【正文】 假設(shè)系統(tǒng)是因果的，等式 31 中的收斂域?qū)?huì)在 H(z)的單位圓之外。得到分解法的一個(gè)簡(jiǎn)便的途徑是利用 Z變換。通過18 這種假想的零狀態(tài)，可以大體上用等式 (30)遞歸得到。例如線性和時(shí)不變性對(duì)等式本身的限制條件。而這些特征又是通過有特征值 H(z)所表示的等式 (22)和特征函數(shù)的幅值相乘得到的。因此，如果信號(hào)是用一系列復(fù)雜的單幅值指數(shù)函數(shù)，更通俗的說(shuō)就是 ：系統(tǒng)函數(shù)是以更加常用的復(fù)雜的指數(shù)函數(shù)zn 為背景的，那么就可以用特征值的頻譜來(lái)描述。用 FFT算法計(jì)算 N點(diǎn)的 DFT需要 N㏒ N次代數(shù)運(yùn)算。 DFT 被用于各種數(shù)字信號(hào)處理的過程中，所以對(duì)于計(jì)算機(jī)計(jì)算 DFT 和 DFT 的逆變換是很有益的。通過這種方法，同樣的表達(dá)形式可以用于有限長(zhǎng)序列中。 如果是右邊序列，若圓 │z│=r0中的在 ROC內(nèi)，那么對(duì)于滿足 │z│＞ r0的有限值Z，都將在 ROC內(nèi)。個(gè)別簡(jiǎn)單序列的 Z 變換可以用檢查的方法辨別。 等式 (21)所表達(dá)的綜合方程是一個(gè)曲線積分，該曲線包含了收斂域的范圍。 X(Z)收斂時(shí) Z的范圍，即收斂域，對(duì)應(yīng) x(n)zn絕對(duì)可和的 Z值。即 X1(k0=1/N X(ω) )/2( Nk?? ? (20) 對(duì)于其他，這意味著一個(gè)周 期信號(hào)的 DFS系數(shù)是與一個(gè)周期內(nèi)離散復(fù)氏變換成正15 比?？擅枋鰹橐幌盗袕?fù)雜指數(shù)函數(shù)的線性組合。DFS 系數(shù) K 的選擇范圍從 0 到 N1。在 ，我們回顧這些對(duì) LTI系統(tǒng)描述方法的應(yīng)用。 對(duì)信號(hào)頻率范圍的描述 在這部分，我們把序列的描述概括為一系列復(fù)雜的指數(shù)函數(shù)的疊加。線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是： h(n)絕對(duì)可和。 13 交換律： x(n)*y(n)= y(n)* x(n) (10) 結(jié)合律： [x(n)*y(n)]*w(n)= x(n)*[ y(n)*w(n)] (11) 分配律： x(n)*[y(n)+w(n)]=x(n)*y(n)+x(n)*w(n) (12) 在連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中，卷積運(yùn)算是一種分 析工具。 線性： T{ax1(n)+bx2(n)}=ay1(n)+by2(n) (7) 這里： T{x1(n)}=y1(n) , T{x2(n)}=y2(n) a,b 為常量 時(shí)不變系統(tǒng)可以定義如下： T{x(nn0)}=y(nn0) (8) 這里： y(n)=T{x(n)} n0 為任意常數(shù)。 系統(tǒng)：通常，系統(tǒng)通過一個(gè)系統(tǒng)傳遞函數(shù) T{.}映射輸入函數(shù) X(n)，輸出信號(hào) Y(n)，這種對(duì)系統(tǒng)的定義太過于寬泛，如果沒有約束條件，系統(tǒng)的特 征需要一個(gè)完全的輸入——輸出系統(tǒng)。 單位階躍序列，用 u(n)來(lái)表征，被定義如下： u(n)=1 n≧ 0 u(n)=0 (2) 指數(shù)序列的形式為： X(n)= ?nA (3) 它在離散時(shí)間信號(hào)處理中的作用如同指數(shù)函數(shù)在連續(xù)時(shí)間信號(hào)處理過程中的作用一樣。 離散時(shí)間信號(hào)，通常又被稱為序列，用一些幅度為整數(shù)的函數(shù)來(lái)表征。在幅度和時(shí)間上連續(xù)的信號(hào) (通常被認(rèn)為時(shí)間連續(xù)或模擬信號(hào) )，這些都是在數(shù)字信號(hào)處理中常遇到的。離散時(shí)間信號(hào)與連續(xù)時(shí)間信號(hào)的抽樣信號(hào)有著密切的聯(lián)系。