【正文】 . （ 2）∵在 Rt△ ODC 中，∠ C＝ 180176。 .且 CD 與⊙ O 相切， ∴∠ ODC＝ 90176。一模） 如圖，⊙ O 的直徑 AB＝ 6 cm， D 為⊙ O 上一點(diǎn)，∠ BAD＝ 30176。試判斷直線 MN 是否經(jīng)過所示拋物線的頂點(diǎn) ？說明理由． 【考點(diǎn)】 圓的綜合題． 【分析】 （ 1）連接 AD，構(gòu)造直角三角形解答，在直角 △ADO 中， OA= ， AD=2 ，根據(jù)勾股定理就可以求出 AD 的長(zhǎng)，求出 D 的坐標(biāo)，再利用圓的性質(zhì)得出 B， C 的坐標(biāo)． （ 2）求出 B、 C、 D 的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法設(shè)出一般式解答； （ 3）求出拋物線交點(diǎn)坐標(biāo)，連接 AP，則 △APM 是直角三角形，且 AP 等于圓的半徑，根據(jù)三角函數(shù)就可以求出 AM 的長(zhǎng)，已知 OA，就可以得到 OM，則 M 點(diǎn)的坐標(biāo)可以求出；同理可以在直角 △BNM 中，根據(jù)三角函數(shù)求出 BN 的長(zhǎng)，求出 N 的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出直線 MN 的解析式．將交點(diǎn)坐標(biāo)代入直線解析式驗(yàn)證即可． 【解答】 解：（ 1）如圖 1，連接 AD，得 OA= ， AD=2 ， ∴OD= = =3， ∴D（ 0，﹣ 3）， ∵點(diǎn) A（ ， 0）為圓心，以 2 為半徑的圓與 x 軸交于 B、 C 兩點(diǎn)， ∴B（﹣ ， 0）， C（ 3 ， 0）； （ 2） ∵B（﹣ ， 0）， C（ 3 ， 0）， D（ 0，﹣ 3） ∴將 B， C， D 三點(diǎn)代入拋物線 y=ax2+bx+c 得， ， 解得： ∴拋物線為： y=x2﹣ x﹣ 3． （ 3）如圖 2，連接 AP，在 Rt△APM 中， ∠PMA=30176。 ∠ CBF=90176。 ∴ AC∥ BF， ∴∠ ABF=∠ A=30176。 CE⊥ AB 于 E，過 C 的直徑交 ⊙ O 于點(diǎn) F，連接 CD、 BF、 EF． （ 1）求證： CD 是 ⊙ O 的切線； （ 2）求： tan∠ BFE 的值． 【考點(diǎn)】 切線的判定；解直角三角形． 【專題】 綜合題． 【分析】 （ 1）要證明 CD 是 ⊙ O 的切線，只要證明 OC⊥ CD 即可； （ 2）過點(diǎn) E 作 EH⊥ BF 于 H，設(shè) EH=a，利用角之間的關(guān)系可得到 AC∥ BF，從而得到BH= EH=a ， BE=2EH=2a，進(jìn)而可得到 BF 的長(zhǎng)，此時(shí)可求得 FH 的長(zhǎng)，再根據(jù)正切的公式即可求得 tan∠ BFE 的值． 【解答】 （ 1）證明： ∵ AB 是 ⊙ O 的直徑， ∴∠ ACB=90176。一模） （本題滿分 8分） 已知：如圖， 在△ ABC 中， AB=AC，以 AC 為直徑的⊙ O 交 AB 于點(diǎn) M，交 BC 于點(diǎn) N，連接 AN,過點(diǎn) C 的切線交 AB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P. （ 1）求證：∠ BCP=∠ BAN。中考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè) 4 月卷） （本題滿分 14 分 ， 第（ 1）小題 4分，第（ 2）小題 4 分，第（ 3）小題 6 分 ） 如圖，在 △ ABC 中， AB=AC=6， BC=4， ⊙ B 與邊 AB 相交于點(diǎn) D，與邊 BC 相交于點(diǎn) E，設(shè) ⊙ B 的半徑為 x． （ 1）當(dāng) ⊙ B 與直線 AC 相切時(shí)，求 x 的值； （ 2）設(shè) DC 的長(zhǎng)為 y，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式，并寫出定義域； （ 3）若以 AC 為直徑的 ⊙ P 經(jīng)過點(diǎn) E，求 ⊙ P 與 ⊙ B 公共弦的長(zhǎng) ． 