【正文】 北京 )已知函數(shù) f(x)＝ 4cos xsin??? ???x＋ π6 － 1. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在區(qū)間 ??? ???－ π6， π4 上的最大值和最小值． 解 (1)因?yàn)?f(x)＝ 4cos xsin??? ???x＋ π6 － 1 ＝ 4cos x??? ???32 sin x＋ 12cos x － 1＝ 3sin 2x＋ 2cos2x－ 1 ＝ 3sin 2x＋ cos 2x＝ 2sin??? ???2x＋ π6 ， 所以 f(x)的最小正周期為 π. (2)因?yàn)椋?π6≤ x≤ π4，所以－ π6≤ 2x＋ π6≤ 2π3 . 于是，當(dāng) 2x＋ π6＝ π2，即 x＝ π6時(shí)， f(x)取得最大值 2； 當(dāng) 2x＋ π6＝－ π6，即 x＝－ π6時(shí)， f(x)取得最小值－ 1.對(duì)應(yīng)學(xué)生255 A 級(jí) 基礎(chǔ) 演練 (時(shí)間： 30 分鐘 滿分： 55 分 ) 一、選擇題 (每小題 5 分，共 20 分 ) 1． (2022湖北 )已知向量 a＝ (cos ωx－ sin ωx，sin ωx)， b＝ (－ cos ωx－ sin ωx,2 3cos ωx)，設(shè)函數(shù) f(x)＝ a全國(guó) )當(dāng)函數(shù) y＝ sin x－ 3cos x(0≤ x＜ 2π)取得最大值時(shí)， x＝ ________. 解析 y＝ sin x－ 3cos x＝ 2??? ???12sin x－ 32 cos x ＝ 2sin??? ???x－ π3 的最大值為 2，又0≤ x＜ 2π，故當(dāng) x－ π3＝ π2，即 x＝ 5π6 時(shí)， y 取得最大值． 答案 5π6對(duì)應(yīng)學(xué)生57 考向一 與三角函數(shù)有關(guān)的定義域和值域問題 【例 1】 ?(1)函數(shù) y＝ sin x－ cos x的定義域?yàn)?________． (2)函數(shù) f(x)＝ 2cos x(sin x－ cos x)＋ 1 在 x∈ ??? ???π8， 3π4 上的最大值為 ________，最小值為 ________． [審題視點(diǎn) ] (1)求使 sin x≥ cos x 的 x 的集合即可； (2)先化成形如 f(x)＝ Asin(ωx＋ φ)的形式，再由 x 的范圍求解． 解析 (1)sin x－ cos x＝ 2sin??? ???x－ π4 ≥ 0， 將 x－ π4視為一個(gè)整體，由正弦函數(shù) y＝ sin x 的圖象和性質(zhì)可知 2kπ≤ x－ π4≤ π＋ 2kπ， k∈ Z， 解得 2kπ＋ π4≤ x≤ 2kπ＋ 5π4 ， k∈ Z. 所以定義域?yàn)??????????x??? 2kπ＋ π4≤ x≤ 2kπ＋ 5π4 ， k∈ Z . (2)f(x)＝ 2cos xsin x－ 2cos2x＋ 1＝ sin 2x－ cos 2x ＝ 2sin??? ???2x－ π4 ， ∵ x∈ ??? ???π8， 3π4 ， ∴ 2x－ π4∈ ??? ???0， 5π4 ， ∴ sin??? ???2x－ π4 ∈ ??? ???－ 22 ， 1 ， 故 f(x)max＝ 2， f(x)min＝－ 1. 答案 (1)??????????x??? 2kπ＋ π4≤ x≤ 2kπ＋ 5π4 ， k∈ Z (2) 2 － 1 (1)求與三角函數(shù)有關(guān)的定義域問題實(shí)際上是解簡(jiǎn)單的三角不等式，也可借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解． (2)求解三角函數(shù)的值域 (最值 )首先把三角函數(shù)化為 y＝ Asin(ωx＋ φ)＋ k的形式，再求最值 (值域 )，或用換元法 (令 t＝ sin x，或 t＝ sin x177。微博】 一點(diǎn)提醒 求函數(shù) y＝ Asin(ωx＋ φ)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，應(yīng)注意 ω 的符號(hào)，只有當(dāng) ω0 時(shí)，才能把 ωx＋ φ看作一個(gè)整體，代入 y＝ sin t 的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間求解，否則將出現(xiàn)錯(cuò)誤． 兩種方法 求三角函數(shù)值域 (最值 )的兩種方法 (1)將所給函數(shù)化為 y＝ Asin(ωx＋ φ)的形式，通過分析 ωx＋ φ 的范圍，結(jié)合圖象寫出函數(shù)的值域； (2)換元法：把 sin x(cos x)看作一個(gè)整體，化為二次函數(shù)來解決． 考點(diǎn)自測(cè) 1． (2022 22 .∵ α∈ ??? ???－ π2， π2 ， ∴ α＝ 177。?－ sin α?＝1－ sin α＝53. 答案 B 2． (2022?