【正文】 因此，為了得到一個(gè)穩(wěn)定運(yùn)行的系統(tǒng)，我們利用 LMI求解器 求出控制器的特征值 K 如下（求解過(guò)程詳見(jiàn)附件一） [17]。 電機(jī)施加水平控制驅(qū)動(dòng)使小車根據(jù)擺桿偏角 θ的變化控制以相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)系數(shù)在軌道上左右往復(fù)運(yùn)動(dòng) ，最終趨于平衡， 并且使擺桿始終保持垂直位置。 仿真及其結(jié)果 倒立擺控制系統(tǒng)是是被公認(rèn)的一類典型的多變量、非線性、不穩(wěn)定系統(tǒng) ， 對(duì)倒立擺控制系統(tǒng)進(jìn)行研究的重要的意義體現(xiàn)在它的運(yùn)動(dòng)特性與火箭飛行、雙足機(jī)器人行走等現(xiàn)代高科技產(chǎn)品的功能原理上存在相似性 ，以及更多的工程實(shí)際問(wèn)題 。由此式進(jìn)一步推導(dǎo)，矩陣左、右兩端分別乘以矩陣 1 1 12 2 2,I I I? ? ?? ? ???????，并令 1QP??? ,得到 ? ? ? ? ? ?2 2 1 1 121 111 12 110TTTTQ A B K A B K Q Q B C D KB P I DC D K D I????? ? ? ????????? （ ） 因?yàn)樯鲜街惺怯蓛蓚€(gè)未知矩陣變量 KQ、 和一些常數(shù)矩陣 組成的非線性矩陣不等式 ，想要 直接對(duì)其求解是相當(dāng)困難的。 北華大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 17 第四章 單級(jí)倒立擺的魯 棒控制器設(shè)計(jì) 控制器設(shè)計(jì)方案探索 wuzyP( s)K( s) 圖 系統(tǒng)框圖 如圖 ，線性不變動(dòng)態(tài)連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述如下： 121 1 1 1 22 2 1 2 2x Ax B Bz C x D Dy C x D D??????? ? ?? ? ?? ? ? （ ） 其中 nxR? ， pR?? ， rzR? ， qyR? 分別表示系 統(tǒng)狀態(tài)向量、系統(tǒng)控制輸入信號(hào)、系統(tǒng)受控輸出信號(hào)和量測(cè)輸出信號(hào)； ? 為從外部接收的輸入信號(hào) （ 包括測(cè)量噪聲和干擾 ）， 考慮 ? 不確定且能量有限 ， 則 2L?? ；系統(tǒng)矩陣 nnAR?? ， 其余矩陣 12BB、 、12CC、 、 11 12 21 22D D D D、 、 、 為適當(dāng)維數(shù)的系數(shù)矩陣。所有定量或定性的信息按等勢(shì)分布儲(chǔ)存與網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的神經(jīng)元，有很強(qiáng)的魯棒性和容錯(cuò)性，也可將 Q 學(xué)習(xí)算法和 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有效結(jié)合，實(shí)現(xiàn)狀態(tài)未離散化的倒立擺的無(wú)模型學(xué)習(xí)控制。接著定義某些隸屬函數(shù)，這個(gè)安排隸屬度的過(guò)程就是對(duì)變量實(shí)現(xiàn)模糊化的過(guò)程接著是建立一系列的模糊規(guī)則，如：如果擺桿向左傾斜大并倒的非常快，那么向左做快運(yùn)動(dòng)；如果擺桿向左傾斜大并升的慢，那么向左做慢運(yùn)動(dòng)，等等?，F(xiàn)以倒立擺控制來(lái)簡(jiǎn)單說(shuō)明模糊控制器設(shè)計(jì)的一般方法。 ：使用狀 態(tài)空間理論推導(dǎo)出狀態(tài)方程和輸出方程，應(yīng)用狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)控制，如劉珊中等應(yīng)用狀態(tài)反饋和 Kalman 濾波相結(jié)合的方法，對(duì)二級(jí)倒立擺平衡系統(tǒng)進(jìn)行控制。 