【正文】 2n， ② ① － ② 得－ Sn＝ 1 ＋ 22＋ 23＋ ? ＋ 2n－ (2 n － 1) 22＋ ? ＋ (2 n－ 1) b1＋ a2 2n 2， ② ① － ② 得－ Tn＝ 2 1＋ 20＋ ? ＋ 2n 3－ ( n － 1) 2n 3， ① 于是 2 Tn＝ 0 （14）n. 返回目錄 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用 小結(jié)： 錯(cuò)位相減求和法適用范圍比較單一，其適用的范圍就是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘后得出的數(shù)列的求和，但要注意求和的準(zhǔn)確性，注意相減后得出n ＋ 1 項(xiàng)式子結(jié)構(gòu)，尤其要注意相減后留下的 “ 小尾巴 ” 的處理，在計(jì)算時(shí)要把各個(gè)部分計(jì)算準(zhǔn)確． 命題考向探究 返回目錄 命題考向探究 變式題 已知數(shù)列 { an} 的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 a1＝14，an ＋ 1＝ Sn＋14( n ∈ N*) ． (1) 求證：數(shù)列 { an} 為等比數(shù)列； (2) 令 bn＝ lo g2an ＋ 2，數(shù)列 { anbn} 的前 n 項(xiàng)和為 Tn，若k ∈ N*，對(duì)于任意 n k ， Tn2022 恒成立，求 k 的最大值． 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用 返回目錄 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用 解： (1) 證明： ∵ an ＋ 1＝ Sn＋14， ① ∴ an＝ Sn － 1＋14， ② ① － ② 得 an ＋ 1＝ 2 an( n ≥ 2) ， 又 a2＝ a1＋14＝12， a1＝14，得a2a1＝ 2 ， ∴ 數(shù)列 { an} 為等比數(shù)列． (2) 由 (1) 知 an＝14 2n － 1＝ 2n 3， bn＝ lo g2an ＋ 2＝ n － 1 ， anbn＝ ( n － 1 )2n 3， 故 Tn＝ 0 an ＋ 1＝13 n － 2等比數(shù)列 ” 型的數(shù)列求和，如④⑤ . —— 主干知識(shí) —— [ 答案 ] 3 － 2 n ＋ 32 n [ 解析 ] 因?yàn)?T n ＝12＋322 ＋523 ＋ ? ＋2 n － 12n ， 所以12T n ＝122 ＋323 ＋524 ＋ ? ＋2 n － 32n ＋2 n － 12n ＋ 1 ，兩式相減得 12T n ＝12＋222 ＋223 ＋224 ＋ ? ＋22n －2 n － 12n ＋ 1 ＝32－12n － 1 －2 n － 12n ＋ 1 ，所以T n ＝ 3 －2 n ＋ 32n . 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用 —— 體驗(yàn)高考 —— 返回目錄 核心知識(shí)聚焦 6 ． [ 2022 2 n ＋ 1 [ 解析 ] 設(shè) T n ＝ 1 20＋ 2 21＋ 3 22＋ ? ＋ n 2n － 1，則 2 T n ＝ 1 21＋ 2 22＋ 3 23＋ ? ＋ n 2n， 上兩式相減得－ T n ＝ 20＋ 21＋ 22＋ 23＋ ? ＋ 2n － 1－ n 2n， 故－ T n ＝1 － 2n1 － 2－ n 2n， T n ＝ ( n － 1) 7＋ ? ＋1（ 2 n － 1 ）（ 2 n ＋ 1 ）＝12 新課標(biāo)全國(guó)卷 Ⅰ 改編 ] 已知等差數(shù)列 { a n } 的通項(xiàng)公式 a n ＝2 － n ，則數(shù)列??????????1a 2 n － 1 a 2 n ＋ 1②的前 n項(xiàng)和為 ________ ． [ 答案 ] n1 － 2 n [ 解析 ] 由通項(xiàng)公式 a n ＝ 2 － n ，得1a 2 n － 1 a 2 n ＋ 1＝1（ 3 － 2 n ）（ 1 － 2 n ）＝1212 n － 3－12 n － 1，則前 n 項(xiàng)和為121－ 1－11＋11－13＋ ? ＋12 n － 3－12 n － 1＝n1 － 2 n. —— 主干知識(shí) —— ? 裂項(xiàng)相消 關(guān)鍵詞：分式通分的逆運(yùn)算，如②③ . 第 10講 數(shù)列求和及數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用 —— 體驗(yàn)高考 —— 返回目錄 核心知識(shí)聚焦 3 ． [ 20221bn － 1 b n ＋ 1. (1) 求證：數(shù)列 { b n } 成等差數(shù)列； (2) 求數(shù)列 { c n } 的前 n 項(xiàng)和 S n . 返回目錄 第 9講 等差數(shù)列、等比數(shù)列 解： (1) 證明：由已知可得， an＝ a1qn－1＝??????14n， bn＋ 2 ＝ 3 log14??????14n＝ 3 n ， ∴ bn＝ 3 n － 2. ∴ b1＝ 1 ， bn ＋ 1＝ 3 n ＋ 1 ， ∴ bn ＋ 1－ bn＝ 3. 因此數(shù)列 { bn} 是首項(xiàng)為 1 ，公差為 4 的等差數(shù)列． (2) ∵ cn＝1bn a7的值是 ( ) A ． 10 000 B ． 1 000 C ． 100 D ． 10 (2) 已知公比為 2 的等比數(shù)列 { an} 中， a2＋ a5＋ a8＋ a11＋a14＋ a17＋ a20＝ 13 ，則該數(shù)列前 21 項(xiàng)的和 S2 1＝ ________ ． 