【正文】 第三章 量子力學導論 第 23 頁 共 23 頁 23 1928年狄拉克建立起來的相對論量子力學成功地解釋了電子自旋現(xiàn)象。 （略） 以薛定諤方程為基礎(chǔ)而建立的波動力學和 海森堡建立的矩陣力學是量子力學的兩大理論體系，后經(jīng)薛定諤證明兩大理論等價。 原子波函數(shù)是有空間反演對稱性的，可證明， 凡量子數(shù) l 為偶 (奇 )數(shù)的波函數(shù)屬偶 (奇 )宇稱。 設(shè)有某函數(shù) )r(? ，當坐標作反演變換，即 )r()r(,rr ???? ?? 時，會出現(xiàn)不同的情況 。又因 ? 是決定于角量子數(shù) l 和磁量子數(shù) m 的函數(shù)，故電子在 ? 角的 幾率分布決定于量子數(shù) l 和 m。 所得能量值于玻爾理論一致。例如當)(整數(shù)n?? 時， 01 ???? j)(s)(γ ，于是得到 22?kμZen? ，從而得到 ??? )EnZ(En 。其中 eVE ?? 為玻爾基態(tài)能量。 定義：22 2?Ek ??，考慮角動量基態(tài) ( 0?l )，則 (4)變?yōu)椋? )5()22(]2)([ 22 22222 22 ????? RkRrZedrdRrdr RdRkRrZedrdrdrd ?????? ?? 當 ??r 時 有 0222 ?? RkdrRd ，知 01 ?C ，其漸近解為 krkr eCeCR ??? 21 。因此波函數(shù)的宇稱是運動常數(shù)，其奇偶性不隨時間而變。 采用宇稱算符 P? 表示坐標的反演。 關(guān)于球諧函數(shù) )()()(),()(),( ??????? ???? rRYrRr 的宇稱 球諧函數(shù)作為軌道角動量的本征函數(shù)，在坐標原點的宇稱變換有重要的特性。 方程 (1)的通解為 ：??????? ?????)(0, 0, ，舍去與波函數(shù)的單值性不符?? ?????DC BeAeii 由于 ??m 須為整數(shù)或 0，故其特解為： ?,meπΦ im φm 21021 ????,其中系數(shù)π21是按波函數(shù)的歸一化條件得到的。 ????????????? EV]s i n)(s i ns i n[r)]rr(rr[ ??????????????? 22222222 11212 ?? 利用算符可簡化上式，又由于 )(rV 是中心力場，可采取分離變數(shù)法 再 行簡化。薛定諤方程建立之后，首先用于對氫原子的描述并獲成功。 當 Tk)E( B???? 時 ]Tk )E(exp[)E(n B ????，即經(jīng)典玻爾茲曼分布。 用 12P? 再運算一次得 )q,q()q,q(C)q,q(P? 2121221122 ??? ?? 上式表明必須有 112 ??? C,C 故 )q,q()q,q(P? 122112 ?? ?? ，正負號對應(yīng)的分別是對稱、反對稱波函數(shù)。圖 (b)是 1?l 的角動量空間量子化圖。因為在量子力學中，“角動量的絕對值”無意義。 mml )(cosP ?? 為締合勒讓德函數(shù)。 在經(jīng)典力學和量子力學中，角動量均表示為 p?r?l? ?? 在 直 角 坐 標 中 角 動 量 的 三 個 分 量 為 ：k?lj?li?lk?)ypxp(j?)xpzp(i?)zpyp(pppzyxk?j?i?l? zyxxyzxyzzyx?????????? ， 且 有2222 zyx llll ??? 第三章 量子力學導論 第 16 頁 共 23 頁 16 在量子力學中，角動量一般用球坐標表示為：????????????????????????????????????????il)s inc tg(c o sil)c o sc tg(s inilzyx 且有 ]s in)(s ins in[l? 22222 11 ?????? ????????? ? 以上四個算符中并不能同時測到確定值，只有 2l? 和 zl 可同時有確定的本征值和本征函數(shù)，而這時 xl 和 yl 就沒有確定值。可證明必定存在 本征方程 ： AA AA? ?? ? 。 f 稱為本征函數(shù)， ? 一般是一組數(shù)，稱為本征值譜。 第三章 量子力學導論 第 15 頁 共 23 頁 15 在直角坐標系中的算符：?????????????????????（位置算符）（哈密頓算符）（能量算符）動量算符位置表象中的算符：zzyyxxVmHtiEip?,?,??2??)(?22??? 在勢場中，一個粒子的動能與勢能之和叫哈密頓量 VTH ?? ，可知哈密頓算符為V?mH? ???? 222? 。 現(xiàn)用的波函數(shù)是在坐標表象中的波函數(shù)，還可有別的表象，如動量表象等。定義域內(nèi)的幾率分布 )(xP 滿足歸一化條件： 1)(0 ??l dxxP 在量子力學中， 位置測量的平均值為 xdxx ??????? *， )(x? 滿足歸一化條件 。 36 量子力學中的一些理論和方法 由于量子力學的基本規(guī)律是統(tǒng)計性的， ? 只具有幾率的含義，因此對于任何物理量，只有求出與它對應(yīng)的平均值后，才能與實驗中觀察到的量相比較。