－ tan α?tan α福建 )若 tan α＝ 3，則 sin 2αcos2α的值等于 ( )． A． 2 B． 3 C． 4 D． 6 解析 sin 2αcos2α＝ 2sin αcos αcos2α ＝ 2sin αcos α＝ 2tan α，又 tan α＝ 3，故 sin 2αcos2α＝ 6. 答案 D 二、填空題 (每小題 5 分，共 10 分 ) 5． (2022cos α等．這是解題中常用到的變形，也是解決問題時(shí)簡(jiǎn)化解題過程的關(guān)鍵所在． 【試一試】 (2022cos x2sin αcos α； (2)關(guān)于 sin α， cos α的齊次式， 往往化為關(guān)于 tan α的式子． 【訓(xùn)練 1】 已知－ π2x0， sin x＋ cos x＝ 15. (1)求 sin x－ cos x 的值； (2)求 sin 2x＋ 2sin2x1－ tan x 的值． 解 (1)sin x＋ cos x＝ 15，兩邊平方得， 1＋ sin 2x＝ 125， ∴ sin 2x＝－ 2425. ∴ (sin x－ cos x)2＝ 1－ sin 2x＝ 4925， 又 ∵ － π2x0， ∴ sin x0， cos x0， ∴ sin x－ cos x＝－ 75. (2)法一 sin 2x＋ 2sin2x1－ tan x ＝2sin x?cos x＋ sin x?1－ sin xcos x ＝ 2sin x??? ???－ tan π3 ＝ ??? ???－ 32 ??? ???－ 32 (－ 3)＝－ 3 34 . 答案 A 2． (2022tan??? ???－ 43π 的值是 ( )． A．－ 3 34 34 C．－ 34 D. 34 解析 原式＝ sin??? ???π＋ π3 32 ＝ 3－ 4 310 . 特別提醒： 教師配贈(zèng)習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設(shè)計(jì) ) ＝ cos∠ COAcos 60176。. 答案 B 二、填空題 (每小題 5 分，共 10 分 ) 3． (20222sin 20176。 D． 10176。 1＋ cos 40176。. 8． (13 分 )已知角 θ的終邊上有一點(diǎn) P(x，－ 1)(x≠ 0)，且 tan θ＝－ x，求 sin θ， cos θ. 解 ∵ θ的終邊過點(diǎn) (x， － 1)， ∴ tan θ＝－ 1x， 又 ∵ tan θ＝－ x， ∴ x2＝ 1， ∴ x＝ 177。 k∈ Z}，其中適合不等式－180176。＋ 300176。360176。的元素 α為－ 21176。＋ k的元素 α為－ 300176。＋ k； ② － 21176。故 ① 錯(cuò)；當(dāng)三角形的內(nèi)角為 90176。新課標(biāo)全國(guó) )已知角 θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與 x 軸的正半軸重合，終邊在直線 y＝ 2x 上，則 cos 2θ＝ ( )． A．－ 45 B．－ 35 解析 由題意知， tan θ＝ 2，即 sin θ＝ 2cos θ，將其代入 sin2θ＋ cos2θ＝ 1 中可得 cos2θ＝ 15，故 cos 2θ＝ 2cos2θ－ 1＝－ 35. 答案 B 3．若一扇形的圓心角為 72176。R＝ 2π3 4 3＝ 8 33 π(cm)．對(duì)應(yīng)學(xué)生53 熱點(diǎn)突破 9——三角函數(shù)的定義與其他知識(shí)的結(jié)合問題 【命題研究】 通過近三年的高考試題分析，單獨(dú)考查三角函數(shù)定義的問題，難度較低；若結(jié)合三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)及三角恒等變形，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，難度稍大．題型均以選擇題、填空題出現(xiàn)． 【真題探究】 ? (2022??? ???202＋ α 2＝ 200αsin θ0 可得 ??? sin θ0，cos θ0 或 ??? sin θ0，cos θ0， 從而確定 θ所在的象限． (2)由點(diǎn) P 所在的象限得到 sin θ與 cos θ的符號(hào)，從而確定 θ所在的象限． 解析 (1)因?yàn)?cos θ0，即點(diǎn) A 位于第三象限，故選 C. 答案 C 4． (2022＋ 33176。 cos 2 013176。360176。＝ m＋ 45176。＝ 2π弧度； 180176。第四篇 三角函數(shù)、解三角形 第 1 講 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù) 【 2022 年高考會(huì)這樣考】 1．考查用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值． 2．考查三角函數(shù)值符號(hào)的確定． 對(duì)應(yīng)學(xué)生51 考點(diǎn)梳理 1． 