返回目錄 第 9講 等差數(shù)列、等比數(shù)列 命題考向探究 [ 解析 ] (1) 由 lg a 3 ＋ lg a 6 ＋ lg a 9 ＝ 6 得 a36 ＝ 106，則 a 5 a 7＝ a26 ＝ 104＝ 10 000. (2) 易知 a 1 ＋ a 4 ＋ ? ＋ a 19 ＝132， a 3 ＋ a 6 ＋ ? ＋ a 21 ＝ 2 13 ＝ 26 ，則 S 21 ＝912. [ 答案 ] (1)A (2) 912 返回目錄 第 9講 等差數(shù)列、等比數(shù)列 ? 考向二 等差 ( 等比 ) 數(shù)列的判斷與證明 考向：等差、等比數(shù)列的證明，等差、等比數(shù)列的構(gòu) 造與求和． 考例： 2022 年 T17 、 201 1 年 T1 7 ，近五年新課標(biāo)全國(guó)卷共考查了 2 次． 例 2 在數(shù)列 { an} 中， a1＝23，且對(duì)任意的 n ∈ N*都有 an ＋ 1＝2 anan＋ 1. 求證：??????1an－ 1 是等比數(shù)列． 命題考向探究 返回目錄 第 9講 等差數(shù)列、等比數(shù)列 證明： 由 an ＋ 1＝2 anan＋ 1，得1an ＋ 1－ 1 ＝an＋ 12 an－ 1 ＝1 － an2 an＝12 ??????1an－ 1 . 又由 a1＝23，得1a1－ 1 ＝12≠ 0. 因此，??????1an－ 1 是以1a1－ 1 ＝12為首項(xiàng)，12為公比的等比數(shù)列． 命題考向探究 返回目錄 第 9講 等差數(shù)列、等比數(shù)列 方法指導(dǎo) 10. 證明等比 ( 等差 ) 數(shù)列的方法 證明等差數(shù)列或等比數(shù)列的主要方法有兩種： (1) 定義法，證明 an－ an － 1＝ d ( n ≥ 2 ， n ∈ N*) 或anan － 1＝ q ( n ≥ 2 ， n ∈ N*) ； (2) 中項(xiàng)法，得到結(jié)論 2 an＝ an － 1＋ an ＋ 1( n ≥ 2 ， n ∈ N*) 或 a2n＝ an － 1 四川卷改編 ] 在等比數(shù)列{ a n } 中， a 2 － a 1 ＝ 2 ，且 2 a 2 為 3 a 1 和 a 3 的等差中項(xiàng)④，則該數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為________ ． [ 答案 ] 3n － 12 ? 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用 關(guān)鍵詞：等差數(shù)列與等比數(shù)列的相互聯(lián)系，如 ⑥ . —— 主干知識(shí) —— [ 解析 ] 設(shè)等比數(shù)列 { a n } 的公比為 q .由已知可得 a 1 q － a 1 ＝ 2 ， 4 a 1 q ＝ 3 a 1 ＋ a 1 q2，則 a 1 ( q － 1) ＝ 2 ， q2－ 4 q ＋ 3 ＝ 0 ，解得 q ＝ 3或 q ＝ 1 ，由于 a 1 ( q － 1) ＝ 2 ，因此 q ＝ 1 不合題意，應(yīng)舍去，故公比 q ＝ 3 ，首項(xiàng) a 1 ＝1. 數(shù)列 { a n } 的前 n 項(xiàng)和 S n ＝3n－ 12. 第 9講 等差數(shù)列、等比數(shù)列 —— 基礎(chǔ)知識(shí)必備 —— 返回目錄 返回目錄 第 9講 等差數(shù)列、等比數(shù)列 ? 考向一 高考中等差 ( 等比 ) 數(shù)列的常見基本問題 考向：等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和、性質(zhì)及應(yīng)用，數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 Sn與通項(xiàng)公式 an的運(yùn)算關(guān)系． 考例： 2022 年 T8 、 2022 年 T17 、 201 1 年 T17 、 2022年 T12 、 20 13 年卷 Ⅰ T6 和 T17 、 2 013 年卷 Ⅱ T17 ，近五年新課標(biāo)全國(guó)卷共考查了 7 次． 命題考向探究 返回目錄 第 9講 等差數(shù)列、等比數(shù)列 例 1 (1) 在等差數(shù)列 { a n } 中， a 15 ＝ 33 ， a 25 ＝ 66 ，則 a 35＝ ________ ． (2) 已知數(shù)列 { a n } 的前 n 項(xiàng)和 S n ＝12n ( n ＋ 1) ， b n 是 a n 與a n ＋ 1 的等差中項(xiàng)，則 b n ＝ ________ ． 命題考向探究 [ 答案 ] (1)99 (2) n ＋12 返回目錄 第 9講 等差數(shù)列、等比數(shù)列 [ 解析 ] (1) 由等差數(shù)列的性質(zhì)可知 a 15 ， a 25 ， a 35 成等差數(shù)列，則 2 a 25 ＝ a 15 ＋ a 35 ? a 35 ＝ 99. (2) 當(dāng) n ＝ 1 時(shí)， a 1 ＝ 1 ；當(dāng) n ≥ 2 時(shí)， a n ＝ S n － S n － 1 ，故a n ＝ n . 又 b n 是 a n 與 a n ＋ 1 的等差中項(xiàng)，則 b n ＝a n ＋ a n ＋ 12，得b n ＝ n ＋12. 命題考向探究 返回目錄 第 9講 等差數(shù)列、等比數(shù)列 小結(jié)： 等差、等比數(shù)列的考查主要圍繞基本量和它們的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行