如高速電子在晶格中的運動，假定它受到一個諧振子勢的作用，與實測輻射譜比較。 (非諧振子特有 ；可從不確定關(guān)系得到 ) 2) 能量間隔相同 (等距 )。能量為 2021kxE?，角頻率為mk??， 0x 為粒子動能為 0時的位置 (轉(zhuǎn)折點 )。 D 和 E 的變化對貫穿因子 P 十分靈敏。 其中，22 2 ? E)m(VC d ??。 粒子出現(xiàn)的幾率： n=1 時為 2nψ ，極大值出現(xiàn)在中間； n=2 時 2nψ 在中間為 0，兩旁各有一個極大。 式（ 8）的解為 ?iEteTT 0? 。 薛定諤方程的一般表達式 ： )4(),(),()](2[ 22 ???????? trtitrrVm ?? ?????? 第三章 量子力學導論 第 11 頁 共 23 頁 11 當 勢場 0)( ?rV ? 時的自由粒子的解為： )5(),( )(0 ???? ?? trkietr ??? ??? 將其與經(jīng)典關(guān)系式 )(2 2 rVmpE ?? ?? 比較，知作了如下變換： )6(????????????????iptiE 薛定諤方程是量子力學的基本方程。 這一方程不能從 更 基本的假設(shè)中推導出來，它是量子力學的基本方程 ，其正確性只能靠實驗檢驗。即?? n nifif 22 （ 獨立事件的 幾率相加律 ） 規(guī)則 3：假如在 fi? 間有一中間態(tài)，則躍遷幾率幅等于分段幾率幅之積。 （或幾率幅） ? 服從的 幾個規(guī)則： 規(guī)則 1：假如在 fi? 間有 n 種可能的躍遷方式，則躍遷幾率幅是各種可能發(fā)生的躍遷幾率幅之和。但處在 1? 態(tài)或 2? 態(tài) 的幾率則完全肯定，分別為21C 或 22C 。 量子力學中態(tài)的疊加與經(jīng)典物理中波的疊加雖然形式相同，但本質(zhì)不同。（不符合這三個條件的 ? 函數(shù)沒物理意義，它不代表物理實在） 。 3） 波函數(shù)的 標準 條件：連續(xù)、單值、有限。 [可與光進行類比：光的強弱 (與 電場或磁場強度的平方成正比 )與光子的數(shù)目成正比，而在某處的光子數(shù)與該處發(fā)現(xiàn)一個光子的幾率成正比。 1） ? 是描述粒子的量子狀態(tài)的函數(shù)。 將 以上波函數(shù)用較為方便的復數(shù)形式表示為： )c os(20 ? ????? rtie ?? 一般用矢量 k? 代表波的前進方向，故上式可寫成 )(20 ????? rktie ????? 第三章 量子力學導論 第 8 頁 共 23 頁 8 在量子力學中一般用的形式為： )(20 trkie ????? ??? ?? 以上是用指數(shù)形式表示的沿任意方向傳播的平面波函數(shù)，為使平面波與粒子對應(yīng)起來而找出自由粒子的波函數(shù)，利用德布羅意關(guān)系???????phhE?? ， 并注意到p 的方向代表自由粒子波的方向，則得到自由粒子的波函數(shù) ： )(0 Etrpie ??? ????? *電子的雙縫干涉實驗（可進一步說明波函數(shù)的特性，此略） 3. 玻恩的統(tǒng)計解釋： （ 波恩的幾率解釋是量子力學的基本 原理之一， 是一個基本假設(shè)） 自由粒子的波函數(shù)表示 波在時間和空間上是無限展延的，那么 ? 究竟代表什么呢？ 曾有人設(shè)想粒子是由許多波組合起來的一個波包，其活動表現(xiàn)出粒子的性質(zhì)，但被否定了。 用波函數(shù)能確切地描述粒子的運動狀態(tài)，給波函數(shù)賦于一定的物理意義后，就能把 粒子和粒子的波性這兩種對立的屬性統(tǒng)一起來。又如處于能級寬度為 E? 的微粒的壽命為 ?? ，在 ?? 時間內(nèi)粒子何時衰變 (或躍遷至低能級 )完全不確定，但衰變幾率卻是完全確定的。但“決定論”在微觀領(lǐng)域 碰到不可克服的困難，如對微粒的位置和動量，我們不能同時確定只能預(yù)言其可能行為， 所得結(jié)果 不能比不確定關(guān)系允許的更準確。二者在描述微觀時都是 不可缺少的，它們是互 補并協(xié)的。 海森堡的不確定關(guān)系從數(shù)學上表達了物 質(zhì)的波粒二象性，而玻爾的互補原理從哲學的角度概括了波粒二象性。按不確定關(guān)系，此能級必存在相應(yīng)的寬度 E? ， 這正是譜線的自然寬度，實驗完全證明了譜線自然寬度的存在。 第三章 量子力學導論 第 6 頁 共 23 頁 6 1)束縛粒子的最小平均動能 設(shè) 質(zhì)量為 m 的 粒子被束縛在線度為 r 的范圍內(nèi)，即假定 rx?? ，據(jù)2???? xpx 可得粒子動量的不確定量為rpx 2???。發(fā)生衍射時 ： 確定中區(qū)位置的關(guān)系式為 d?? ??sin 。 方法一：從經(jīng)典波動理論出發(fā)，利用??? ??? ???21???xt ，它表明為得 到一個位置確定的孤立波 (即波包 )(詳見教材中圖示 )，須用多個波去疊加，即 x? 越小， ?? 就越大。從這個意義上看，“測不準關(guān)系”這一名稱有不妥之處。 2 式表