北華大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 16 對(duì)于倒立擺系統(tǒng)，由于其本身是自不穩(wěn)定的系統(tǒng)，試驗(yàn)建模存在一定的困難。 直線一級(jí)倒立擺的牛頓 —?dú)W拉方法建模 系統(tǒng)建?？煞譃閮煞N：機(jī)理建模和試驗(yàn)建模。數(shù)字濾波器是按照程序計(jì)算信號(hào)，達(dá)到濾波的目的。造成非線性的原因是因?yàn)樵S多傳感器的轉(zhuǎn)換原理是非線性，采用的測(cè)量電路也是非線性的。傳感器的輸出形式可分為模擬量、數(shù)字量和開(kāi)關(guān)量。 圖 執(zhí)行機(jī)構(gòu)示意圖 計(jì)算機(jī) 運(yùn)動(dòng)控制卡 伺服驅(qū)動(dòng)器 伺服電機(jī) 倒立擺 光電編碼盤 1 光電編碼盤 2 北華大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 15 傳感器檢測(cè)及其接口電路設(shè)計(jì) 傳感器是一種檢測(cè)裝置，能感受到被測(cè)量的信息，并能將感受到的信息，按一定規(guī)律變換成為電信號(hào)或其他所需形式的信息輸出，以滿足信息的傳輸、處理、存儲(chǔ)、顯示、記錄和控制等要求。其結(jié)構(gòu)件圖如圖 所示： xFφ 圖 一級(jí)倒立擺系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖 執(zhí)行機(jī)構(gòu) 倒立擺控制系統(tǒng)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)包括伺服電機(jī)、與電機(jī)連接的皮帶輪和擺桿。 而倒立擺的控制問(wèn)題就是使擺桿盡快地達(dá)到一個(gè)平衡位置，并且使其沒(méi)有大的振蕩，消除過(guò)大的角度和速度的過(guò)程。其中位置傳感器是伺服電機(jī)自帶的。模塊化的意思是通過(guò)增減擺桿組件來(lái)實(shí)現(xiàn)同類倒立擺中單級(jí)與多級(jí)之間的轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換不同類別的倒立擺也只需更換基座而已；工業(yè)化指的是按照工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)及制造它的機(jī)械結(jié)構(gòu)，所有產(chǎn)品零部件均采用工業(yè)級(jí)產(chǎn)品；創(chuàng)新性即隨意配置具有個(gè)性的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，可開(kāi)發(fā)、驗(yàn)證新生的控制算法。不幸的是，由于 MATLAB 是解釋性語(yǔ)言，而不是編譯型語(yǔ)言，產(chǎn)生的程序執(zhí)行速度慢。 MATLAB 允許程序員為他們的程序建立一個(gè)交互式的用戶圖形界面。例如，用戶可以購(gòu)買標(biāo)準(zhǔn)的工具箱以解決在信號(hào)處理，控制系統(tǒng)，通信，圖象處理，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和其他許多領(lǐng)域的問(wèn)題。例如，假設(shè)你正在編寫一個(gè)程序，這個(gè)程序要求你必須計(jì)算與輸入有關(guān)的統(tǒng)計(jì)量。 windows 98/2020/NT 和許多版本的 UNIX 系統(tǒng)都支持它。這是因?yàn)檫@種語(yǔ)言極易使用，對(duì)于教育應(yīng)用和快速建立新程序的原型，它是一個(gè)理想的工具。通北華大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 12 過(guò)仔細(xì)閱讀、 參考劉勍、溫志賢編寫的《 MATLAB 基礎(chǔ)及應(yīng)用》整理心得如下： MATLAB 是種解釋型語(yǔ)言，就像各種版本的 BASIC。因而，線性系統(tǒng)的魯棒控制方法正在向非線性系統(tǒng)擴(kuò)展，并在相對(duì)階與反饋線性化、最小相位與零輸出動(dòng)態(tài)、無(wú)源性與穩(wěn)定性、耗散性與 2L 增益、 Lyapunov函數(shù)的遞推設(shè)計(jì)、魯棒鎮(zhèn)定、魯棒 H? 