答案： 解：（ 1）作 AG⊥ BC 于 G， BH⊥ AC 于 H， ∵ AB＝ AC， AG⊥ BC，∴ BG＝ GC＝ 2， ∴ AG＝2 2 2 26 2 4 2AC C G = = 又 AG BH=CH， ∴DG∥BC， ∴ = = = = =，設(shè) EG=a，則 EH=3a， ∴ = =， ∴AG=2a， AE=3a=2， ∴AH=6a=4． （ 2）如圖 2 中， ∵點(diǎn) P 為圓心， BP 為半徑的圓與 ⊙ A 外 切， CP 為半徑的圓與 ⊙ A 內(nèi)切， ∴AP=AD+BP， AP=PC﹣ AD， ∴AD+BP=PC﹣ AD， ∴PC﹣ BP=2AD=4， ∴PH+HC﹣（ BH﹣ PH） =4， ∴PH=2， ∵AH2=AB2﹣ BH2=AP2﹣ PH2，設(shè) BP=x， ∴62﹣（ x+2） 2=（ x+2） 2﹣ 22， ∴x=2 ﹣ 2， ∴BC=2BH=2（ PB+PH） =4 ． （ 3）如圖 3 中，過點(diǎn) D 作 DG⊥ AF 于 G，設(shè) AG=t， ∵AD2﹣ AG2=DF2﹣ FG2， ∴22﹣ t2=x2﹣（ 2﹣ t） 2， ∴t= ， ∴y=S△ABC=18?S△ADG=18?AG?DG=9? ? ， ∴y= （ 0＜ x＜ 2 ）． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查圓的有關(guān)知識(shí)、兩圓的位置關(guān)系、勾股定理、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用轉(zhuǎn)化的思想，把問題掌握方程解決，屬于中考參考題型． 21. （ 2022模擬 ) (8 分 )如圖， AB 是⊙ O 的直徑， C 是弧 AB 的中點(diǎn)，⊙ O 的切線 BD 交 AC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D， E 是 OB 的中點(diǎn)， CE 的延長(zhǎng)線交切線 DB 于點(diǎn) F， AF 交○ O 于點(diǎn) H，連接 BH。． 即 ∠EDO=90176。 ∴∠ OAE=∠ C， ∴ AB=BC． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了折疊的性質(zhì)，垂徑定理，弧長(zhǎng)的計(jì)算，切線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)，找出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵． 18. (2022 ∴ 弧 AB 的長(zhǎng)為： =4π， ∴ 2πr=4π， ∴ r=2； （ 2） ∵∠ AOB=120176。根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出 ∠ C=30176。二 模 )如圖，將圓形紙片沿弦 AB 折疊后，圓弧恰好能經(jīng)過圓心 O， ⊙ O的切線 BC 與 AO 延長(zhǎng)線交于點(diǎn) C． （ 1）若 ⊙ O 半徑為 6cm，用扇形 OAB 圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，求這個(gè)圓錐的底面圓半徑． （ 2）求證： AB=BC． 【考點(diǎn)】 切線的性質(zhì)；圓錐的計(jì)算；翻折變換（折疊問題）． 【分析】 （ 1）過 O 作 OD⊥ AB 于 E，交 ⊙ O 于 D，根據(jù)題意 OE= O A，得出 ∠ OAE=30176。 ∵∠DBC=∠A， ∴∠DBC+∠ABD=90176。又由 ∠DBC=∠A，即可得 ∠DBC+∠ABD=90176。 ∴∠P=∠PAD， ∴PD=AD= ． 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了切線的判定、圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 16. (2022=3 = ， ∵∠ADC=∠B=60176。 ∵AP=AC， ∴∠P=∠ACP=30176。然后利用三角函數(shù)與等腰三角形的判定定理，即可求得 PD 的長(zhǎng)． 【解答】 （ 1）證明：連接 OA． ∵∠B=60176。一模 )如圖，點(diǎn) A、 B、 C 分別是 ⊙ O 上的點(diǎn)， ∠B=60176。又 ∠DAC=∠OAC，由此可以得到△ADC∽△ACB，然后利用相似三角形 的性質(zhì)即可解決問題． 【解答】 （ 1）證明：連接 OC ∵OA=OC ∴∠OAC=∠OCA ∵AC 平分 ∠DAB ∴∠DAC=∠OAC ∴∠DAC=∠OCA ∴OC∥AD ∵AD⊥ CD∴OC⊥ CD ∴直線 CD 與 ⊙ O 相切于點(diǎn) C； （ 2）解：連接 BC，則 ∠ACB=90176。