角的概念的推廣 (1)定義：角可以看成平面內(nèi)的一條射線繞著 端點(diǎn) 從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形． (2)分類 ??? 按旋轉(zhuǎn)方向不同分為 正角 、 負(fù)角 、 零角 .按終邊位置不同分為 象限角 和軸線角 . (3)終邊相同的角：所有與角 α 終邊相同的角，連同角 α 在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合 S＝ {β|β＝ α＋ k＝ π弧度； ② 弧長(zhǎng)公式：l＝ |α|r； ③ 扇形面積公式： S 扇形 ＝ 12lr＝ 12|α|r2. 3． 任意角的三角函數(shù) (1)定義：設(shè) α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn) P(x， y)，則 sin α＝ y，cos α＝ x， tan α＝ yx(x≠ 0)． (2)幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示．正弦線的起點(diǎn)都在x 軸上，余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是 (1,0)． 如圖中有向線段 MP， OM， AT 分別叫做角 α的 正弦線 ， 余弦線 和 正切線． 【助學(xué) (k∈ Z)，則 α在 ( )． A．第一或第三象限 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 解析 當(dāng) k＝ 2m＋ 1(m∈ Z)時(shí)， α＝ 2m360176。＋ 45176。)在直角坐標(biāo)平面上位于 ( )． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四 象限 解析 由 2 013176。)可知， 2 013176。濰坊質(zhì)檢 )已知角 α 的終邊經(jīng)過點(diǎn) P(m，－ 3)，且 cos α＝－ 45，則 m等于 ( )． A．－ 114 C．－ 4 D． 4 解析 由題意可知， cos α＝ mm2＋ 9＝－ 45， m0，解得 m＝－ 4，故選 C. 答案 C 5． (人教 A 版教材改編題 )半徑為 2 的圓中，弧長(zhǎng)為 4 的弧所對(duì)的圓心角是________． 解析 α＝ lr＝ 42＝ 2(rad)． 答案 2 rad對(duì)應(yīng)學(xué)生52 考向一 任意角的三角函數(shù) 【例 1】 ?已知角 α的終邊在直線 3x＋ 4y＝ 0 上，求 sin α， cos α， tan α的值． [審題視點(diǎn) ] 依據(jù)三角函數(shù)的定義，可在角 α 的終邊上任取一點(diǎn) P(4t，－3t)(t≠ 0)，求出 r，由于含有參數(shù) t，要注意分類討論． 解 ∵ 角 α的終邊在直線 3x＋ 4y＝ 0 上， ∴ 在角 α的終邊上任取一點(diǎn) P(4t，－ 3t)(t≠ 0)， 則 x＝ 4t， y＝－ 3t， r＝ x2＋ y2＝ ?4t?2＋ ?－ 3t?2＝ 5|t|， 當(dāng) t0 時(shí)， r＝ 5t， sin α＝ yr＝ － 3t5t ＝－ 35， cos α＝ xr＝ 4t5t＝ 45， tan α＝ yx＝ － 3t4t ＝－ 34； 當(dāng) t0 時(shí)， r＝－ 5t， sin α＝ yr＝ － 3t－ 5t＝ 35， cos α＝ xr＝ 4t－ 5t＝－ 45， tan α＝ yx＝ － 3t4t ＝－ 34. 綜上可知， sin α＝－ 35， cos α＝ 45， tan α＝－ 34或 sin α＝ 35， cos α＝－ 45， tan α＝－ 34. 在利用三角函數(shù)的定義求角 α 的三角函數(shù)值時(shí)，若角 α 的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)是以參數(shù)的形式給出的，則要根據(jù)問題的實(shí)際及解題的需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論．任意角的三角函數(shù)值僅與角 α的終邊位置有關(guān)，而與角 α終邊上點(diǎn)P 的位置無關(guān)． 【訓(xùn)練 1】 已知角 θ 的終邊經(jīng)過點(diǎn) P(－ 3， m)(m≠ 0)且 sin θ＝ 24 m，試判斷角 θ所在的象限，并求 cos θ和 tan θ的值． 解 由題意得， r＝ 3＋ m2， ∴ m3＋ m2＝ 24 m. ∵ m≠ 0， ∴ m＝ 177。sin θ0，所以有： ① ??? sin θ0，cos θ0， 此時(shí)，由 sin θ0 判斷 θ在第三或第四象限或 y 軸負(fù)半軸，由 cos θ0 判斷 θ在第一或第四象限或 x 軸正半軸，故 θ在第四象限． ② ??? sin θ0，cos θ0， 此時(shí)，由 sin θ0 判斷 θ在第一或第二象限或 y 軸正半軸，由 cos θ0 判斷 θ在第二或第三象限或