控制等方面取得了不 少成果。近來(lái)仿射Lyapunov方法、攝動(dòng)模式形如 A B C?? 矩陣組 ? ?,ABC 的穩(wěn)定半徑計(jì)算、具有參數(shù)不確定性離散系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性分析、時(shí)域區(qū)間矩陣族的魯棒穩(wěn)定性等問(wèn)題均有一定的突破，但仍有待進(jìn)一步研究。但它只討論了多項(xiàng)式族的 Hurwitz問(wèn)題，對(duì)于一般 的 D穩(wěn)定性困難較大；另外，在它應(yīng)用到實(shí)際控制系統(tǒng)時(shí)也具有保守性。 H? 優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的提出使魯棒穩(wěn)定化問(wèn)題、跟蹤問(wèn)題、模型匹配問(wèn)題、最小靈敏度和混合靈敏度問(wèn)題等均可歸納為標(biāo)準(zhǔn)的 H? 二優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，而標(biāo)準(zhǔn)的 H? 優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的求解步驟如下：先通過(guò) Youla參數(shù)化將其換成模型匹配或一般距離問(wèn)題，然后再變換為 Nehari問(wèn)題來(lái)進(jìn)行求解：亦或者將其歸結(jié)為兩個(gè)代數(shù) Riccati方程或線性矩陣不等式的求解問(wèn)題，從而進(jìn)行求解。 a)頻率域方法。 在這一背景下，不確定系統(tǒng)的控制理論研究逐漸成為當(dāng)前研究熱點(diǎn)之一。 圖 給出了用 lmiedit 描述線性矩陣不等式系統(tǒng)的窗口。例如，線性矩陣不等式 圖 LIMEDT 的圖形界面 北華大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 10 0T TA X X A X BB X I??? ?????? （ ） 可以通過(guò)輸入 ? ?* * * 。輸入 “LIMEDT”出現(xiàn)一個(gè)具有一些可編輯文本區(qū)域和各種按鈕的窗戶。由于其面向結(jié)構(gòu)的線性矩陣不等式表示方式，使得各種線性矩陣不等式能夠以北華大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 9 自然塊矩陣的形式加以描述。 線性矩陣不等式 (LMI)方法 [14] 線性矩陣不等式 (LMI)方法概述 控制系統(tǒng)中，許多控制問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為 LMI 形式。若正定，便 能斷定系統(tǒng)平衡位置漸近穩(wěn)定 (穩(wěn)定 )；否則，也只好重新再找其它合適的 V函數(shù)。 （ c）不穩(wěn)定性定理 北華大學(xué)學(xué)士學(xué)位論文 8 假設(shè) ? ?,x f x t?? 是系統(tǒng)的狀態(tài)方程， 其中 0 0x? 是它的平衡態(tài)。如果連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的正定函數(shù) ? ?,Vxt 存在且滿足下述條件： 1) ? ?,Vxt 為非正定（包括半負(fù)定）的，則系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡態(tài)是一致穩(wěn)定的； 2) 再者，如果 ? ?,Vxt 的定義域 ? 為 nR ，當(dāng)任意的 0t 和任意 ? ?0 0xt? 時(shí)， ? ?x,tV?在 0tt? 范圍內(nèi)不恒為零，則該系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的，反之不是。 定義：若對(duì)任意給定的 0?? ，均能找到 ? ?0,t? ? ?? ，使得當(dāng) 0x ?? 時(shí)的解能夠滿足 ? ? ? ?0 0 0 0 0, , , , ,x t x x x t t x t t???