例如 X(n)代表 ：對(duì)于給定一個(gè)特征值 n,離散函數(shù)或函數(shù)值 x,這兩者之間的區(qū)別將在此中得到說(shuō)明。特別的，它們是離散時(shí)間線性系統(tǒng)的表征函數(shù)，也由于此，構(gòu)成變換分析技術(shù)的基礎(chǔ)。 如果對(duì)于一個(gè)特定的系統(tǒng)輸入有特定的輸出，無(wú)法推出與之不同輸入有著相同的輸出的結(jié)果。線性時(shí)不變有獨(dú)立的特性的特征，例如一個(gè)系統(tǒng)可能有這個(gè)特征但不具備另一個(gè)特征，或兼而有之或都不具備。對(duì)于離散時(shí)間系統(tǒng)，卷積和除了在分析線性和時(shí)不變系統(tǒng)時(shí)很重要，在實(shí)現(xiàn)一種特殊的線性和時(shí)不變系統(tǒng)即有限沖擊響應(yīng)系統(tǒng)時(shí)，也因?yàn)槠淝逦母拍铒@得很重要。 對(duì)于一個(gè)線性系統(tǒng)來(lái)說(shuō) , 穩(wěn)定性： ???????n nh )( (13) 由于等式 (13)， 一個(gè)絕對(duì)可和的連續(xù)性通常是一個(gè)穩(wěn)定的連續(xù)性。首先對(duì)于周期的序列，用離散序列得到級(jí)數(shù)。 14 任意周期序列 x(n)。不影響等式 (15)周期性的重復(fù)序列。對(duì) 于一個(gè)周期穩(wěn)定序列。 復(fù)氏變換的普遍化，即 Z變換，認(rèn)為更加廣泛的信號(hào)響應(yīng)是一系列復(fù)雜的指數(shù)函數(shù)的線性組合，對(duì)它們來(lái)說(shuō)，量值可能不唯一。我們將在后面總結(jié)有關(guān) ROC的更多特征。對(duì)于等式為由 X(z)得到 x(n)提供一種正式的途徑，它的積分就需曲線積分。 有許多關(guān)于收斂性的一些隱含的屬性。 16 如果 x(n)是左邊序列，若圓 │z│=r0中的在 ROC 內(nèi)，那么對(duì)于滿足 0│z│r0的所有 Z值，都將在 ROC內(nèi)。有限長(zhǎng)序列的復(fù)氏變換表達(dá)可以由復(fù)氏變換求得。直接計(jì)算 N 點(diǎn)的 DFT 或 DFT 的逆變換需要 N2次算術(shù)運(yùn)算 (加法 和乘法 )。 在 節(jié)中，我們回顧了：將信號(hào)描述為一系列復(fù)雜的或更加寬泛的指數(shù)函數(shù)的疊加形式。 特征函數(shù)大體上直接遵循卷積和，用 x(n)= zn 來(lái)描述，輸出 17 y(n) = H(z) zn (25) 這里 H(z)= ??????knzkh )( (26) 系統(tǒng)函數(shù) H(z)與特 征函數(shù) zn 相關(guān)的特征值，而且，從式 (26)中可以看出， H(z)是單位抽樣響應(yīng)的 Z變換。 等式 (27)為變換輸出的綜合方程，如： y(n)= dzzXzHj c nz? ?1)()(21? (27) 等式 (28)與 Z變換的卷積相一致。即使在這些限制條件下，系統(tǒng)也未必是因果的。其中 z1? 表示一個(gè)單位延時(shí)。特別的，對(duì)等式 (19)的兩邊施加 Z 變換。如果不設(shè)定因果性，那么普遍來(lái)講，對(duì)收斂域和系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)將會(huì)有很多不同的結(jié)果。而它并沒有很明確的闡明系統(tǒng)的收斂域。事實(shí)上，它還描述一個(gè)計(jì)算輸出的明確算法，但其結(jié)果并不是一個(gè)簡(jiǎn)便的解析式。特別的，我們可以將等式 (29)寫成： a0 y(n)= )(0 knxMk kb ??? )(1 knyNk ka ??? (30) 由于我們?cè)O(shè)想系統(tǒng)是線性的因果的，當(dāng) nn0時(shí)， x(n)=0；則 nn0， y(n)=0。等式 (29)僅當(dāng)有齊次解的時(shí)候代表一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)。由于等式 (17)或 (21)與把 X(n)看做是一系列復(fù)雜指數(shù)函數(shù)的線性組合的結(jié)論相一致。