=2 = ， ∵∠HAO=30176。 ∴AC=AB?cos30176。=2 = ，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)解得結(jié)果． 【解答】 解（ 1）如圖 1，連接 OD， BD， ∵EF 與 ⊙ O 相切， ∴OD⊥ EF， ∵BF⊥ EF， ∴OD∥BF， ∴∠AOD=∠B=50176。由 外角的性質(zhì)得到結(jié)果； （ 2）如圖 2，連接 AC， OD，根據(jù) AB 為 ⊙ O 的直徑，得出 ∠ACB=90176。（ 3）求證 :AF+2DF=AB． 考點(diǎn)：切線的性質(zhì)與判定 答案：見解析 試題解析：（ 1）證明：如圖，連接 OC， ∵ ED 切 ⊙ O 于點(diǎn) C， ∴ CO⊥ ED， D B C F A E O 圖 （ 2） ∵ AD⊥ EC， ∴ CO∥ AD， ∴∠ OCA=∠ C AD， ∵∠ OCA=∠ OAC， ∴∠ OAC=∠ CAD， ∴= ， ∴ BC=CF； （ 2）解： 在 Rt△ADE 中， ∵ AD=6， DE=8，根據(jù)勾股定理得 AE=10， ∵ CO∥ AD， ∴△ EOC∽△ EAD， ∴ = ， 設(shè) ⊙ O 的半徑為 r， ∴ OE=10﹣ r， ∴ =， ∴ r= ， ∴ BE=10﹣ 2r=； （ 3）證明：過 C 作 CG⊥ AB 于 G， ∵∠ OAC=∠ CAD， AD⊥ EC， ∴ CG=CD， 在 Rt△AGC 和 Rt△ADC 中， ∵ ， ∴ Rt△AGC≌ Rt△ADC（ HL）， ∴ AG=AD， 在 Rt△CGB 和 Rt△CDF 中， ∵ ， ∴ Rt△CGB≌ Rt△CDF（ HL）， ∴ GB=DF， ∵ AG+GB=AB， ∴ AD+DF=AB， AF+DF+DF=AB， ∴ AF+2DF=AB． 13. （ 2022. ∴ DE 是 ⊙ O 直徑 . ∴ DE=AB=CD=10. ∴ BE=BC=AD=6. …7 分 在 Rt△ DEF 和 Rt△ CEF 中， 2 2 2EF DE DF??，2 2F CE CF ∴ 2 2 2 2D E D F CE CF? ? ?. 設(shè) F x?，則 10CF x??. ∴ 2 2 2 210 12 (10 )xx? ? ? ?. 解得145x?.即145DF?. 12. （ 2022. ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形， 圖 （ 2） D B C F A E O 圖 （ 1） D B C A O 第 1 題 圖 （ 1） D B C A O ∴ AB∥ CD. ∴ ∠ CDO+∠ BOD=180176。 易得 △HOB 和 △PDE 都為等腰直角三角形， ∴EH=OH=3， PE= PD= ， ∴PH=PE+EH= +3， ∴P（﹣ 3， +3）， 設(shè)過點(diǎn) P 的雙曲線的解析式為 y=， 把 P（﹣ 3， +3）代入得 k=﹣ 3（ +3） =﹣ 3 ﹣ 9， ∴過點(diǎn) P 的雙曲線的解析式為 y=﹣ ． 故答案為 y=﹣ ． 11. （ 2022 ∴AC= = =3， 又 ∵在 Rt△ACD 中， ∠CAD=90176。 ∴∠AOP=60176。 ∵E 是 CD 的中點(diǎn)， ∴AE= CD=CE=DE， ∴∠ECA=∠EAC， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∵CD 是 ⊙ O 的切線， ∴CD⊥ OC， ∴∠ECA+∠OCA=90176。以 AB 為直徑作 ⊙ O 交 AC 邊于點(diǎn) D，過點(diǎn) D 作 ⊙ O 的切線交 BC 于 E，連結(jié) DE 交 OC 于點(diǎn) F， OF=CF， 連結(jié) OD、 OE． （ 1） 求證： △ODE≌△ OBE； （ 2） 求證：四邊形 ODCE 為平行四邊形； （ 3） 求 tan∠ ACO 的值． 答案： （ 1）略（ 4 分）；（ 2）略（ 4 分）；（ 3） 31 （ 2 分） 9. （ 2022 泰安一模） 如圖， BC 是 ⊙ O 的直徑， A 是 ⊙ O 上一點(diǎn)，過點(diǎn) C 作 ⊙ O 的切線，交 BA 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D，取 CD 的中點(diǎn) E， AE 的延長(zhǎng)線與 BC 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) P． （ 1）求證： AP 是 ⊙ O 的切線； x ( h) y ( km ) 0 9 18 360 C D F E A O B