【正文】 如果上限 x 在區(qū)間 [a,b]上任意變動，則對于每一個取定的 x 值，定積分有一個對應(yīng)值，所以它在 [a,b]上 定義了一個函數(shù) ，記作 φ(x): 注意 ：為了明確起見，我 們改換了積分變量 （定積分與積分變量的記法無關(guān)） 定理 (1)： 如果函數(shù) f(x)在區(qū)間 [a,b]上連續(xù)，則積分上限的函數(shù) 在 [a,b]上具有導(dǎo)數(shù)， 并且它的導(dǎo)數(shù)是 （ a≤x≤b) (2)： 如果函數(shù) f(x)在區(qū)間 [a,b]上連續(xù)，則函數(shù) 就是 f(x)在 [a,b]上的一個 原函數(shù)。 即： 關(guān)于定積分的問題 我們有了定積分的概念了，那么函數(shù) f(x)滿足什么 條件時才可積？ 定理 （ 1）：設(shè) f(x)在區(qū)間 [a,b]上連續(xù)，則 f(x)在區(qū)間 [a,b]上可積。因此，如果把區(qū)間 [a,b]分成許多小區(qū)間，在每個小區(qū)間上，用其中某一點的高來近似代替同一個小區(qū)間上的窄曲變梯形的變高，我們再根據(jù)矩形的面 積公式，即可求出相應(yīng)窄曲邊梯形面積的近似值，從而求出整個曲邊梯形的近似值。 例題： 求 解答： 關(guān)于三角函數(shù)的有理式的積分的問題 任何三角函數(shù)都可用正弦與余弦函數(shù)表出，故變量代換 u=tan(x/2)對三角函數(shù)的有理式的積分應(yīng)用，在此我 們不再舉例。 幾種特殊類型函數(shù)的積分舉例 有理函數(shù)的積分舉例 有理函數(shù) 是指兩個多項式的商所表示的函數(shù)，當分子的最高項的次數(shù)大于分母最高項的次數(shù)時稱之為假分式 ， 反之為 真分式 。u39。=u39。(t)≠0 ，又設(shè) f[g(t)]g39。若其存在原函數(shù)，那末原函數(shù)一共有多少個呢？ 我們可以明顯的看出來：若函數(shù) F(x)為函數(shù) f(x)的原函數(shù)， 即： F(x)=f(x)， 則函數(shù)族 F(x)+C(C為任一個常數(shù)）中的任一個函數(shù)一定是 f(x)的原函數(shù)， 故：若函數(shù) f(x)有原函數(shù)，那末其原函數(shù)為無窮多個 . 不定積分的概念 函數(shù) f(x)的全體原函數(shù)叫做函數(shù) f(x)的 不定積分 ， 記作 。 四、不定積分 不定積分的概念 原函數(shù)的概念 已知函數(shù) f(x)是一個定義在某區(qū)間的函數(shù)，如果存在函數(shù) F(x)，使得在該區(qū)間內(nèi)的任一點都有 dF39。 拐定的判定方法 如果 在區(qū)間 (a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，我們可按下列步驟來判定 的拐點。 曲線凹向的判定定理 定理一： 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 (a,b)上可導(dǎo)，它對應(yīng)曲線是向上凹 (或向下凹 )的充分必要條件是： 導(dǎo)數(shù) 在區(qū)間 (a,b)上是單調(diào)增 (或單調(diào)減 )。 例題： 圓柱形罐頭，高度 H 與半徑 R 應(yīng)怎樣配，使同樣容積下材料最?。? 解答： 由題意可知： 為一常數(shù)， 面積 故在 V 不變的條件下，改變 R 使 S 取最小值。 例題： 求函數(shù) ，在區(qū)間 [3， 3/2]的最大值、最小值。 函數(shù)的最大值、最小值及其應(yīng)用 在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)及科學(xué)實驗中，常會遇到這樣一類問題：在一定條件下，怎樣使 產(chǎn)品最多 、 用料最省 、 成本最低 等。 用方法一求極值的一般步驟是： a)：求 ； b)：求 的全部的解 —— 駐點； c)：判斷 在駐點兩側(cè)的變化規(guī)律，即可判斷出函數(shù)的極值。 