kcja0403統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)教案之3-wenkub.com
2024-08-31 05:11 本頁面
【正文】 6. 配分函數(shù)的定義極其“宏觀量”意義，計(jì)算法和作用。（弛豫時(shí)間的要求） 19 WEkEST y ln1 ????????? ??? ． 通常，外參量不變時(shí)，能量無上限時(shí)， W、 S 均與 E 成正關(guān)系．顯然有 01 ?????????? yEST ， 因此必有 0?T ． 能量若有上限，則可能 W 減少而 E 增加的情況，導(dǎo)致負(fù)溫現(xiàn)象． ② 相對(duì)與外界孤立 前已知，負(fù)溫態(tài)的能量較正溫高（因有粒子數(shù)翻轉(zhuǎn)）．因此必有能量傳遞而趨向平衡，使負(fù)溫態(tài)消失．所以，要負(fù)溫態(tài)實(shí)現(xiàn)必須保證能；能量不被傳遞出去． 核自旋系統(tǒng) 是可以處于負(fù)溫度的一種實(shí)際系統(tǒng)． 如 LiF 晶體中的核自旋，為實(shí)際處于負(fù)溫的體系．設(shè)自旋量子數(shù)為 1/2．在外磁場(chǎng)下，有兩個(gè)能態(tài)：順、逆磁場(chǎng)態(tài)．假定自旋之間相互作用的弛豫時(shí)間（系統(tǒng)倆子之間交換能量動(dòng)量達(dá)到熱平衡需要的時(shí)間）為 1t ，核自旋與晶體相互作用的弛豫時(shí)間為 2t ． 已 知 ， 上 述 晶 體 的 m in5~ s e c ,10~ 21 tt ， 12 tt?? ．核自旋系統(tǒng)的能量可以有一段時(shí)間不向晶體傳遞，形成一個(gè)短時(shí)間內(nèi)相對(duì)孤立的體系．可以處于粒子數(shù)翻轉(zhuǎn)的負(fù)溫亞穩(wěn)態(tài)． 1951 年， Purcell 和 Pound（ Phys. Rev. 81, 279 (1951)）用加磁場(chǎng)，先令自旋順磁，又突然使磁場(chǎng)反向，經(jīng) 1t 后，核自旋系統(tǒng)處于亞穩(wěn)的負(fù)溫態(tài)，可持續(xù)幾分鐘． 產(chǎn)生激光的系統(tǒng)也 須是有條件形成負(fù)溫度的系統(tǒng)． 作業(yè)： ， ． 20 第 三 章 復(fù) 習(xí) 思 考問 題 1. 由微正則分布導(dǎo)出正則分布，正則分布導(dǎo)出麥玻分布的基本方法。同時(shí)在體內(nèi)形成空位．因此，晶格中每形成一個(gè)缺陷都需要吸收一份能量．我們假定缺陷完全是點(diǎn)缺陷，即各空位孤立，每一空位周圍無其它的空位． 設(shè)晶格 由 N 個(gè)原子構(gòu)成．其中形成 n 個(gè)缺陷， nN?? ．這相當(dāng)于有 N+n 個(gè)格點(diǎn)的晶格中有 n 個(gè)空位．每形成一個(gè)空位的需要的能量為 ? ．將正常位置的能量選為能量零點(diǎn)，則空位能量為 ε． 2. 缺陷數(shù) （ Number of Defects） 根據(jù)上面的模型，可以直接用統(tǒng)計(jì)物理的玻爾茲曼關(guān)系計(jì)算缺陷數(shù)． 有缺陷時(shí)，系統(tǒng)的能量應(yīng)為 ?nE? 。 14 167。 近獨(dú)立粒子的麥 — 玻分布 （ MaxwellBoltzmann Distribution for Quasi Independent Particles） （麥 — 玻分布 → 最概然（最可幾）法 ? 經(jīng)典麥 — 玻分布 →麥 — 玻 ? 正則分布） 1. 麥 — 玻分布（ MaxwellBoltzmann Distribution） 作為一個(gè)例子，考慮可分辨粒子組成的體系．