如果又是時(shí)不變系統(tǒng)，那么復(fù)雜指數(shù)函數(shù)將是本征函數(shù)。大多數(shù)的 FFT 算法是基于這種簡(jiǎn)單的規(guī)律： N 點(diǎn)的 DFT 可通過兩個(gè) N/2 點(diǎn)的 DFT，或三個(gè) N/3 點(diǎn)的DFT等等。盡管它們被排除在 0≦ k≦ N1的范圍之外，但事實(shí)上它們應(yīng)該強(qiáng)調(diào)而不是附加性的說(shuō)明。 在 ，討論周期序列的響應(yīng)。 對(duì)于有理 Z變換， ROC不含任何極點(diǎn)，而且是有界的。當(dāng) x(z)是 Z 的有理函數(shù)時(shí)，將 x(z)展開的一個(gè)典型的方法是用部分分式法。例如對(duì)于兩個(gè)序列 )(nuan 和 )1( ??? nuan ， 它們?cè)诖鷶?shù)上有相同的 Z變換，但是 僅在收斂域上有不同。 等式 (22)僅僅對(duì)于一部分 Z值收斂。 合成方程： x(n)= ??? ?? ? dX e nj?? )(21 (17) 分解方程： X(ω)= ??????rnjenx ?)( (18) 為了聯(lián)立離散復(fù)氏變換和離散復(fù)氏級(jí)數(shù)，考慮一個(gè)穩(wěn)定序列 x(n)和周期信號(hào) )(1nx ，如果： ?)(1 nx ????? ?r rNnx )( (19) 那么 )(1nx 的 DFS系數(shù)是抽樣間隔 2π/N成常系數(shù)比的復(fù)氏變換 x(n)。 離散時(shí)間復(fù)氏變換 任何穩(wěn)定序列 X(N)如：一個(gè)絕對(duì)可和的序列。 合成方程： )(~nx = ???10~ )/2()(1 NnnkNjekXN ? (15) 分解方程： )(~ kX = e nkNjNn nxN)/2(10~ )(1 ????? (16) 這個(gè)合成方程將周期序列表達(dá)為一系列有序相關(guān)復(fù)雜的指數(shù)函數(shù)的線性組合。最后對(duì)于有限擴(kuò)展序列用離散的復(fù)氏變換。一個(gè)線性系統(tǒng)是因果的充分必要條件是它的單位沖擊響應(yīng) h(n)在 n0時(shí)，輸出為 0，對(duì)于一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)， 因果性： h(n)=0 n0 (14) 因?yàn)榈仁?(14)，當(dāng) n0時(shí)，輸出值為 0的連續(xù)性通常稱為因果連 續(xù)性。一個(gè)系統(tǒng)當(dāng)且僅當(dāng)一個(gè)有限的輸入導(dǎo)致一個(gè)有限的輸出時(shí)，才被認(rèn)為在有限輸入 ——有限輸出意義下是穩(wěn)定的。 由于是連續(xù)時(shí)間卷積，這個(gè)卷積運(yùn)算等式 (9)具有交換律，結(jié)合律，分配律的性質(zhì)。幸運(yùn)的是，許多系統(tǒng)在實(shí)際中能夠用一個(gè)線性的，時(shí)不變的系統(tǒng)逼近。一個(gè)規(guī)則的正弦曲線序列能被表達(dá)為： x(n)=Acos( 0w n +Φ) (6) A為幅度， 0w 為頻率， Φ為相位，與連續(xù)的正弦時(shí)間信號(hào)相比， 離散時(shí)間正弦信號(hào)不必是周期性的，如果是，也只有在 2π/ 0w 是一個(gè)整數(shù)時(shí)，周期才為 2π/ 0w ，對(duì)于連續(xù)和離散時(shí)間信號(hào)，正弦信號(hào)的重要性在于這樣一個(gè)事實(shí)：大量的信號(hào)族能被這樣的正弦信號(hào)線性組合，同時(shí)正弦信號(hào)通過線性時(shí)不變系統(tǒng)的響應(yīng)是一個(gè)正弦的，它們有相同的頻率，僅僅只是在幅度和相位上有改變。 它們概括如下： δ(n)=1 n=0 δ(n)=0 (1) 序列 δ(n)扮演的角色如同沖擊函數(shù)在模擬系統(tǒng)分析中的一樣。盡管不是在每一個(gè)領(lǐng)域都是十分精確，離散時(shí)間信號(hào)處理通常被認(rèn)為是數(shù)字信號(hào)處理過程。1 外 文 資料 Signals and System Signals a