且 ? ? ? ?0 0 0 0, , , ,x t x x x t t x ??， 0tt? ，則稱（ ）式的 “零 ”解是穩(wěn)定的，否則 ()式的 “零 ”解就是不穩(wěn)定的。所以， ??xt 與 “零 ”解的誤差很小的條件是 0x 足夠小。他的概念和理念也發(fā)展得十分迅速，在當(dāng)今社會(huì)已經(jīng)成為了控制領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。 倒立擺的種類有：懸掛式、直線、環(huán)形、平面倒立擺等。想要解決控制中的理論問(wèn)題，和將控制理論所涉及的三個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科：力學(xué)、數(shù)學(xué)和電學(xué)（含計(jì)算機(jī)）有機(jī)的結(jié)合起來(lái)，可以通過(guò)對(duì)倒立擺系統(tǒng)的研究來(lái)實(shí)現(xiàn)，在倒立擺系統(tǒng)中進(jìn)行綜合應(yīng)用。此外，近年來(lái)應(yīng)用線性矩陣不等式 LMI方法求解 H? 控制問(wèn)題在研究中也取得了成果。 1987 年問(wèn)世的研究 H? 控制的書 “acourseinH? controltheory”是 Francis 的得意之作，是第一部 H? 控制理 論專著。逼近方法的基礎(chǔ)是 AAK 理論，雖然原理上較為復(fù)雜，但在算法上 已經(jīng)取得了一定的進(jìn)展；插值方法通常使用的是 Nevanlinna—Pick插值理論，有時(shí)候也以矩陣形式的 Sarason 理論為基礎(chǔ)。綜上所述 H? 范數(shù)作為性能指標(biāo)具備許多的優(yōu)點(diǎn)： (1)研究在有變功率譜干擾時(shí)，仍然可以處理系統(tǒng)的控制問(wèn)題； (2) PQ P Q? ? ?? 稱為 H? 范數(shù)的乘法性質(zhì)，使得在具有不確定性因素時(shí)，研究對(duì)象的魯棒穩(wěn)定問(wèn)題變得水到渠成。 1981 年 Zames 提出了著名的 H? 控制思想，能夠有效解決 LQG 設(shè)計(jì)過(guò)程中干擾信號(hào)所需限制的不合理性。通常在對(duì)系統(tǒng)干擾信號(hào)作苛刻的要求的同時(shí)忽略了對(duì)象的不確定性，使得一些寶貴的現(xiàn)代控制理論的成果，未能獲得較好的應(yīng)用于實(shí)際控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中，例如 LQG 理論等。無(wú)論是經(jīng)典控制理論、現(xiàn)代控制理論還是自適應(yīng)控制理論等，由于對(duì)象的不確定性和外界干擾往往不滿足特殊性的假設(shè)條件，導(dǎo)致在實(shí)際控制系統(tǒng)中，想要得到控制對(duì)象的精確模型非常困難，甚至不可實(shí)現(xiàn)。將研究成果與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合，解決不確定系統(tǒng)的控制問(wèn)題，是一項(xiàng)艱巨而復(fù)雜的工作。在控制領(lǐng)域，這是一項(xiàng)重要的突破，現(xiàn)如今 H? 控制理論已經(jīng)成為魯棒控制理論的經(jīng)典工具。 發(fā)展到 20 世紀(jì)八十年代以后期，魯棒控制的研究引起了高度的重視，這是魯棒控制理論飛速發(fā)展的重要階段。 Zames 在 1963 年發(fā)表的 “關(guān)于小增益定理 ”的論文 [8]和 1964 年 Kalman 整理的《關(guān)于單輸入、輸出系統(tǒng) LQ 調(diào)節(jié)器穩(wěn)定裕量分析的研究報(bào)告》 [9]，這兩篇對(duì)現(xiàn)代魯棒控制理論的建立有著深遠(yuǎn)的影響，魯棒控制這一術(shù)語(yǔ)也開(kāi)始登上歷史舞臺(tái)。然后是 1945 年 Bode 對(duì)單輸入、輸出反饋系統(tǒng)的魯棒性進(jìn)行的討論，基于系統(tǒng)能容許的不確定范圍問(wèn)題，提出了利用幅值和相位穩(wěn)定裕度方法。 (5)在航空領(lǐng)域，用多級(jí)倒立擺控制系統(tǒng)來(lái)研究控、制多級(jí)火箭的飛行姿態(tài)，使之在運(yùn)行過(guò)程中滿足工程需要。 