我們知道了函數(shù)極值的定義了，怎樣求函數(shù)的極值呢？ 學(xué)習(xí)這個問題之前，我們再來學(xué)習(xí)一個概念 —— 駐點 凡是使 的 x 點，稱為函數(shù) 的 駐點 。 例題： 求 解答： 此題為未定式中的 型求解問題，利用羅彼塔法則來求解 另外，若遇到 、 、 、 、 等型，通常是轉(zhuǎn)化為 型后，在利用法則求解。 羅彼塔 (L39。 注： 在此我們對這兩個定理不加以證明，若有什么疑問，請參考相關(guān)書籍 下面我們在學(xué)習(xí)一條通過拉格朗日中值定理推廣得來的定理 —— 柯西中值定理 柯西中值定理 如果函數(shù) ， 在閉區(qū)間 [a， b]上連續(xù)，在開區(qū)間 (a， b)內(nèi)可導(dǎo)，且 ≠0 ，那末在 (a，b)內(nèi)至少有一點 c，使 成立。 注： 這個結(jié)果就稱為微分學(xué)中值定理，也稱為拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 如果函數(shù) 在閉區(qū)間 [a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間 (a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那末在 (a,b)內(nèi)至少有一點 c，使 成立。 微分形式不變性 什么是微分形式不邊形呢？ 設(shè) ，則復(fù)合函數(shù) 的微分為： ， 由于 ，故我們可以把復(fù)合函數(shù)的微分寫成 由此可見 ，不論 u 是自變量還是中間變量， 的微分 dy 總可以用 與 du的乘積來表示， 我們把這一性質(zhì)稱為 微分形式不變性 。下面我們給出微分的數(shù)學(xué)定義： 函數(shù)微分的定義 ： 設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義， x0 及 x0+△x 在這區(qū)間內(nèi)，若函數(shù)的增量可表示為，其中 A 是不依賴于 △x 的常數(shù)， 是 △x 的高階無窮小，則稱函數(shù)在點 x0可微的 。注：此方法特別適用于冪函數(shù)的求導(dǎo)問題。 注： 有些隱函數(shù)并不是很容易化為顯函數(shù)的，那么在 求其導(dǎo)數(shù)時該如何呢 ？下面讓 我們來解決這個問題！ 隱函數(shù)的求導(dǎo) 若已知 F(x,y)=0，求 時，一般按下列步驟進行求解： a)：若方程 F(x,y)=0，能化為 的形式，則用前面我們所學(xué)的方法進行求導(dǎo)； b)：若方程 F(x,y)=0，不能化為 的形式，則是方程兩邊對 x 進行求導(dǎo)，并把 y 看成 x 的函數(shù) ，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進行。下面我們給出它的數(shù)學(xué)定義： 定義 ：函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) 仍然是 x 的函數(shù) .我們把 的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù) 的 二階導(dǎo)數(shù) ，記作 或 ，即： 或 .相應(yīng)地，把的導(dǎo)數(shù) 叫做函數(shù) 的 一階導(dǎo)數(shù) .類似 地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做 三階導(dǎo)數(shù) ，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做 四階導(dǎo)數(shù) ， ? ，一般地 (n1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做 n 階導(dǎo)數(shù) . 分別記作： ， ， ? ， 或 ， ， ? ， 二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱 高階導(dǎo)數(shù) 。 