|k?Z且 n是一個取定的自然數(shù) }， 證明 H,+是 Z,+的一個子群 。 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 83/226 例 : 設(shè) Z， +是一個整數(shù)加群 ， 令： H＝ {nk|k?Z且 n是一個 取定的自然數(shù) }， 證明 H,+是 Z,+的一個子群 。 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 81/226 3)、 逆元存在： 對 ?a?C， 有： 對 ?x?G， a*x＝ x*a ∵C ?G， ∴ a?G， 即有： a1?G， 有： a1*(a*x)*a1＝ a1*(x*a)*a1， 即有： x*a1＝ a1*x， 所以 a1?C。 證明 : 1) 非空性：對 ?x?G， 由于幺元 e?G存在 ， 所以有 : e*x＝ x*e＝ x， 即 e?C， 所以 C是非空的； 2) 封閉性：對 ?a， b?C， 則有：對 ?x?G a*x＝ x*a， b*x＝ x*b， ∴ (a*b)*x＝ a*(b*x)＝ a*(x*b) ＝ (a*x)*b＝ (x*a)*b＝ x*(a*b)， 即： a*b?C； 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 78/226 例 : 設(shè) G， *是一個群 ， 令： C＝ {a|a?G且對 ?x?G，有： a*x＝ x*a} 證明 C， *是 G， *的一個子群。?S， 由條件知： a*(b185。?S。)185。 3) 逆元存在： 對 ?a,b?S， 有 a*b1?S， 對 ?b?S， 由 eG?S， 有 b185。?S， 即 a*b?S. 由 1)、 2)、 3)、 4)知 :S,*是 G,*的子群 。＝ eG*b185。 所以必要性成立； “?”由子群的定義知 ， 需證明如下四點(diǎn)： 1) S是非空的子集； 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 74/226 2) 幺元存在： 由于 S?Φ ， 所以有 a?S， 由對?a,b?S,有 a*b185。 所以必要性成立； “?”由子群的定義知 ， 需證明如下四點(diǎn)： 1) S是非空的子集； 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 72/226 ?定理 設(shè) G， *是一個群 ， S是 G的一個非空子集 ， 則 S， * 是 G， *的子群的充要條件是：對 ?a， b?S， 有 a*b1?S。 證明： 1)對 ?a?S， 由于 eS是 S的幺元 ， 所以有： eS*a＝ a*eS＝ a ① 又 S?G,所以 a?G,由 eG是 G的幺元 ， 所以有： eG*a＝ a*eG＝ a ② 由 ① 、 ② 有： eS*a＝ a*eS＝ a＝ eG*a＝ a*eG， 由于 G滿足消去律 ， 所以有： eS＝ eG。 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 69/226 ? 定理 設(shè) G,*是一個群 ,S,*是 G,*的子群 ,則 : 1） 子群 S， *的幺元 eS也是群 G， *的幺元 eG； 2） 對 ?a?S， a在 S中的逆元 aS1就是 a在 G中的逆元 aG1。 2)對 ?a?S， 由于 S?G， 所以 a?G， 即 a在 S中的逆元就是 a在 G中的逆元 。 證明： 1)對 ?a?S， 由于 eS是 S的幺元 ， 所以有： eS*a＝ a*eS＝ a ① 又 S?G,所以 a?G,由 eG是 G的幺元 ， 所以有： eG*a＝ a*eG＝ a ② 由 ① 、 ② 有： eS*a＝ a*eS＝ a＝ eG*a＝ a*eG， 由于 G滿足消去律 ， 所以有： eS＝ eG。 對任意的 an， am∈S ， 則 an*am＝ an+m， 由 n,m∈Z ， 有 n+m∈Z ， 所以 an+m∈S ， 即運(yùn)算是封閉的；由 S是 G的子集可得結(jié)合律也成立；由于 e=a0?S ， 所以 S中有幺元； 又 ∵ an ?S有逆元 an使 an*an=e ∴ 綜上所述 ， S， *是 G， *的子群 。 證明： 因?yàn)?a∈S ， 所以顯然 S是 G的非空子集 。 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 62/226 ? 定理 設(shè) G， *是一個群 ， 對任意的 a∈G ， 令 S＝ {an|n∈Z ， Z是整數(shù) }， 則 S， *是 G， *的子群 。 對任意的 an， am∈S ， 則 an*am＝ an+m， 由 n,m∈Z ， 有 n+m∈Z ， 所以 an+m∈S ， 即運(yùn)算是封閉的；由 S是 G的子集可得結(jié)合律也成立；由于 e=a0?S ， 所以 S中有幺元； 又 ∵ an ?S有逆元 an使 an*an=e ∴ 綜上所述 ， S， *是 G， *的子群 。 ? 另外 ， 由群中的一個元素也可生成一個子群 。 ? 另外 ， 由群中的一個元素也可生成一個子群 。 ? 另外 ， 由群中的一個元素也可生成一個子群 。 ” 構(gòu)成群 G， 。 綜合 （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） 知 S， 。 （ 4） ?f,g∈S 是雙射 ， 則 f的逆函數(shù) f1存在 ， f1也 是雙射 ， 即 f1∈S ， 且有： f1。 證明： （ 續(xù) ） （ 3） 幺元 ： 恒等映射 IX ∈S, 且 ?f∈S ， 有： IX。 是群 。 f=f。 f=f。 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 54/226 ? 例： 設(shè) X是任意集合 ， S={f:X→ X|f是雙射函數(shù) }， 即 S是 X上的所有雙射函數(shù)的集合 ， 運(yùn)算 “ 。 