倒立擺控制系統(tǒng)的工程背景 (1) 雙倒立擺系統(tǒng)應(yīng)用研究機(jī)器人的站立與行走，能夠試圖解決機(jī)器人研制過(guò)程中的關(guān)鍵技術(shù) ——機(jī)器人的行走控制。至今為止，倒立擺系統(tǒng)的研究一直 是控制領(lǐng)域所關(guān)注的焦點(diǎn)。 從時(shí)間上看，研究倒立擺的歷時(shí)我們可以追溯至 20 世紀(jì) 50 年。國(guó)內(nèi)高校實(shí)驗(yàn)室、研究室及教學(xué)基地基本上都采用香港固高公司和加拿大 Quanser 公司生產(chǎn)的系統(tǒng) [ 6]；我校工程訓(xùn)練中心三樓倒立擺實(shí)驗(yàn)室用的就是香港 固高公司的產(chǎn)品。 國(guó)內(nèi)外的研究現(xiàn)狀 倒立擺控制系統(tǒng)的研究歷程 從地域上看，目前研究倒立擺這一領(lǐng)域的學(xué) 府和機(jī)構(gòu)主要集中在亞洲，日本有三所，韓國(guó)的兩所。所以，實(shí)現(xiàn)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，要求在未知不確定性存在的情況下也能使系統(tǒng)穩(wěn)定，并保持所希望的性能。所以研究倒立擺控制系統(tǒng)除了其深刻的理論意義，還有重要的工程背景。 分析存在嚴(yán)重的不確定性倒立擺控制系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)不僅系統(tǒng)的參數(shù)具有不確定性，而且系統(tǒng)還受到許多不確定因素的干擾。對(duì)人類控制能力的有力挑戰(zhàn)除了它的級(jí)數(shù)增加所產(chǎn)生的控制難度外，更重要的是研究其控制穩(wěn)定的過(guò)程中不斷開(kāi)發(fā)新的控制理論和方法，并設(shè)法在更廣泛的受控對(duì)象中實(shí)踐、應(yīng)用新的控制方法。 在控制領(lǐng)域，國(guó)內(nèi)外的專家、學(xué)者一直將倒立擺控制系統(tǒng)視為典型的研究對(duì)象，近些年來(lái)對(duì)倒立擺控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及魯棒的鎮(zhèn)定研究越來(lái)越火熱，都在試圖尋找不同的控制方法實(shí)現(xiàn)教學(xué)和工程實(shí)際的新突破。為開(kāi)展控制控制理論實(shí)驗(yàn)提供了理想的教學(xué)平臺(tái)。 in the vicinity of the equilibrium point hypothesis, the linearization of the model。 由于 對(duì)廣義被控對(duì)象來(lái)說(shuō)，評(píng)價(jià)指標(biāo)的確定就成為系統(tǒng)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵， 因此 本文 綜合考慮各方面問(wèn)題，結(jié)合實(shí)際情況， 在理論分析和仿真 過(guò)程 中 反復(fù)驗(yàn)證，得出了比較合理的參數(shù)，保證了設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器的合理及 有效性。 本文 首先簡(jiǎn)單介紹倒立擺控制系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)設(shè)備，了解 其 性能控制的理論 、 方法和研究過(guò)程；利用牛頓 —?dú)W拉方法對(duì)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行建模，得出一個(gè)非線性的數(shù)學(xué)模型；在平衡點(diǎn)附近提出假設(shè)，對(duì)模型做了線性化處理； 然后， 利用 LMI方法（線性矩陣不等式 法 ） 設(shè)計(jì) 了 狀態(tài)反饋 H? 控制器，給出系統(tǒng)具有 H? 性能的線性矩陣不等式的條件，并用倒立擺系統(tǒng)實(shí)例及其仿真來(lái)驗(yàn)證設(shè)計(jì)方法的有效性和優(yōu)越性