例題： 已知 ，求 解答： 反函數(shù)求導(dǎo)法則 根據(jù)反函數(shù)的定義，函數(shù) 為單調(diào)連續(xù)函數(shù)，則它的反函數(shù) ,它也是單調(diào)連續(xù)的 .為此我們可給出反函數(shù)的求導(dǎo)法則，如下 (我 們以定理的形式給出 )： 定理： 若 是單調(diào)連續(xù)的，且 ，則它的反函數(shù) 在點 x 可導(dǎo)，且有： 注： 通過此定理我們可以發(fā)現(xiàn)：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于 原函數(shù)導(dǎo)數(shù) 的 倒數(shù) 。 函數(shù)的商的求導(dǎo)法則 法則： 兩個可導(dǎo)函數(shù)之商的導(dǎo)數(shù)等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母導(dǎo)數(shù)乘積減去分母導(dǎo)數(shù)與分子導(dǎo)數(shù)的乘積，在除以分母導(dǎo)數(shù)的平方。其中 u、 v 為可導(dǎo)函數(shù)。 注 ： 導(dǎo)數(shù)也就是差商的極限 左、右導(dǎo)數(shù) 前面我們有了左、右極限的概念，導(dǎo)數(shù)是差商的極限，因此我們可以給出左、右導(dǎo)數(shù)的概念。我們認為當時間段 △t 無限地接近于 0 時，此平 均 速 度 會 無 限 地 接 近 于 質(zhì) 點 t0 時的 瞬 時 速 度 ， 即 ： 質(zhì) 點 在 t0 時 的 瞬 時 速 度= 為此就產(chǎn)生了導(dǎo)數(shù)的定義，如下： 導(dǎo)數(shù)的定義 ： 設(shè)函數(shù) 在點 x0的某一鄰域內(nèi)有定義，當自變量 x 在 x0處有增量 △x(x+△x 也在該鄰域內(nèi) )時， 相應(yīng)地函數(shù)有增量 ，若 △y 與 △x 之比當 △x→0 時極限存在，則稱這個極限值為 在 x0處的 導(dǎo)數(shù) 。即：， μ 在 α 、 β 之間，則在 [a， b]間一定有一個 ξ ，使 推論： 在閉區(qū)間連續(xù)的函數(shù) 必取得介于最大值最小值之間的任何值。 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 設(shè)函數(shù) 當 x→x 0時的極限存在且等于 a，即： .而函數(shù) 在點 u=a連續(xù)，那末復(fù)合函數(shù) 當 x→x 0時的 極限也存在 且等于 .即： 例題： 求 解答： 注：函數(shù) 可看作 與 復(fù)合而成，且函數(shù) 在點 u=e連續(xù)，因此可得出上述結(jié)論。我們還可以發(fā)現(xiàn)在點 x=0 時，函數(shù)值產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象，為此我們把這種間斷點稱為 跳躍間斷點 ；我們把上述三種間斷點用幾何圖形表示出來如下 : 間斷點的分類 我們通常把間斷點分成兩類：如果 x0是函數(shù) 的間斷點，且其左、右極限都存在，我們把 x0稱為函數(shù) 的 第一類間斷點 ；不是第一類間斷點的任何間斷點，稱為 第二類間斷點 . 可去間斷點 若 x0是函數(shù) 的間斷點，但極限 存在，那末 x0是函數(shù) 的第一類間斷點。 函數(shù)的一重要性質(zhì) —— 連續(xù)性 在自然界中有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化，植物的生長等都是連續(xù)地變化著的 .這種現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映，就是函數(shù)的 連續(xù)性 在定義函數(shù)的連續(xù)性之前我們先來學(xué)習(xí)一個概念 —— 增量 設(shè)變量 x 從它的一個初值 x1變到終值 x2，終值與初值的差 x2x1就叫做 變量 x 的增量 ，記為： △ x即：△ x=x2x1 增量 △ x 可正可負 . 