考研數(shù)學(xué)(二)真題分析詳解-wenkub.com
2025-01-06 19:43 本頁面
【正文】 走進(jìn)四聯(lián) 馬 到成功 Tel: 01062215711 62216649 62772674 2022 年考研數(shù)學(xué)（二）真題分析詳解 一、 填空題 （本題共 6 小題，每小題 4 分，滿分 24 分 . 把答案填在題中橫線上） （ 1） 若 0?x 時， 1)1( 412 ??ax 與 xxsin 是等價無窮小，則 a= 4 . 【 分析 】 根據(jù)等價無窮小量的定義，相當(dāng)于已知 1sin )1(lim 4120 ??? xxaxx，反過來求 a. 注意在計算過程中應(yīng)盡可能地應(yīng)用無窮小量的等價代換進(jìn)行化簡 . 【 詳解 】 當(dāng) 0?x 時， 2412 41~1)1( axax ??? ， 2~sin xxx . 于是，根據(jù)題設(shè)有 14141l i ms i n )1(l i m2204120 ???????? axaxxx ax xx ，故 a=4. （ 2） 設(shè)函數(shù) y=f(x)由方程 4ln2 yxxy ?? 所確定，則曲線 y=f(x)在點 (1,1)處的切線方程是 xy=0 . 【 分析 】 先求出在點 (1,1)處的導(dǎo)數(shù)，然后利用點斜式寫出切線方程即可 . 【 詳解 】 等式 4ln2 yxxy ?? 兩邊直接對 x 求導(dǎo)，得 yyxyxy ????? 342 ， 將 x=1,y=1 代入上式，有 .1)1( ??y 故過點 (1,1)處的切線方程為 )1(11 ???? xy ，即 .0??yx （ 3） xy 2? 的麥克勞林公式中 nx 項的系數(shù)是 !)2(lnnn . 【 分析 】 本題相當(dāng)于先求 y=f(x)在點 x=0 處的 n 階導(dǎo)數(shù)值 )0()(nf ，則麥克勞林公式中 nx 項的系數(shù)是 .! )0()(nf n 【 詳解 】 因為 2ln2xy ?? ， 2)2(ln2xy ??? ， nxxy )2(ln2, )( ?? ，于是有 nny )2(ln)0()( ? ，故麥克勞林公式中 nx 項的系數(shù)是 .!)2(ln! )0()( nny nn ? （ 4） 設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為 )0( ?? aea?? ，則該曲線上相應(yīng)于 ? 從 0 變到 ?2 的 走進(jìn)四聯(lián) 馬 到成功 Tel: 01062215711 62216649 62772674 一段弧與極軸所圍成的圖形的面積為 )1(41 4 ?aea ? . 【 分析 】 利用極坐標(biāo)下的面積計算公式 ????? dS ?? )(21 2即可 . 【 詳解 】 所求面積為 ???? ? ?? dedS a?? ?? 20 220 2 21)(21 = ??? 20241 aea )1(41 4 ?aea ?. （ 5） 設(shè) ? 為 3 維列向量， T? 是 ? 的轉(zhuǎn)置 . 若???????????????111111111T?? ，則 ??T = 3 . 【 分析 】 本題的關(guān)鍵是矩陣 T?? 的秩為 1，必可分解為一列乘一行的形式，而行向量一般可選第一行（或任一非零行），列向量的元素則為各行與選定行的倍數(shù)構(gòu)成 . 【 詳解 】 由???????????????111111111T?? = ? ?111111???????????? ，知????????????111? ，于是 ? ? .3111111 ???????????????? T （ 6） 設(shè)三階方陣 A,B 滿足 EBABA ???2 ，其中 E 為三階單位矩陣，若????????????102020101A ，則 ?B 21 . 【 分析 】 先化簡分解出矩陣 B，再取行列式即可 . 【 詳解 】 由 EBABA ???2 知， EABEA ??? )( 2 ，即 EABEAEA ???? ))(( ， 易知矩陣 A+E 可逆，于是有 .)( EBEA ?? 再兩邊取行列式，得 1?? BEA ， 走進(jìn)四聯(lián) 馬 到成功 Tel: 01062215711 62216649 62772674 因為 2002010100???? EA , 所以 ?B 21 . 二、選擇題 （本題共 6 小題，每小題 4 分，滿分 24 分 . 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)） （ 1） 設(shè) }{},{},{ nnn cba 均為非負(fù)數(shù)列，且 0lim ??? nn a, 1lim ??? nn b, ???? nn clim,則必有 (A) nn ba ? 對任意 n 成立 . (B) nn cb? 對任意 n 成立 . (C) 極限nnn ca??lim不存在 . (D) 極限nnn cb??lim不存在 . [ D ] 【 分析 】 本題考查極限概念，極限值與數(shù)列前面有限項的大小無關(guān)，可立即排除 (A),(B)； 而極限nnn ca??lim是 ??0 型未定式，可能存在也可能不存在，舉反例說明即可；極限nnn cb??lim屬 ??1 型，必為無窮大量，即不存在 . 【 詳解 】 用舉反例法，取 nan 2?， 1?nb ， ),2,1(21 ??? nncn，則可立即排除(A),(B),(C)，因此正確選項為 (D). （ 2） 設(shè) dxxxa nnn nn ?? ? ? ? 123 10 1, 則極限nn na??lim等于 (A) 1)1( 23 ??e . (B) 1)1( 231 ?? ?e . (C) 1)1( 231 ?? ?e . (D) 1)1( 23 ??e . [ B ] 【 分析 】 先用換元法計算積分，再求極限 . 【 詳解 】 因為 dxxxa nnn nn ?? ? ? ? 123 10 1= )1(123 10 nnn
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