姜啟源編數(shù)學(xué)模型第四版第三章簡單的優(yōu)化模型-wenkub.com
2025-01-10 21:00 本頁面
【正文】 C H L l l1 r r1 ? ? 模型建立 q q1 q1 A B B180。 x2* 對消費者更有利 對甲商品生產(chǎn)不利 生產(chǎn)者的決策 背景 根據(jù)經(jīng)濟學(xué)的又一條最優(yōu)化原理 ——―生產(chǎn)者追求最大利潤” ，用數(shù)學(xué)建模的方法 幫助生產(chǎn)者或供銷商做出決策 . 生產(chǎn)者或供銷商根據(jù)產(chǎn)品的成本和產(chǎn)值決定投入，按照商品的銷售情況制訂價格 . 在市場經(jīng)濟中 “消費者追求最大效用” ，生產(chǎn)者呢？ 最大利潤模型 x~產(chǎn)品產(chǎn)量 f 39。 補貼 前的消費點 Q BA ??消費線 過 Q, 與 l39。 x1 x2 幾何分析 x2 u(x1,x2) = c x1 O 1l2l3lc增加 u(x1, x2) = c 單調(diào)減、下凸、互不相交 . 在條件 p1 x1+p2 x2 =y 下使 效用函數(shù) u(x1, x2)最大 . AB必與一條等效用線相切于 Q點 (消費點 ). Q (x1, x2) 唯一 . 消費線 AB 模型求解 yxpxpxxu?? 221121s .t .),(m a x引入拉格朗日 乘子 λ構(gòu)造函數(shù) )(),(),( 22112121 xpxpyxxuxxL ???? ??0,021?????? xLxL與幾何分析得到的 Q 一致 21 1 2d /dx uux x x??????等效用線 u (x1, x2)=c的斜率 消費線 AB的斜率 21 / pp?21,2,12121ppxuxuxxxx?????2121ppxuxu?????結(jié)果解釋 效用函數(shù) 的構(gòu)造 等效用線 u (x1, x2)=c 所確定的函數(shù) x2(x1)單調(diào)減、下凸 . ? 解釋條件中正負(fù)號的實際意義 2 2 2221 2 1 2 1 20 , 0 , 0 , 0 , 0u u u u ux x x x x x? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?充分條件 當(dāng)商品邊際效用之比等于它們價格之比時效用函數(shù)最大 . 21, xuxu ???? ~ 邊際效用 ——商品數(shù)量 增加一個單位時效用的增量 0,)(.1 121??? ? ???? xxu效用函數(shù) u(x1,x2)幾種常用的形式 ???? ?? ,212211ppxpxp? 購買兩種商品費用之比與二者價格之比的平方根成正比 , 比例系數(shù)是參數(shù) α與 β之比的平方根 . ? u(x1,x2)中參數(shù) ?, ?分別度量甲乙兩種商品對消費者的效用，或者消費者對甲乙兩種商品的偏愛 . 2121ppxuxu?????1,0,.2 21 ??? ???? xxu0,)(.3 221 ??? baxbxau???2211xpxp? 購買兩種商品費用之比 只取決于 λ,μ, 與價格無關(guān) . ? u(x1,x2)中 ?,? 分別 度量兩種商品的效用或者 偏愛 . 實際應(yīng)用時 根據(jù)對最優(yōu)解的分析，決定采用哪種效用函數(shù)，并由經(jīng)驗數(shù)據(jù)確定其參數(shù) . 2121ppxuxu?????效用函數(shù) u(x1,x2)幾種常用的形式 效用最大化模型應(yīng)用舉例 例 1 征銷售稅還是征收入稅 政府從消費者身上征稅的兩種辦法 : ? 銷售稅 ~ 根據(jù)消費者購買若干種商品時花的錢征稅 ? 收入稅 ~ 根據(jù)消費者的收入征收所得稅 利用圖形從效用函數(shù)和效用最大化的角度討論 征稅前設(shè)甲乙兩種商品的單價為 p1, p2，消費者準(zhǔn)備花的錢為 y, 等效用線為 u (x1, x2)=c，消費點為 Q(x1, x2) . l1 Q1 B1 x1* l2 Q2 B2 A2 x1 B A Q u(x1, x2) =c O x2 x1 l 例 1 征銷售稅還是征收入稅 對甲商品征 銷售稅 , 稅率為 p0 征稅前的消費點 Q yxpxpp ??? 22101 )(? 消費線 AB1, B1在 B的左邊 ? AB1與 l1相切于 Q1(x1*, x2*) 若改為征 收入稅 ? 政府得到的銷售稅額 p0x1* ? 征收的稅額與銷售稅額 p0x1*相同 *102211 xpyxpxp ???? 消費線 A2B2與 l2相切于 Q2, 可證 B2在 B1的右邊 . l2在 l1上 ？ l2在 l1下？ 如果 l2在 l1上方， Q2的效用函數(shù)值將大于 Q1, 對消費者來說征收入稅比征銷售稅好 . 例 2 價格補貼給生產(chǎn)者還是消費者 政府為鼓勵商品的生產(chǎn)或者減少消費者的負(fù)擔(dān)所采取的兩種價格補貼辦法： ? 把補貼款直接給生產(chǎn)者 ? 把補貼款發(fā)給消費者而讓商品漲價 ~鼓勵商品生產(chǎn) ,對消費者無影響 讓甲商品價格漲到 p1+p0, 補貼消費者多花的錢 p0 x1*,使仍達(dá)到消費點 Q *0221011)( xpyxpxpp ????l Q A B u (x1, x2) =c O x1 x2 *2x*1xl? Q? A39。cccrccT ??32321239。第三章 簡單的優(yōu)化模型 靜態(tài)優(yōu)化模型 存貯模型 生豬的 出售時機 森林救火 消費者的選擇 生產(chǎn)者的決策 血管分支 冰山運輸 ? 現(xiàn)實世界中普遍存在著 優(yōu)化問題 . ? 建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根據(jù)建模目的確定恰當(dāng)?shù)?目標(biāo)函數(shù) . ? 求解靜態(tài)優(yōu)化模型一般用 微分法 . ? 靜態(tài)優(yōu)化問題指 最優(yōu)解是數(shù) (不是函數(shù) ). 簡單的優(yōu)化模型 (靜態(tài)優(yōu)化 ) 存貯模型 問 題 配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時因更換設(shè) 備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費，產(chǎn)量大于需求時要付貯存費 . 該廠 生產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時間內(nèi)產(chǎn)出 . 已知某產(chǎn)品日需求量 100件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費 5000元，貯存費 每日每件 1元 . 試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計劃，即多少天生產(chǎn) 一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費用最小 . 要 求 不只是回答問題，而且要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與 需求量、準(zhǔn)備費、貯存費之間的關(guān)系 . 問題分析與思考 ? 每天生產(chǎn)一次 , 每次 100件 ,無貯存費 ,準(zhǔn)備費 5000元 . 日需求 100件，準(zhǔn)備費 5000元，貯存費每日每件 1元 . ? 10天生產(chǎn)一次 , 每次 1000件，貯存費 900+800+…+100 =4500元，準(zhǔn)備費 5000元，總
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