我們再來看一個例子：函數(shù) 在點 x0的鄰域內(nèi)有定義，當自變量 x 在領(lǐng)域內(nèi)從 x0變到 x0+△ x時，函數(shù) y 相應(yīng)地從 變到 ，其對應(yīng)的增量為： 這個關(guān)系式的幾何解釋如下圖： 現(xiàn)在我們可對連續(xù)性的概念這樣描述：如果當 △ x 趨向于零時，函數(shù) y 對應(yīng)的增量 △ y 也趨向于零，即：， 那末就稱函數(shù) 在點 x0處連續(xù) 。 定理二： 無窮小量的有利運算定理 a)：有限個無窮小量的代數(shù)和仍是無窮小量； b)：有限個無窮小量的積仍是無窮小量； c)：常數(shù)與無窮小量的積也是無窮小量 . 無窮小量的比較 通過前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道，兩個無窮小量的和、差及乘積仍舊是無窮小 .那么 兩個無窮小量的商會是怎樣的呢？ 好！接下來我們就來解決這個問 題，這就是我們要學(xué)的兩個無窮小量的比較。為此我們可定義如下：設(shè)有函數(shù) y= ，在 x=x0的去心鄰域內(nèi)有定義，對于任意給定的正數(shù) N(一個任意大的數(shù) )，總可找到正數(shù) δ ，當 時， 成立，則稱函數(shù)當 時為 無窮大量 。 解答： 注： 通過此例題我們可以發(fā)現(xiàn)：當分式的 分子和分母都沒有極限時就不能運用商的極限的運算規(guī)則了，應(yīng)先把分式的分子分母轉(zhuǎn)化為存在極限的情形，然后運用規(guī)則求之。此定義的核心問題 是：對給出的 ε ，是否存在正數(shù) δ ， 使其在去心鄰域內(nèi)的 x均滿足不等式。 存在函數(shù) 與常 數(shù) A， 任給一正數(shù)ε ＞ 0， 總可找到一正數(shù) X， 對于適合 的一切 x， 都滿足 ， 函數(shù)當 x→∞ 時的極限為 A， 記：。 例： 數(shù)列 1，1， 1， 1， ? ， (1)n+1， ? 是有界的，但它是發(fā)散的。 注： 至于如何求數(shù)列的極限，我們在以后會學(xué)習(xí)到，這里我們不作討論。 ⑶、 數(shù)列的極限 ： 一般地，對于數(shù)列 來說，若存在任 意給定的正數(shù) ε( 不論其多么小 )，總存在正整數(shù) N，使得對于 n＞ N 時的一切 不等式 都成立，那末就稱常數(shù) a 是數(shù)列的 極限 ，或者稱數(shù)列 收斂 于 a . 記作： 或 注： 此定義中的正數(shù) ε 只有任意給定，不等式 才能表達出 與 a無限接近的意思。 例： 我們可通過作圓的內(nèi)接正多邊形，近似求出圓的面積。 c):當 m 奇 n偶時 ,y在 (∞,0) 無意義 . 三角函數(shù) (正弦函數(shù) ) 這里只寫出了正弦函數(shù) a):正弦函數(shù)是以 2π 為周期的周期函數(shù) b):正弦函數(shù)是奇函數(shù)且 反三角函數(shù) (反正弦函數(shù) ) 這里只寫出了反正弦函數(shù) a):由于此函數(shù)為多值函數(shù) ,因此我們此函數(shù)值限制在 [π/2,π/2] 上 ,并稱其為反正弦函數(shù)的 主值 . ⑵、 初等函數(shù) ： 由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運算及有限次的函數(shù)復(fù)合所產(chǎn)生并且能用一個解析式表出的函數(shù)稱為 初等函數(shù) . 例題： 是初等函數(shù)。下面我們用表格來把它們總結(jié)一下： 函數(shù)名稱 函數(shù)的記號 函數(shù)的圖形 函數(shù)的性質(zhì) 指數(shù)函數(shù) a):不論 x 為何值 ,y總為正數(shù) 。 注： 并不是任意兩個函數(shù)就能復(fù)合；復(fù)合函數(shù)還可以由更多函數(shù)構(gòu)成。 如果我們加上條件，要求 x≥0 ，則對 y≥0 、 x= 就是 y=x2在要