g也是雙射 ， 因此 f。 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 53/226 ? 例： 設(shè) X是任意集合 ， S={f:X→ X|f是雙射函數(shù) }， 即 S是 X上的所有雙射函數(shù)的集合 ， 運(yùn)算 “ 。 g也是雙射 ， 因此 f。 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 52/226 ? 例： 設(shè) X是任意集合 ， S={f:X→ X|f是雙射函數(shù) }， 即 S是 X上的所有雙射函數(shù)的集合 ， 運(yùn)算 “ 。 g也是雙射 ， 因此 f。 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 51/226 ? 例： 設(shè) X是任意集合 ， S={f:X→ X|f是雙射函數(shù) }， 即 S是 X上的所有雙射函數(shù)的集合 ， 運(yùn)算 “ 。 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 49/226 補(bǔ)充 ?例： 構(gòu)造一個 3階群 。 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 43/226 定理 1) 群 G中每個元素都是可消去的 ， 即運(yùn)算滿足消去律 ； （ 即如果 a*b=a*c， 則必有 b=c） 2) 群 G中除幺元 e外無其它冪等元； 3) 群 G的運(yùn)算表中任意一行 (列 )都沒有兩個相同的元素 （ 重復(fù)元素 ） ； 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 44/226 定理 1) 群 G中每個元素都是可消去的 ， 即運(yùn)算滿足消去律 ； （ 即如果 a*b=a*c， 則必有 b=c） 2) 群 G中除幺元 e外無其它冪等元； 3) 群 G的運(yùn)算表中任意一行 (列 )都沒有兩個相同的元素 （ 重復(fù)元素 ） ； 證明： 由于群 G中每個元素都有逆元 a1， 由 a*b=a*c ? a1*a*b=a1*a*c，即 b=c 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 45/226 定理 1) 群 G中每個元素都是可消去的 ， 即運(yùn)算滿足消去律； （ 即如果 a*b=a*c， 則必有 b=c） 2) 群 G中除幺元 e外無其它冪等元； 3) 群 G的運(yùn)算表中任意一行 (列 )都沒有兩個相同的元素 （ 重復(fù)元素 ） ； 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 46/226 定理 1) 群 G中每個元素都是可消去的 ， 即運(yùn)算滿足消去律； （ 即如果 a*b=a*c， 則必有 b=c） 2) 群 G中除幺元 e外無其它冪等元； 3) 群 G的運(yùn)算表中任意一行 (列 )都沒有兩個相同的元素 （ 重復(fù)元素 ） ； 證明：（反證法） 假設(shè) a是群 G中非幺元的冪等元，即 a*a＝ a，且 a≠e 。 同理 ， 對 ?b?G， 方程 x*b=e有解 x0， 這個 x0是 b的左逆元 ， 方程 b*y=e的解是 b的右逆元 ， 從而 b有逆元 。 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 42/226 群 ? 定理 如果 G,*是半群 ， 并且對 ?a， b?G， 都存在 x， y?G 使 x*a=b， a*y=b， 則 G,*是群 。 證明： 設(shè) a?G， 方程 x*a=a 的解為 e1， ∵ 對 ?t?G， 方程 a*y=t 有解 y0， ∴ e1*t= e1*（ a*y0） =（ e1*a） *y0 =a*y0=t 即對 ?t?G， 必有 e1*t=t， e1是 G中的左幺元 。 同理 ， 對 ?b?G， 方程 x*b=e有解 x0， 這個 x0是 b的左逆元 ， 方程 b*y=e的解是 b的右逆元 ， 從而 b有逆元 。 2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 40/226 群 ? 定理 如果 G,*是半群 ， 并且對 ?a， b?G， 都存在 x， y?G 使 x*a=b， a*y=b， 則 G,*是群 。 證明： 設(shè) a?G， 方程 x*a=a 的解為 e1， ∵ 對 ?t?G， 方程 a*y=t 有解 y0， ∴ e1*t= e1*（ a*y0） =（ e1*a） *y0 =a*y0=t 即對 ?t?G， 必有 e1*t=t， e1是 G中的左幺元 。 同理 ， 對 ?b?G， 方程 x*b=e有解 x0， 這個 x0是 b的左逆元 ， 方程 b*y=e的解是 b的右逆元 ， 從而 b有逆元 。 ??2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 38/226 群 ? 定理 如果 G,*是半群 ， 并且對 ?a， b?G， 都存在 x， y?G 使 x*a=b， a*y=b， 則 G,*是 群 。 ??2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 37/226 ? 例 設(shè) n個元素的集合 A上的全體置換構(gòu)成集合 Sn。 ? ?[ ] [ ] [ ] ( ) ( m o d ) ,[ ] [ ] [ ] ( m o d ) ,i j t i j t ki j t ij t k? ? ? ? ?? ? ? ?,kZ? ??,kZ? ??2022/2/13 計(jì)算機(jī)學(xué)院 36/226 ? 例 設(shè) n個元素的集合 A