導(dǎo)出系統(tǒng)中的 粒子（按能級(jí)）的平均分布 ．這是一個(gè)平均概率問題．假定體系共有 N 個(gè)相同的粒子，我們選其中之一（不妨認(rèn)為是第 1個(gè)粒子 ）為代表，求其處于某態(tài)的平均概率．系統(tǒng)中的 N 個(gè)粒子的每個(gè)都可以占據(jù)單粒子態(tài) 1,2,? ,j,?中的任一個(gè)．記第 i個(gè)粒子占據(jù)第 j 個(gè)狀態(tài)時(shí)的能量為 ij? ，系統(tǒng)一般態(tài) s 的能量便可寫為 NlkjsE ??? ???? ?21 ． 其出現(xiàn)的概率則為 sEs eZ ?? ?? 1． 由于粒子對(duì)狀態(tài)的占據(jù)是獨(dú)立的，則第 1 個(gè)粒子處于第 j個(gè)態(tài)（不問其它粒子處于何態(tài)）的概率為： ?? ? ? ?? ????????????????jNj kkEjjjNkjNkjseeeeeeZP112121)1()()(11?????????????????????? 略去下標(biāo) 1，便是任一粒子處于 j 態(tài)的概率 jezPj ???? 1 ， 其中 ? ??jjez ??． 這個(gè)概率當(dāng)然是一個(gè)平均概率． 8 N 個(gè)粒子中處于第 j 個(gè)單粒子態(tài)的平均粒子數(shù)可以算出為 jezNNPf jj ????? ． 記 NZe ?? ， 此平均數(shù)則寫為 jef j ?????? ． 它描述 N 個(gè)粒子在 j 態(tài) 上分布的數(shù)目，稱為 麥 — 玻分布 ， z 為單粒子配分函數(shù)． 注意： 這里的 j 是態(tài)指標(biāo)，因此不涉及簡(jiǎn)并度． 如果能級(jí)簡(jiǎn)并度為 ωl，單粒子處于 能級(jí) ?? 的概率則為 ? ???? ???????????eeP ． 處于 ?? 能級(jí)的粒子數(shù)（ 麥 — 玻分布） 則為 ??? ???? ??? ea . 其中 Nze ?? ， ? ??? ? ???? ez ． 我們將 z 成為單粒子的配分函數(shù)． 2．最概然（可幾）法 （ Most Probable method） 以上的推導(dǎo)是從正則分布出發(fā)的． 由微正則系綜（等概率 原理）也可直接導(dǎo)出 麥 — 玻分布． 考慮孤立系，在能量確定的前提下，其粒子可以不同方式分布在各種單粒子態(tài)．我們現(xiàn)在求概率最大的分布 —— 最概然（最可幾）分布． 孤立系的約束條件 (Confinement conditions)可寫為 ?? l laN ， ?? l llaE ? ． 根據(jù)等概率原理，分布的概率與其包含的微觀態(tài)數(shù)目成正比．因此，求最大概率的分布即求微觀態(tài)數(shù)極大的分布．將分布記為｛ al｝，其包含的微觀態(tài)數(shù)為 W，最概然分布應(yīng)滿足的極值條件為 9 ? ? 0}{ ?laW? ． 為便于數(shù)學(xué)處理，注意到 lnW 與 W 的正關(guān)系，我們考慮 lnW的極值．記入約束條件，用拉格朗日（ Lagrange）未定乘子法求條件極值．應(yīng)滿足的方程為 0)(ln ??? ENW ??? ． 式中 ? 、 ? 為未定乘子． 記 l? 能級(jí)的簡(jiǎn)并度為 ωl，能級(jí)上的 al 個(gè)粒子填充 ωl 個(gè)態(tài)的方式有 lal? 種，記入所有能級(jí) ，總共有方式數(shù) ?l al l? ． 如前面推導(dǎo)，這里仍假定粒子是可分辨的，交換不同能級(jí)
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